Informations- und Kommunikationstechnik

Statisches elektrisches Feld

Dieses Kapitel beschreibt das homogene elektrostatische Feld, das elektrische Potenzial, die Potenzialdifferenz und die Spannung und stellt vereinfacht vektorielle Eigenschaften des elektrischen Felds dar. Elektrische Ladungen sind an Materie gebunden und treten in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung e = 1,6·10−19 C auf. Es wird zwischen positiven und negativen Ladungen unterschieden. Elektrisch geladene Körper üben Kräfte aufeinander aus. Die Kraftwirkung ist proportional zur Ladungsmenge und nimmt mit zunehmender Entfernung zur Ladungsquelle ab. Versuche zeigen, dass sich gleichnamig geladene Körper abstoßen, ungleichnamige Ladungen dagegen anziehen.

Feldkraft

Die Kraftwirkung zwischen einer ortsfesten Ladung wird mit einer kleinen frei beweglichen Ladungssonde gemessen. Diese bewegliche Probeladung ist definiert als sehr kleine, punktförmige, positiv geladene Kugel und frei von Masseanziehungskräften.

Die Kraftwirkung elektrischer Ladungen wird durch das nebenstehende Coulombgesetz beschrieben. In der Proportionalitätskonstante ist die elektrische Feldkonstante εo (epsilon, griech. Kleinbuchstabe) enthalten. Sie besagt, dass eine Kraftvermittlung auch im Vakuum besteht und keines stofflichen Mediums bedarf.

Wirkt die Kraft nicht direkt, sondern durch einen elektrisch nicht leitenden Stoff hindurch, muss mit einer weiteren Permittivitätszahl εr korrigiert werden.

Dividiert man die Coulombkraft Fel durch die Probeladung, so wird man von ihrer Größe unabhängig. Man erhält einen normierten Ausdruck, der das elektrische Feld E beschreibt. Es ist die Feldkraft, die auf eine positive Einheitsprobeladung wirkt.

E-Feldformel

Die elektrische Feldstärke ist die Kraft, die ein elektrisches Feld in einem bestimmten Raumpunkt auf eine dort befindliche positive elektrische Ladung von 1 A·s ausübt.

Jede elektrische Ladung ist von einem Kraftfeld umgeben. Kraftwirkung und Richtung können durch Feldlinien dargestellt werden. Im Experiment richten sich Farnsporen oder feinste Kunststofffasern entlang der Feldlinien aus. Ein gerichtetes Feld wird Vektorfeld genannt. Die Feldstärke kann an jedem Ort durch einen Pfeil dargestellt werden. Er zeigt in die Feldrichtung und gibt mit seiner Länge die Betragsgröße der Kraft an diesem Ort an. Die Feldlinien beginnen und enden auf Ladungen. Per Definition treten sich rechtwinklig aus positiven Ladungen aus und enden mit rechtwinkligem Auftreffen auf negativen Ladungen. Feldlinien kreuzen sich nie. Das folgende Bild zeigt inhomogene Felder elektrischer Ladungen und deren stilisierten Feldverlauf. Das elektrische Feld variiert in Stärke und Richtung.

Feldlinien

Das statische elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Die positive Ladung ist als Quelle und die negative Ladung als Senke definiert. Die Kraftrichtung kann für jeden Punkt des elektrischen Feldes durch Zeichnen der Tangente in diesem Punkt an die Feldlinie angegeben werden. Die Richtung der Tangente stimmt mit der Richtung der elektrischen Feldgröße überein. Die Feldstärke am Bestimmungsort ist proportional zur dort bestehenden Feldliniendichte.

Top

Homogenes elektrostatisches Feld

Zwei zueinander parallel ausgerichtete Metallplatten, die kurzzeitig mit einer Spannungsquelle verbunden waren, haben danach ein zwischen den Platten messbares elektrisches Feld. Da die Platten gegeneinander isoliert sind, gibt es keinen Ladungstransport und Ladespannung bleibt erhalten. Parallel zu den Platten ist in jedem Abstand eine konstante Feldstärke messbar. Nahe den Plattenrändern gilt das nicht mehr.

