Informations- und Kommunikationstechnik

Binomischer Lehrsatz - Grafische Lösung

In der Mathematik lassen sich manche Aufgaben sehr anschaulich lösen. Die beiden Beispiele zum binomischen Lehrsatz sollen es zeigen. Jedem bestens bekannt ist die Gleichung:

(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2
Binom1

Die geometrische Addition der entsprechenden Flächen zeigt die Richtigkeit der Gleichung.
Das gelbe Quadrat hat die Kantenlänge a.
Die beiden grünen Rechtecke haben die Kantenlängen a und b.
Das blaue Quadrat hat die Kantenlänge b.
Alle Flächen geeignet aneinandergelegt bilden das rot umrandete Quadrat.
Es hat die Kantenlängen a+b und den Flächeninhalt (a+b)2.

Fast so einfach klappt es mit dem zweiten binomischen Lehrsatz:

(a − b)2 = a2 − 2·a·b + b2

Vom gelben Quadrat a2 muss zweimal die Fläche des Rechtecks mit den Seiten a und b abgezogen werden. Das erste Mal wird sie unten abgeschnitten. Es bleibt die gelbe Fläche mit den Kanten a, a−b.

Binom2

Jetzt soll rechts eine ebenso große Fläche abgeschnitten werden. Das klappt aber nur, wenn aus dem gelben Rechteck das dazu fehlende Stück 'ausgeborgt' wird. Die gelbe Fläche hat die Kantenlängen a−b.

Das rot umrandete Quadrat (a−b)2 wird durch Zurücklegen des 'ausgeborgten' Teils vervollständigt. Dieses blaue Teil hat die Kantenlängen b mit der Fläche b2. Damit ist auch diese Gleichung grafisch gelöst.