Messverfahren an realen Widerständen

Der Wert eines realen Widerstands (Wirkwiderstand) kann durch gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung recht genau bestimmt werden. Der Wert wird mithilfe des bekannten Ohmschen Gesetzes errechnet. Der zu bestimmende Widerstand bildet mit dem Mess- oder Innenwiderstand des Strommessgeräts eine Reihenschaltung und kann somit Fehlertoleranz für den Widerstand mitbestimmen. Nur bei sehr großen zu ermittelnden Widerstandswerten muss auch der Messwiderstand des Spannungsmessgeräts berücksichtigt werden.

Befindet sich der zu bestimmende Widerstand innerhalb einer Schaltung auf einer bestückten Platine, so ist die kombinierte Spannungs- und Strommessung nicht direkt möglich. Zur Strommessung muss der Stromkreis aufgetrennt werden, um das Strommessgerät in Reihe zu schalten. Falls sich der Strom nach der Trennstelle oder dem Messobjekt verzweigt, entspricht der berechnete Wert nicht dem wahren Widerstandswert.

Die meisten Multimeter bieten einstellbare Widerstandsmessbereiche an. Sie haben eine interne Spannungsquelle und messen den Strom durch den an den Messklemmen angeschlossenen Widerstand. Die interne Auswertung zeigt den Widerstandswert an. Ist der zu bestimmende Widerstandswert klein, dann wird die Spannungsquelle belastet und die Messspannung an den Klemmen kleiner. Der Strom durch das Messobjekt ist kleiner. Zur Berechnung wird aber die konstante Spannung der internen Quelle verwendet, folglich wird der Messfehler größer.

Die Messung kann auch mit konstantem Strom durch das Messobjekt erfolgen, wobei der Spannungsfall ermittelt wird. Das Messobjekt bildet mit dem Innenwiderstand der Konstantstromquelle eine Reihenschaltung. Ist der zu bestimmende Widerstandswert sehr groß, dann verringert sich der durch das Messobjekt fließende Messstrom. Der intern gemessene Spannungsfall ist kleiner. Die Berechnung erfolgt mit dem als konstant angenommenen größeren Messstrom und der berechnete Widerstandswert wird als zu klein angezeigt.

Beide Verfahren haben ihre Grenzen, der vom Innenwiderstand der Quelle bestimmt ist. Bei Messungen mithilfe einer Konstantspannungsquelle bleibt die Anzeigegenauigkeit unterhalb 1%, wenn der zu bestimmende Widerstand größer als das Hundertfache des Innenwiderstands ist. Bei einer Konstantstromquelle bleibt der Anzeigefehler unter 1%, wenn der zu bestimmende Widerstandswert kleiner als der hundertste Teil des Innenwiderstands ist, der den Messstrom bestimmt.

Da alle Widerstandsmessverfahren über eigene Spannungs- oder Stromquellen verfügen, dürfen Widerstandsmessungen nie in aktiven Schaltungen erfolgen. Genaue Widerstandsmessungen innerhalb einer spannungsfreien Schaltung sind ohne ausführliches Schaltbild nicht zu empfehlen. Das Messobjekt ist meistens innerhalb eines Netzwerks eingebunden, sodass eher ein Gesamtwiderstand und nicht der gewünschte Widerstandswert angezeigt wird.

DC-Messbrücken

Mit Spannungsteilern durch Wirkwiderstände in Brückenschaltungen sind genauere Messungen möglich. Sie haben eine hohe Empfindlichkeit und belasten bei geeigneter Dimensionierung weder die Quelle noch den zu bestimmenden Widerstand. Brückenschaltungen sind in vielen Anwendungen zu finden, einige Beispiele sind:

• Widerstandsmessbrücke zur Bestimmung unbekannter Widerstandswerte.
• Temperaturmessbrücke mit einem besonderen temperaturempfindlichen Widerstand.
• Hallgeneratoren, Magnetfeld empfindliche Bauteile (MDR) zur Messung geringer Magnetfeldänderungen.
• Widerstandsänderung bei Dehnungsmessstreifen zur elektrischen Überwachung mechanischer Formveränderungen.
• Lichtempfindliche Widerstände (LDR) zur Messung von Helligkeitsschwankungen.