Das Kennzeichen eines elektrostatischen Feldes sind ruhende Ladungen.
Es fließt kein elektrischer Strom und somit entsteht kein Magnetfeld.
Die Feldlinien sind rotationsfrei, sie beginnen auf positiven und enden auf negativen Ladungen.
Im homogenen Feld verlaufen die Feldlinien parallel zueinander. Die Feldliniendichte ist konstant.

Verursacht wird das elektrostatische Feld durch das Anlegen einer Gleichspannung an die Platten. Da die Kondensatorplatten gegeneinander isoliert sind, ist der Stromkreis nicht geschlossen und es sollte eigentlich kein Strom fließen. Die am noch ungeladenen Kondensator angeschlossene Gleichspannungsquelle kann mit ihren Polen als äußeres elektrostatisches Feld aufgefasst werden. Die metallischen Kondensatorplatten besitzen als elektrische Leiter freie bewegliche negative Ladungsträger. Sie werden vom positiven Pol der Spannungsquelle angezogen und vom negativen Pol abgestoßen.

Spannungsquelle bewirkt eine Verschiebung der Ladungsträger in den Leitungen und den Platten. Eine Platte lädt sich positiv und die andere entsprechend negativ auf. Der Lade- und Verschiebestrom fließt so lange, bis zwischen der Ladespannung und dem elektrischen Feld ein Gleichgewicht entstanden ist.

Elektrischer Fluss

Die an den Kondensator angelegte elektrische Spannung bewirkt zwischen den Kondensatorplatten den elektrischen Fluss Ψ (Psi, griech. Buchstabe), auch Verschiebungsfluss genannt. Er entspricht der Zahl der Feldlinien und ist gleich der elektrischen Ladung des Körpers. Der elektrische Fluss transportiert keine Ladungsträger. Zur Berechnung gilt: Ψ = C · U, mit der Einheit A·s.

Flussdichte

Der elektrische Fluss eines geladenen Körpers der eine geschlossene Fläche senkrecht durchsetzt erzeugt die Flussdichte D. Sie ist damit gleich der Ladungsdichte und proportional zur Feldstärke. Zur Berechnung gelten: D = Ψ / A = Q / A und D0 = ε0 · E

Ist der Radius einer elektrisch geladenen Fläche klein, dann herrscht dort bei hoher Ladung eine hohe elektrische Feldstärke und zu einem nahen Flächenelement eine große Flussdichte. In Gewitternähe lassen sich daher an leitenden metallischen Spitzen Elmsfeuer als Corona- oder Spitzenentladungen beobachten.

Permittivität

Das elektrische Feld wirkt im Vakuum und durchdringt elektrische Isolatoren. Bei konstant gehaltener Feldstärke ist die Flussdichte vom Isolationsmaterial im E-Feld abhängig. Die Permittivität ε oder dielektrische Leitfähigkeit ist das Produkt der elektrischen Feldkonstanten und einer materialabhängigen dimensionslosen Permittivitätszahl. Sie gibt an, wie viel Mal größer die elektrische Flussdichte ist, wenn statt Vakuum ein anderes Isolationsmaterial verwendet wird. Für Luft ist in sehr guter Näherung εr = 1. Fast immer ist εr auch noch von der elektrischen Feldstärke abhängig.

Permittivität

Influenz

Zur Darstellung der Influenz bringt man in einem Laborversuch in einen großen elektrisch geladenen Plattenkondensator zwei weitere noch leitend zusammenliegende Platten ein. Das elektrische Feld des Kondensators verschiebt die frei beweglichen Elektronen in den eingebrachten Metallplatten und lädt deren Oberflächen dem äußeren Feld entgegengesetzt auf. Werden die Metallplatten mechanisch getrennt, bilden sie einen weiteren kleinen Kondensator mit entgegengesetztem Feldverlauf. Der Raum zwischen den neuen Kondensatorplatten ist feldfrei. Die Spannung über dem großen Kondensator nimmt dadurch ab.

