Informations- und Kommunikationstechnik

Synthese digitaler Schaltungen

In diesem Kapitel wird für eine einfache Automatenschaltung eine digitale Steuerschaltung entwickelt. Anschließend wird mithilfe der disjunktiven Normalform und Mintermen oder der konjunktiven Normalform und Maxtermen eine Schaltungsoptimierung auf einen Gattertyp gezeigt.

Viele Funktionen des täglichen Lebens beruhen auf dem Zusammenwirken einfacher Schaltimpulse. Mit den binären Signalen EIN und AUS lassen sich geeignete digitale Schaltungen entwickeln, die mit möglichst wenig Schaltungsaufwand durch logische Verknüpfungen die gewünschte Funktion ausführen. Letztendlich strebt man eine Lösung mit wenigen Gattern des gleichen Typs an.

Eine Schaltungssynthese beginnt mit einer eindeutigen Beschreibung der Funktionalität. Dazu eignet sich das Aufstellen einer Wahrheitstabelle. Normalerweise werden zur Bezeichnung der Variablen Großbuchstaben benutzt. Die Eingangsvariablen erhalten Anfangsbuchstaben des Alphabets und die Ausgangsvariablen Endbuchstaben. Ist die Abhängigkeit der logischen Zustände untereinander festgelegt, kann die Wahrheitstabelle geschrieben und nach einer Schaltungsoptimierung gesucht werden. Die Schritte einer Schaltungssynthese in Zusammenfassung:

Schaltungssynthese einer digitalen Verriegelungsschaltung

Eine Sicherheitsschaltung soll das Abfahren einer Förderanlage bei festgelegten Bedingungen verhindern. Es sind drei Eingangsvariablen und eine Ausgangsvariable vorgesehen.

Die Aufgabe verwendet drei Eingangsvariablen mit jeweils zwei Möglichkeiten bei insgesamt 23 = 8 Zuständen. Die Wahrheitstabelle kann aufgestellt werden. Damit die Ausgangsvariable Z = 1 wird, müssen die angegebenen drei Bedingungen erfüllt sein. In allen anderen Fällen ist Z = 0.

Verriegelungsschaltung

Die Wahrheitstabelle zeigt, dass die Anlage nur bei der einer erlaubten Kombination freigeschaltet ist. Der Schaltungsaufbau kann auf Gatter mit nur zwei Eingängen vereinfacht und auf die Verwendung von NAND-Gattern optimiert werden. Der mathematische Lösungsweg nach De Morgan zeigt die Richtigkeit. Mehrfache Negierungen werden von innen nach außen aufgelöst, wobei doppelte Negierungen das Argument nicht verändern und wegfallen können.

Entwicklung einer digitalen Automatensteuerung

Ein Getränkeautomat gibt nach Einwurf einer Münze entweder Tee oder Kaffee aus, wenn die entsprechende Wahltaste betätigt wurde. Beide Wahltasten gleichzeitig gedrückt verhindern die Ausgabe. In der Maschine gibt es je ein Magnetventil für Wasser, Kaffee- und Tee-Extrakt. Der Ausschank erfolgt bei geöffnetem Wasserventil und einem dazu offenen Ventil für entweder Tee oder Kaffee.

Die Maschine kennt drei Eingangsvariable für insgesamt 8 Kombinationen, den Münzschalter (A), den Tee- (B) und den Kaffeewahlschalter (C). Drei Ausgangsvariablen stehen für das Wasser-, Tee- und Kaffeeventil. Die drei Funktionsgleichungen sind von den Eingangszuständen abhängig und dürfen nur zwei eindeutige Ergebnisse liefern.

Getränkeautomat

In beiden Beispielen wird die Funktionsgleichung aus einer UND-Verknüpfung der Eingangsvariablen gebildet, deren Ergebnis eine logische 1 hat. Treten wie im zweiten Beispiel in der Wahrheitstabelle mehrere dieser Zustände auf, sind diese zum Erhalt der Funktionsgleichung noch durch ODER zu verknüpfen.

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Disjunktive Normalform – DNF

Die disjunktive Normalform (DNF), auch ODER-Normalform, ist ein logischer Ausdruck, wo die Glieder in der obersten Rechenebene durch ODER-Verknüpfungen verbunden sind. Die Einzelglieder können ihrerseits aus UND-Verknüpfungen bestehen. Sie werden als Vollkonjunktionen (UND-Verknüpfungen) bezeichnet. In ihnen kommen alle Variablen einmal vor, wobei sie auch negiert sein können.

Die ODER-Normalform ist auf besondere Weise mit einer Wahrheitstabelle verbunden. Die Zahl der logischen 1-Zustände der Ausgangsvariablen einer Wahrheitstabelle ist gleich der Anzahl der Vollkonjunktionen der DNF. Die logischen 1-Zustände des Ausgangs werden als Minterme bezeichnet.

ODER-Normalform

Minterme

Allgemein gesehen sind alle UND-Verknüpfungen jeder Zeile einer Wahrheitstafel Minterme. Im Minterm sind alle Eingangsvariablen nur einmal enthalten, dabei können sie normal oder negiert auftreten. Bei n Variablen gibt es 2n Minterme.