In der einfachen Widerstandsbrücke werden die Spannungsteiler R1 und R2 sowie R3 und R4 parallel geschaltet von der gleichen Betriebsspannung U versorgt. Der Ausgang befindet sich zwischen den Brückenpunkten 1 und 2. Die Brücke ist abgeglichen, wenn das Potenzial an den Brückenpunkten identisch ist. Das ist für U2 = U4 der Fall.

Auf jeden Zweig kann das Gesetz der Spannungsteilung angewendet werden und alle Teilspannungen lassen dadurch einfach bestimmen. Sind die unteren und/oder oberen beiden Teilspannungen gleich, dann gilt die Brücke als abgeglichen. Da es zwischen den Punkten 1 und 2 keine Spannung gibt, fließt kein Brückenstrom. Das Ergebnis ist von der Betriebsspannung U unabhängig. Sie sollte klein genug sein, damit die Erwärmung der Widerstände durch die Zweigströme vernachlässigbar bleibt und der Messfehler davon nicht beeinflusst wird. Für die Teilspannungen U2 und U4 gilt: \[{U_2} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} \cdot U\quad \quad {U_4} = \frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}} \cdot U\] Bei abgeglichener Brücke können beide Teilspannungen gleichgesetzt werden, und die Versorgungsspannung U kürzt sich heraus: \[\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} \cdot U = \frac{{{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}} \cdot U\] In der Gleichung stehen nur die vier Widerstandswerte. Die weiteren Äquivalenzumformungen zeigen, dass die Brücke abgeglichen ist, wenn die folgenden Widerstandsverhältnisse erfüllt sind: \[{R_2} \cdot ({R_3} + {R_4}) = {R_4} \cdot ({R_1} + {R_2})\] \[{R_2}\,{R_3} + {R_2}\,{R_4} = {R_1}\,{R_4} + {R_2}\,{R_4}\] \[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{{R_3}}}{{{R_4}}}\quad \quad \frac{{{R_1}}}{{{R_3}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_4}}}\]

Messbrücke nach Wheatstone

Die beiden folgenden Schaltungen zeigen Widerstandsmessbrücken nach Wheatstone mit denen unbekannte Wirkwiderstandswerte sehr genau bestimmt werden können. Für den Nullabgleich wird in den Brückenzweig ein empfindliches Strommessgerät geschaltet. Die Messgenauigkeit wird weder vom Innenwiderstand der Betriebsspannung noch vom Innenwiderstand des Messgeräts beeinflusst.

Die Schaltung links zeigt den Aufbau mit festen Widerstandswerten geringer Toleranz für R1 und R2. Sie bestimmen den Messbereich und sollten ein in Zehnerpotenzen umschaltbares Widerstandsverhältnis haben. Damit ist ein Messbereich zwischen 1 Ω bis 1 MΩ möglich. Der Abgleich erfolgt mit dem nicht wechselbaren einstellbaren Widerstand Rn. Ein Präzisionspotenziometer mit einem 10:1 Einstellgetriebe bietet ein sehr genaues Ablesen des zu bestimmenden unbekannten Widerstands Rx. Beim Nullabgleich gilt: \[{R_x} = {R_n} \cdot \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\]

Die Schaltung rechts entspricht der traditionellen Messbrücke mit einem 1 Meter langen hochohmigen Widerstandsschleifdraht mit möglichst homogenen linearen Eigenschaften. Der Widerstand Rn kann wechselbar und sollte in jedem Fall ein Präzisionswiderstand sein. Die Messgenauigkeit ist am größten, wenn sein Wert in der Größenordnung von Rx liegt. Dann sind die beiden Messstrecken annähern gleich und der relative Ablesefehler ist klein. Für den Nullabgleich gilt: \[{R_x} = {R_n} \cdot \frac{b}{a}\]