Influenz im Potenzialfeld

Nimmt man die getrennten Platten aus dem großen Kondensator heraus, entspricht sein Feld wieder dem anfänglichen Zustand. Auf dem kleinen Kondensator hat man durch Ladungsverschiebung, der Influenz, eine Ladung ΔQ = D · A erzeugt und durch mechanische Energiezufuhr getrennt. Er hat ein eigenes elektrisches Feld und an ihm kann eine Spannung gemessen werden.

Wird nur eine von zwei isoliert aufgehängten Metallkugeln elektrisch positiv oder negativ aufgeladen, so ziehen sich die beiden Kugeln an. In der zuvor elektrisch neutralen Metallkugel werden die relativ frei beweglichen Elektronen durch das E-Feld der anderen Kugel so verschoben, dass sich die dem Feld zugewandte Seite durch Influenz entgegengesetzt auflädt. Zwischen den ungleichen Ladungen wirkt die Coulombkraft.

Influenz ist Ladungstrennung, die auf einem Leiter im elektrischen Feld stattfindet.
Die Ladung wird so lange verschoben, bis die Feldstärke im Leiterinnenraum zu null wird.
An der Leiteroberfläche ist die Influenzladung dem äußeren Feld entgegengerichtet.

Dielektrische Polarisation

Wirkt das elektrische Feld auf einen Isolator, so kann keine Ladungstrennung wie bei der Influenz erfolgen. Ein Isolator besitzt keine freien Elektronen. Die Ladungszentren der Elektronenhüllen um Atome und Moleküle können teilweise durch das Feld verformt und somit polarisiert werden. Die dipolähnlichen Strukturen richten sich dann entsprechend ihrer Ladungsverteilung entlang der Feldlinien aus. Der Vorgang wird Verschiebungspolarisation genannt. Von Orientierungspolarisation spricht man, wenn das Dielektrikum, der Isolator selbst schon Dipolcharakter hat.

Top

Potenzial, Spannung als Potenzialdifferenz

Ausführliche mathematische Betrachtungen zum elektrischen Feld und seinen Größen findet man im letzen Kapitel dieser Seite. Jedem Ort im E-Feld kann ein bestimmtes elektrisches Potenzial φ zugeordnet werden. Es gibt an, wie groß die potenzielle Energie einer Probeladung ist, die aus dem Unendlichen oder vom Nullpotenzial an diesen Ort des Felds gebracht wurde. Verbindet man alle Punkte gleichen Potenzials, dann erhält man die Äquipotenziallinien. Sie werden von den Feldlinien immer senkrecht geschnitten. Verbindet man im räumlichen Feld alle gleichen Äquipotenziallinien, so ergibt das eine Äquipotenzialfläche. Im homogenen E-Feld ist die Bezugslinie oder Ebene der negativen Ladungen als Nullpotenzial definiert. Im inhomogenen E-Feld liegt das Nullpotenzial radialsymmetrisch vom Ladungsursprung entfernt im Unendlichen.

E-Feld mit Potenziallinien

Äquipotenziallinien sind Linien gleichen Potenzials (Energiegehalts).
Feldlinien und Äquipotenziallinien stehen immer senkrecht aufeinander.