Minterme

Da es sich um eine UND-Verknüpfung der Einzelvariablen handelt, hat jeder Minterm für nur eine Eingangskombination den logischen Wert 1. Der Minterm entsteht aus dieser einen Eingangskombination, wenn alle Variablen im logischen Zustand 0 negiert mit denen im logischen Zustand 1 durch UND verknüpft werden. Das Bild zeigt passende Beispiele zu Mintermen.

Die Funktionsgleichung (Z), die ein Schaltnetz erfüllt, entsteht mithilfe der ODER-Normalform, der vollständigen disjunktiven Normalform (DNF). Man erhält Z durch ODER-Verknüpfungen derjenigen Minterme, wo die Eingangskombinationen den logischen Ausgangszustand 1 haben.

Die vollständige disjunktive Normalform (DNF) besteht aus nur einer Vollkonjunktion (UND-Verknüpfungen) oder mehreren Vollkonjunktionen mit dem logischen Zustand 1, die durch ODER verknüpft sind.

Im oben dargestellten Beispiel der Automatensteuerung erfolgt die Steuerung des Wasserventils durch die ODER-Normalform ZW. In ihr sind die Minterme zweier Vollkonjunktionen durch ODER verknüpft. Zur Steuerung des Tee- oder Kaffeeventils gehört ebenfalls je eine DNF, die aus nur einer Vollkonjunktion, dem Minterm ZT oder ZK besteht.

Die schaltalgebraische Gleichung einer Wahrheitstafel wird durch die ODER-Normalform beschrieben.

Beispiel zur DNF

Für eine aufgestellte Wahrheitstafel soll die Funktionsgleichung ermittelt werden. Das Schaltnetz ist danach für NAND-Gatter zu optimieren. Zuerst wird mithilfe der Wahrheitstafel die DNF notiert. Dazu werden die Minterme mit dem logischen Zustand 1 herausgeschrieben und durch ODER verknüpft. Die DNF kann oftmals noch vereinfacht werden.

Die Umformung zum Einsatz der NAND-Gatter erfolgt durch doppelte Negierung. Diese werden an den ODER-Verknüpfungen von innen nach außen aufgelöst, wobei aus dem ODER ein UND wird. Die doppelte Negierung einer Variablen liefert den Wert der Variablen und kann entfallen.

Funktionsgleichung durch DNF

Stehen keine Simulationsprogramme zur Verfügung, sollte am Ende der Umformungen die Funktionsgleichung für alle Eingangskombinationen der Wahrheitstabelle überprüft werden und nicht nur für die Ausgänge mit logischer 1.

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Konjunktive Normalform – KNF

Die konjunktive Normalform (KNF), auch UND-Normalform kann als Ergänzung oder Gegenpart zur disjunktiven Normalform gesehen werden. Die UND-Normalform ist ein logischer Ausdruck, dessen Glieder in der obersten Rechenebene durch UND-Verknüpfungen verbunden sind. Die Einzelglieder können ihrerseits aus ODER-Verknüpfungen bestehen. Sie werden als Volldisjunktionen (ODER) bezeichnet, in denen alle Eingangsvariablen einmal vorkommen, wobei sie auch negiert sein können.

Maxterme

Maxterme bei 2 Variablen

Maxterme sind ODER-Verknüpfungen und verhalten sich wie Minterme mit dem Unterschied, dass jetzt der logische 0-Zustand betrachtet wird. Im Maxterm sind alle Eingangsvariablen nur einmal enthalten, wobei sie normal oder negiert sein können. Bei n Eingangsvariablen gibt es 2n Volldisjunktionen. Beim Aufstellen der Maxterme für jede Zeile einer Wahrheitstafel sind diejenigen Variablen, die sich im logischen Zustand 1 befinden zu negieren. Sie werden mit den Eingangsvariablen im logischen Zustand 0 durch ODER verknüpft.

Die vollständige konjunktive Normalform (KNF) besteht aus nur einer Volldisjunktion (ODER-Verknüpfungen) oder mehreren Volldisjunktionen mit dem logischen Zustand 0, die durch UND verknüpft sind.

Die Schaltnetzfunktion kann auch durch eine UND-Verknüpfung aller Maxterme aufgestellt werden. In der Wahrheitstafel werden dann für alle logischen 0-Zustände der Ausgangsvariablen die Maxterme herausgeschrieben und durch UND verknüpft.

Umrechnung DNF zu KNF

Es genügt mit der disjunktiven Normalform vertraut zu sein, da sie in die konjunktive Normalform umgerechnet werden kann. In einem einfachen Beispiel wird der Rechenweg gezeigt. Die DNF wird im ersten Schritt doppelt negiert. Nach De Morgan wird die ODER-Verknüpfung der Glieder in UND gewandelt und die Negierungen der Einzelglieder aufgelöst. Im Folgeschritt werden die Therme unter der gemeinsamen Negierung nach dem Distributivgesetz behandelt. Nach weiteren Vereinfachungen wird im letzten Schritt die verbliebene Gesamtnegierung nach De Morgan aufgelöst.

Leider nimmt der Rechenaufwand bei mehr Eingangsvariablen sehr schnell zu. Einfacher ist es aus der Wahrheitstafel die benötigte KNF oder DNF herauszuschreiben.