Thomson Messbrücke

Mit der Wheatstone Messbrücke können Widerstandswerte bis 1 Ω noch genau bestimmt werden. Für kleinere Werte nimmt die Messungenauigkeit zu. Dafür verantwortlich sind die Leitungs- und Klemmenwiderstände zum Messobjekt. Sehr genaue Bestimmungen von Widerstandswerten im Bereich 1 Ω bis 100 μΩ sind mit einer doppelten Brückenschaltung möglich. Sie ist nach dem Physiker und Entwickler William Thomson, dem 1. Baron Kelvin (Lord Kelvin) als Thomson-Brücke oder Kelvin-Brücke benannt. Das Bild zeigt das Schaltungsprinzip.

Die Widerstände RLK sind störende Leitungs- und Klemmenwiderstände. Rn ist ein sehr genauer Referenzwiderstand und Rx der zu bestimmende Widerstandswert. Die Schaltung wird mit Gleichspannung betrieben. Ein nicht eingezeichneter Vorwiderstand kann den Strom begrenzen, damit die beiden niedrigen Eingangswiderstände die DC-Quelle nicht unnötig stark belasten. Die grau markierten Widerstände werden vom eingezeichneten Reihenstrom durchflossen und haben auf die Messgenauigkeit keinen Einfluss. Die Messleitungen zwischen dem internen Referenzwiderstand und dem extern angeschlossenen unbekannten Widerstand beeinflussen mit ihren, wenn auch kleinen Widerstandswerten, die genaue Widerstandsbestimmung vom Rx.

Die Thomson Messbrücke hat zwei abgleichbare Zweige. Die vier Brückenwiderstände möglichst geringer Toleranz liegen in den Spannungszweigen und sollten hochohmig sein. Der Brückenabgleich vereinfacht sich, wenn die oberen und die unteren beiden Widerstände gemeinsam einstellbare präzise Doppelpotenziometer sind. Werden umschaltbare Festwiderstände verwendet, muss auch der Referenzwiderstand umschaltbar sein. Für die abgeglichene Brücke und für den zu bestimmenden unbekannten Widerstand gelten die folgenden Gleichungen: \[\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{{{R_3}}}{{{R_4}}}\quad \quad {R_x} = {R_n} \cdot \frac{{{R_2}}}{{R1}} = {R_n} \cdot \frac{{{R_4}}}{{{R_3}}}\] Der Widerstandsteiler R3 und R4 kompensiert den störenden RLK zwischen Rn und Rx. Das analoge Brückeninstrument sollte seinen Nullpunkt in der Skalenmitte haben, nur dann ist ein genauer Abgleich beim Anzeigewechsel zwischen Plus und Minus erkennbar. Es ist schwer präzise Referenzwiderstände mit sehr kleinen Werten herzustellen. Mit der Thomson Brücke können Widerstände bis 1 mΩ mit einer Messgenauigkeit von 10 Promille erreicht werden.

Vierleiter-Messtechnik

Das Verfahren beruht auf der Thomson Messbrücke bei vereinfachter Anwendung. Das Messobjekt wird mit einer Konstantstromquelle verbunden. Die am Messobjekt direkt auftretende Spannung wird mit einen sehr hochohmigen Spannungsmessgerät ermittelt. Der zu bestimmende Widerstand wird nach dem ohmschen Gesetz berechnet. Die stromführenden Anschlussleitungen und die Klemmstellen mit RLK am Messobjekt können das Ergebnis nicht verfälschen, wenn der konstante Reihenstrom von der sich selbst regelnden Stromquelle versorgt wird, sonst muss nach dem Anschluss des Messobjekts manuell nachgestellt werden. Die zum Spannungsmessgerät führenden Leitungen mit ihren eigenen Klemm- und Leitungswiderständen RLK bilden eine Reihenschaltung mit dem hochohmigen Innenwiderstand des Messgeräts. Der durch diesen Zweig fließende Strom IM bleibt vernachlässigbar klein und verfälscht die Messspannung praktisch nicht. Genaue Widerstandsmessungen bis in den μΩ-Bereich sind möglich.