Homogenes elektrisches Feld

Wird im dargestellten homogenen E-Feld die positive Probeladung q vom Nullpotenzial nach oben zur positiven Ladung Q bewegt, muss eine äußere Kraft die zunehmende Abstoßungskraft zur positiven Ladung Q überwinden. Die potenzielle Energie der Probeladung q nimmt zu. Wird sie im homogenen E-Feld links oben losgelassen, wirkt eine Kraft Fel in Feldrichtung und beschleunigt sie entlang der Feldlinien um die Wegstrecke Δs. Die potenzielle Energie der Probeladung nimmt ab und ihre kinetische Energie zu. Die Ladung bewegt sich in das Gebiet mit geringerer potenzieller Energie und verrichtet elektrische Arbeit Wel. Die durchlaufene Potenzialdifferenz ist das Maß der Arbeit und wird als elektrische Spannung U bezeichnet.

Kraft-, Ladungs- und Spannungsformeln

Auf dem Weg von φ1 nach φ2 verliert die Probeladung potenzielle Energie. Die Berechnung der Potenzialdifferenz U21 zeigt mit dem Minuszeichen, dass am Ende das Potenzial bei φ2 niedriger ist. In elektronischen Schaltungen wird die Spannung meistens in Bezug zum Nullpotenzial also als U12 gemessen. Der Wert ist dann wie zu erwarten positiv.

Die Spannung ist positiv, wenn die Ladungsbewegung in Richtung des elektrischen Felds erfolgt.

Inhomogenes elektrisches Feld

Per Definition gilt für das inhomogene Radialfeld einer Ladung, dass die potenzielle Energie in unendlicher Entfernung gegen null strebt. Bringt man eine Probeladung aus dem Unendlichen in das Quellenfeld ein, dann erfährt sie an jedem Ort eine Kraft, für die das Coulombgesetz gilt. Da es sich um ein konservatives elektrisches Kraftfeld handeln soll, ist die verrichtete Arbeit vom Weg unabhängig und auf geschlossener Wegstrecke null. Es kann also für jeden Ortspunkt die potenzielle Energie bestimmt werden, die eine dort befindliche Ladung hätte.

Potenzial im Radialfeld einer Ladung

Die grafische Darstellung φ = f(r) ergibt eine Hyperbel. Das Potenzial φ(r) ist proportional zur Quellenladung und umgekehrt proportional zum Abstand des Ladungszentrums. Die Feldlinien verlaufen von positiver zu negativer Ladung. Die Spannung in Feldrichtung ist positiv.

Potenzialverlauf im Radialfeld

Elektrisches Feld der Erde

Die Erde besitzt ein elektrisches Radialfeld mit senkrecht zur Erdoberfläche weisenden Feldlinien. Zwischen ihr und der leitenden Ionosphärenschicht in rund 80 km Höhe beträgt die Ladungsdifferenz um 500000 Coulomb. Die Erdoberfläche ist als negativ geladen definiert. Die Potenzialdifferenz zwischen der Ionosphäre und der Erde beträgt rund 300 kV. Die Lufthülle ist das Dielektrikum und dient als Isolator. Das System ist mit einem Kondensator der Kapazität 1,7 Farad vergleichbar.

In Bodennähe ist zwischen der Erdoberfläche und Atmosphäre eine durchschnittliche elektrische Feldstärke von 100 V/m messbar. Die geringe Leitfähigkeit der Luft sorgt für Ladungsverluste des Felds, die aber stetig ausgeglichen werden. Für den Ladungserhalt sorgen unter anderem kosmische Strahlung, radioaktiver Zerfall und die Ladungstrennung, die bei Reibung zwischen kleinen Teilchen bei der Windverfrachtung in der Atmosphäre ersteht.

Top

Der Feldbegriff

Mit dem Feldbegriff werden alle Punkte im Raum beschrieben, denen besondere physikalische Zustandsgrößen, den Feldgrößen zugeordnet sind. Sie können orts- und auch zeitabhängig sein. Bei statischen Feldern sind die Feldgrößen von der Zeit unabhängig. In stationären Feldern treten Bewegungsabläufe auf, die aber im betrachteten Zeitabschnitt am gleichen Ort des Feldes konstant sind. Beispiele hierzu sind das elektrische Feld eines an einer Gleichspannungsquelle angeschlossenen Kondensators oder das Magnetfeld einer ortsfesten von konstantem Gleichstrom durchflossenen Spule. In einem homogenen Feld ist jedem Raumpunkt die gleiche Feldgröße zugeordnet. In einem inhomogenen Feld sind die Feldwerte ortsabhängig.

