Informations- und Kommunikationstechnik

Gleichwertige digitale Verknüpfungen

In der Digitaltechnik gibt es die drei Grundfunktionen UND, ODER sowie NICHT. Mit den entsprechenden Digitalgattern lassen sich alle denkbaren Verknüpfungsschaltungen erstellen. Beim Experimentieren mit den unterschiedlichsten Kombinationen der Gatter oder dem Anwenden der De Morganschen Gesetze kann man feststellen, dass sich gewisse Kombinationen durch einfache Gatter ersetzen lassen.

Mehrere NICHT- und ein ODER-Gatter haben die gleiche Funktionalität wie ein UND-Gatter. Nach dem 1. De Morganschen Gesetz ist das Ergebnis der Negation einer UND-Verknüpfung gleich der ODER-Verknüpfung mit negierten Eingangsvariablen. Die doppelte Negation zeigt die Gleichwertigkeit des UND-Gatters mit einem ODER-Gatter mit vor und nachgeschalteten NICHT-Gattern.

UND mit gleichwertiger Ersetzung

Alle Verknüpfungsschaltungen lassen sich ohne UND nur mit NICHT und ODER Gattern aufbauen.

Ebenso besteht eine Gleichwertigkeit zwischen einem ODER-Gatter, das durch drei NICHT- und einem UND-Gatter ersetzbar ist. Nach dem 2. De Morganschen Gesetz ist die Negation einer ODER-Verknüpfung gleich dem Ergebnis einer UND-Verknüpfung mit negierten Eingangsvariablen. Die doppelte Negation zeigt die Gleichwertigkeit des ODER-Gatters mit einem UND-Gatter bei vor und nachgeschalteten NICHT-Gattern.

ODER mit gleichwertiger Ersetzung

Alle Verknüpfungsschaltungen lassen sich ohne ODER- nur mit NICHT- sowie UND-Gattern aufbauen.

Die Digitaltechnik kennt neben den drei Grundgattern noch das NAND- und NOR-Gatter. In ihrer Funktion entsprechen sie dem jeweiligen Grundgatter UND beziehungsweise ODER gefolgt von einem NICHT-Gatter. Die NICHT-Verknüpfung kann ihrerseits durch ein NAND-Gatter mit gleichen Eingangsvariablen ersetzt werden. Weiterhin kann gezeigt werden, dass ein UND-Gatter gleichwertig durch zwei NAND-Gatter ersetzbar ist.

NICHT / UND durch gleichwertige NAND Schaltungen

Im vorletzten Bild erkennt man das die ODER-Verknüpfung als Ausgangsgatter eine NAND-Verknüpfung zeigt und die Eingangsvariablen durch NICHT-Gatter invertiert sind. Diese lassen sich wie soeben gezeigt ebenfalls durch NAND-Gatter ersetzen. Miteinander kombiniert ist die ODER Grundfunktion gleichwertig durch NAND-Gatter ersetzbar.

ODER durch gleichwertige NAND Schaltungen

Alle Verknüpfungsschaltungen lassen sich ausschließlich durch NAND-Gatter aufbauen.

Ein ODER-Gatter mit nachfolgendem NICHT-Gatter entspricht der NOR-Verknüpfung. Das NOR-Gatter mit zwei gleichen Eingangsvariablen liefert am Ausgang die invertierte Eingangsvariable. Die ODER Funktion kann gleichwertig durch zwei NOR-Verknüpfungen erfolgen. Nach dem 1. De Morganschen Gesetz ist die UND-Verknüpfung gleichwertig einem negierten ODER mit invertierten Eingangsvariablen. Die UND-Verknüpfung ist gleichwertig ersetzbar durch drei NOR-Gatter.

NICHT, ODER, UND durch gleichwertige NOR Schaltungen

Alle Verknüpfungsschaltungen lassen sich ausschließlich durch NOR-Gatter aufbauen.

In der Digitaltechnik sind NAND- und NOR-Gatter somit Universalgatter. Jede Digitalschaltung kann mithilfe der Schaltalgebra so umgerechnet werden, dass sie entweder nur mit NAND- oder NOR-Gattern erstellt werden kann. Der Vorteil liegt in der Verwendung eines einheitlichen Gattertyps. Zu den Nachteilen zählen die zuvor notwendige Umrechnung und ein oftmals größerer Schaltungsaufwand. Die notwendige Anzahl der Gatter nimmt zu, jedoch verfügen die Digitalbausteine oftmals über vier gleichartige Gatter mit je zwei Eingängen.