Für den Anschluss des Messobjekts gibt es die Kelvin-Messleitungen auch Kelvinklemmen. Für mobile Messungen sehen sie aus wie Krokodilklemmen, sie haben zwei gegeneinander isolierte Leitungen und Klemmkontakte. Die äußeren oder oberen Kontakte sind mit der Stromquelle und die inneren oder unteren Kontakt mit dem Spannungsmessgerät verbunden.

Grenzen der Messgenauigkeit

Die im Fachhandel angebotenen speziellen Milli-/Microohm-Messgeräte sind mit mehr als 1000 Euro sehr teuer, entsprechend gut, sind direkt einsatzfähig und einfach zu bedienen. Ein durchschnittlich gut ausgestattetes Elektroniklabor verfügt über ein regelbares Netzteil und ein Multimeter, das nicht zur billigsten Preisklasse gehört. Sein Innenwiderstand zur Spannungsmessung wird 10 MΩ oder mehr betragen und das Gerät und über eine mindestens viereinhalbstellige Digitalanzeige verfügen. Der niedrigste wählbare Spannungsbereich wird bei 100 mV liegen. Innerhalb der Gerätegüte gilt ein Messwert von 10,0 mV als genau. Zeigt bei einem konstanten Messstrom von 1 A das Multimeter 10,0 mV an, so hat der zu bestimmende Widerstand den Wert 10 mΩ.

In der Prinzipschaltung hat jeder Leitungs- und Klemmenwiderstand 100 mΩ. Der Messstrom zum Widerstand Rx wird durch die Anschlussleitungen nicht beeinflusst. Bei geschlossenem Messstromkreis wird der 1 A Konstantstrom eingestellt. Am Messobjekt wird die zu messende Spannung generiert. Im Stromkreis zur Spannungsmessung fließt ein Teilstrom IM durch die beiden Widerständen RLK und dem Innenwiderstand des Spannungsmessgeräts. Selbst bei einem Innenwiderstand von 10 kΩ, der bei analogen Zeigerinstrumenten normal war, sind die Leitungs- und Klemmwiderstände stets vernachlässigbar.

Der zu bestimmende Rx dient für das Spannungsmessgerät als Spannungsquelle. Sie wird durch den 10 MΩ hohen Eingangswiderstand des Multimeters praktisch nicht belastet. Der Teilstrom IM kann das Messergebnis praktisch nicht beeinflussen. Nach dem ohmschen Gesetz ist für den Messstrom 1 A der Spannungswert am Messobjekt gleich seinem Widerstandswert Rx. Mit der angenommenen Laborausstattung können Widerstände bis 10 mΩ genau bestimmt werden.

Sollen mit gleicher Laborausstattung Widerstände Rx ≤ 1 mΩ ebenso genau gemessen werden, dann muss ein größerer Konstantstrom eingestellt werden. Mit 5 A ergeben sich 5 mV am Messobjekt, und damit dürfte die Messgenauigkeit für das Spannungsmessgerät erreicht sein. Der hohe Strom durch das Messobjekt bewirkt mit 25 mW eine Wärmeleistung, die den genauen gesuchten Widerstandswert ungünstig beeinflussen kann. Pro Grad Celsius kann als Richtwert eine Spannungsänderung von 1 mV angenommen werden.

Im Elektronikfachhandel werden auch relativ preiswerte Digitalanzeigen unter 50 Euro angeboten. Ein Einbauinstrument mit vierstelliger Digitalanzeige plus Dezimalpunkt hat eine Grundempfindlichkeit von 0 ... 1999 mV bei einem Eingangswiderstand von 100 MΩ. In Verbindung mit einem geregelten Labornetzteil oder nicht so optimal mit dem LM 317, der mit wenigen Elektronikkenntnissen zur umschaltbaren Konstantstromquelle erweitert werden kann, sind Eigenprojekte zum Messen ≤1 mΩ kostengünstig möglich.