Je nach mathematischer Beschreibung der Feldgrößen wird zwischen Skalar- und Vektorfeldern unterschieden. Temperatur- oder Potenzialfelder sind Skalarfelder, wo jedem Ortspunkt ein Zahlenwert zugeordnet ist. Vektorfelder lassen sich durch Feldlinien veranschaulichen, deren Tangenten in jedem Raumpunkt die Richtungen der Feldgröße anzeigen. Anschauliche Beispiele sind durch Eisenspäne darstellbare Magnetfelder oder durch Styroporkugeln oder Grassamen darstellbare elektrische Felder. Vektorfelder sind stets Kraftfelder. Man unterscheidet zwischen einem Quellenfeld, wo die Feldlinien wie beim statischen E-Feld an der positiven Ladungsquelle beginnen und an der negativen Ladungssenke enden. Bei einem Wirbelfeld, wie dem Magnetfeld, sind die Feldlinien ohne Anfang und Ende. Sie bilden geschlossene Schleifen, wenn sie am Nordpol aus und am Südpol wieder eintreten, um dann den Magneten im Inneren zum Nordpol zu durchlaufen.

Vektorielle Eigenschaften des elektrischen Felds

Coulomb-Gesetz

Das Coulomb-Gesetz wurde auf dieser Seite bisher nur in seiner skalaren Form verwendet. Die Kraft als gerichtete Größe kann auch vektoriell beschrieben werden. Die Richtung der Kraft wirkt entlang der direkten Wegstrecke zwischen den beiden Ladungen. Die Proportionalitätskonstante ε berücksichtigt mit εr die Abhängigkeit vom Material, das sich zwischen den Ladungen befindet und von den Kräften durchdrungen wird.

Coulomb-Gesetz skalar und vektoriell

Elektrisches Feld

Die von einer elektrischen Ladung ausgehende Kraftwirkung und ihr Kraftfeld führen zur Definition des elektrischen Felds. Die elektrische Feldkraft ist die Coulombkraft, die auf eine in das Feld gebrachte Probeladung bei fehlendem magnetischen Feld wirkt. Die Test- oder Probeladung ist per Definition immer positiv und das Feld der Probeladung wird vernachlässigt. Die elektrische Feldkraft E(r) am Ort r ist die Kraft F(r) bezogen auf die Probeladung. Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld, dessen Richtung in jedem Raumpunkt identisch mit der Richtung der dort bestimmbaren Coulombkraft ist.

elektrische Feldstärke

Die Feldlinie ist die gedachte kürzeste Verbindung von der Quellenladung zur Probeladung. Die Tangente an die Verbindungslinie im Raumpunkt der Probeladung gibt den Verlauf des elektrischen Feldvektors an. Auf einer positiven Quellenladung beginnen die Feldlinien und verlaufen ohne sich zu schneiden radial in den Raum.

Elektrischer Fluss – Gaußscher Satz

Der Flussbegriff ist für alle Vektorfelder definiert. Nach Gauß ist der elektrische Fluss durch eine Fläche vektoriell mathematisch bestimmbar. Das elektrische Feld einer Punktladung soll wie in der Grafik links eine beliebige Äquipotenzialfläche so durchdringen, dass die Feldstärke für jedes Flächenelement gleich ist. Der elektrische Fluss transportiert keine Ladungsträger, sondern beschreibt die Kraftwirkung durch ein Flächenelement.

