Mathematische Reihen

Bei einer mathematischen Reihe sind die Glieder der zugrunde liegenden mathematischen Folge über Rechenzeichen miteinander verbunden. Da es arithmetische und geometrische Folgen gibt, lassen sich auch derartige Reihen erstellen.

Arithmetische Reihe

Die Summe der natürlichen ganzen Zahlen stellt eine unendliche Reihe dar. Lassen sich Teilsummen, die auch Partialsummen genannt werden, bilden und unterscheiden sie sich von Glied zu Glied um den gleichen Wert, so liegt eine arithmetische Reihe vor. Kann aus der Teilsummenfolge ein Grenzwert S ermittelt werden, so handelt es sich um eine konvergente Reihe. Für eine divergente Reihe lässt sich kein Grenzwert bestimmen.

Geometrische Reihe

Die Glieder einer geometrischen Folge sind ebenfalls durch Rechenzeichen miteinander verbunden. Die Reihe hat ein Anfangsglied a und alle weiteren Glieder unterscheiden sich um einen Quotienten q. Die folgende Darstellung entspricht einer unendlichen geometrischen Reihe. Mit den einzeln dargestellten drei aufeinanderfolgenden Gliedern (I ... III) der Reihe wird gezeigt, dass sich aus der geometrischen Summe der beiden äußeren Glieder das mittlere Glied errechnet.

Aus der allgemeinen Darstellung einer geometrischen Reihe kann, wie nachfolgend gezeigt wird, die Teilsumme sn hergeleitet werden. Die Teilsummengleichung Gl.(1) wird mit dem Quotienten der Reihe multipliziert. Die daraus folgende Gleichung Gl.(2) wird von Gl.(1) subtrahiert. Ein entsprechendes Ergebnis folgt mit Gl.(2) − Gl.(1) aus der umgekehrten Subtraktion. Das Ergebnis wird oftmals als Summe einer endlichen geometrischen Reihe bezeichnet.

Diese Gleichung hat ihre Bedeutung in der Zinseszinsberechnung und in Rentenformeln. Die Lösung der historischen Schachbrettaufgabe gelingt ebenfalls mit dieser Gleichung. Der Erfinder des Schachspiels erbat sich vom indischen König als Belohnung die Anzahl der Weizenkörner, die sich ergibt, wenn auf das erste der 64 Felder ein Korn und auf jedes weitere Feld die jeweils doppelte Körnerzahl gelegt wird. Mit a = 1, q = 2 und n = 64 eine nicht erfüllbare Bitte.

Für sn errechnet sich die Zahl von rund 18·10¹⁸ Körnchen. Sie hätten auf dem Schachbrett keinen Platz gehabt. Mit einem Gewicht von durchschnittlich 0,05 g/Korn würde das einer Erntemenge von gerundet 900 Milliarden Tonnen entsprechen. Auch heutige Welternten könnten diese Forderung nicht erfüllen.

Eine geometrische Reihe konvergiert, wenn ihr Quotient dem Betrag nach kleiner 1 ist, |q| < 1.
Ihre Summe berechnet sich dann zu S = a / ( 1− q)

Harmonische Reihe

Zu den beiden Beispielen einfacher Summenreihen zählen auch harmonische Reihen, von denen zwei allgemeine Beispiele gezeigt werden. Die erste Reihe ist divergent, ebenso die harmonische Potenzreihe, wenn der Exponent p < 1 ist. Mit einem Exponenten p > 1 wird die Reihe konvergent. Abgesehen vom Anfangsglied kann jedes Glied durch das harmonische Mittel aus dem direkt voranstehenden und nachfolgenden Glied errechnet werden.

Funktionsreihen – Potenzreihen von Funktionen

Sind die einzelnen Glieder einer unendlichen Reihe keine Konstanten wie bisher, sondern Funktionen von einer Variablen x, so werden sie Funktionsreihen genannt. Oftmals handelt es sich um Potenzreihen oder Exponentialreihen. Dieser Bereich wird von der höheren Mathematik ausgiebig behandelt und an dieser Stelle nicht weiter vertieft.

Fourierreihen

Periodische Signale mit beliebiger Kurvenform lassen sich nach Fourier aus einer Reihe sinus- (cosinus)förmiger Signale entwickeln. In diesem Webprojekt ist die Fourieranalyse im Überblick beschrieben.

Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl

Die e-Funktion kann als Exponentialreihe dargestellt werden. Wird in der folgenden Reihe x = 1 gesetzt, dann erhält man eine Gleichung zur schnellen und recht genauen Berechnung der Eulerschen Zahl e.

Winkelfunktionen lassen sich ebenfalls durch Potenzreihen darstellen. Die im Hintergrund ablaufenden Programme zur Berechnung mathematischer Funktionen in Taschenrechnern nutzen derartige Reihen.

Die Herleitung der Exponentialform einer komplexen Zahl beruht auf diesen beiden Reihen. An anderer Stelle wird im Ansatz gezeigt, wie sich aus der Summe der Einzelfunktionen der Sinusreihe die Sinuskurve bildet.