elektrischer Fluss

Da die Oberfläche der Kugelkalotte nicht eben ist, teilt man sie in infinitesimal kleine vektorielle Flächenelemente dA auf, die als eben gelten, und integriert über alle Teilflächen. Der Normalenvektor steht senkrecht auf dem Flächenelement und weist in Richtung der Feldlinie, die durch das Element durchsetzt. Der elektrische Fluss ist eine skalare Größe und errechnet sich aus dem Skalarprodukt der elektrischen Feldkraft E · dA. In der Grafik rechts ist das rechteckig ebene Flächenelement nicht senkrecht zur Feldrichtung orientiert, daher muss bei der Berechnung mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels multipliziert werden. Durch eine parallel zum Feld liegende Fläche ist beim Winkel von 90° kein elektrischer Fluss möglich.

Die vom E-Feld durchsetzte Fläche soll die geschlossene Oberfläche eines Volumens darstellen. Ist der eintretende elektrische Fluss gleich dem austretenden Fluss, dann muss das Volumeninnere frei von Ladungsquellen oder Ladungssenken sein. Befindet sich eine Punktladungsquelle im Zentrum einer Kugel und durchsetzt der elektrische Fluss die gesamte Oberfläche, so stellt sie in diesem Fall eine Äquipotenzialfläche dar und man kann auf die Integration verzichten. Handelt es sich um die geschlossene Oberfläche eines beliebigen Volumens, ist über alle infinitesimalen Flächenelemente zu integrieren.

Fluss durch geschlossene Oberfläche

Nach dem Satz von Gauß gilt diese Beziehung allgemein. Er besagt, dass der elektrische Fluss durch eine geschlossene Fläche proportional zur Summe aller von ihr eingeschlossenen Ladungen ist. Der Proportionalitätsfaktor ist der Kehrwert der elektrischen Feldkonstante ε0.

Elektrische Flussdichte

Die elektrische Feldstärke steht für die Kraftwirkung des E-Felds. Im Abschnitt der Influenz wurde dargestellt, dass im homogenen elektrischen Feld eines Plattenkondensators mithilfe der Feldstärke Ladungen eines inneren Plattenpaars verschoben werden. Es werden so viele Ladungen influenziert, wie sich auf den Flächeneinheiten direkt gegenüberstehen. Die elektrische Flussdichte D, auch Verschiebedichte genannt, stellt ein Vektorfeld dar. Der Betrag ist die vom E-Feld maximale influenzierte Flächenladungsdichte. Der Flussdichtevektor weist in Richtung des elektrischen Feldvektors E.

Experimentell zeigt sich eine Proportionalität zwischen der Feldstärke und der influenzierten Landungsmenge. Ebenso besteht zwischen der Ladungsmenge und der Fläche eine direkte Proportionalität. Die Ladungsverteilung ist die positive oder negative skalare Flächenladungsdichte (sigma) σ = Q/A. Werden wie im Influenzversuch die zuvor leitend verbundenen Metallplatten im Feld getrennt, dann bilden sie selbst einen geladenen Kondensator mit eigener Feldstärke. Im homogenen E-Feld ist die Flächenladungsdichte gleich dem Absolutwert der elektrischen Flussdichte.

Flussdichte

Die Betrachtungen gelten auch im inhomogenen Feld und einer beliebigen Fläche. Die Integration über infinitesimal kleine Flächenelemente stellt sicher, dass D in Richtung der Flächennormale weist. Der elektrische Fluss durch die Oberfläche des Raumvolumens einer Kugel ist proportional zur umschlossenen Ladung. Betrachtet man alle Flächenelemente einer Äquipotenzialfläche, dann liegen die Vektoren D und E parallel. Mit D und E gelangt man zur zur sogenannten Materialgleichung des E-Felds, in der auch die dielektrische Polarisation P berücksichtigt ist. Bei homogener und isotroper, von der Richtung unabhängiger Polarisation, vereinfacht sich die Beziehung zwischen D und E.

Flussdichte und Materialgleichung