Informations- und Kommunikationstechnik

Verhalten belasteter passiver RC-Pässe

Eine einfache RC-Schaltung kann als Hoch- oder Tiefpass-Filter eingesetzt werden. Beim RC-Hochpass wird das Ausgangssignal parallel zum Widerstand und beim RC-Tiefpass parallel zum Kondensator abgenommen. Eine kombinierte Schaltung richtig dimensionierter Hoch- und Tiefpass-Filter wird zum Bandpass oder zur Bandsperre. Nur für eine unbelastete einfache Pass- oder Filterschaltung sind Grenzfrequenzen und Übertragungsfunktionen einfach zu berechnen. In kombinierten Filterschaltungen belasten sich die Aus- und Eingänge der einfachen HP- oder TP-Glieder gegenseitig, wodurch sich ihre Kenndaten verändern. Nachfolgend werden die Übertragungsfunktionen für den mit einem Wirkwiderstand belasteten RC-Tiefpass und RC-Hochpass hergeleitet. Es werden Schaltungsvarianten für RC-Bandpässe behandelt. Mit komplexer Wechselstromrechnung wird für gegenseitige Belastung die Übertragungsfunktion eines RC-Bandpasses hergeleitet. Die folgenden Untersuchungen und mathematischen Herleitungen gelten angepasst auch für RL-Schaltungen.

Grenzfrequenzversatz bei Belastung

Belasteter Tiefpass

Wird ein RC-Tiefpass am Ausgang mit einem ohmschen Widerstand oder der Eingangsimpedanz einer Folgeschaltung belastet, so verringert sich die Ausgangsspannung mit zunehmender Belastung und die Grenzfrequenz nimmt höhere Werte an. Das Diagramm zeigt die Simulationsergebnisse für einen RC-Tiefpass.

belasteter RC-Tiefpass

Für einen belasteten Pass gilt die einfache Formel zur Berechnung der Grenzfrequenz nicht mehr. Für die folgenden Betrachtungen soll die Signalquelle am Eingang weiterhin mit einem Innenwiderstand von 0 Ω ideales Verhalten haben. Auf das Signal bezogen liegen dann der Tiefpasswiderstand R und der Lastwiderstand RL parallel zueinander und bilden einen Ersatzwiderstand Rers.

berechnete Belastung am RC-Tiefpass

Im niedrigen Frequenzbereich bestimmt in der Parallelschaltung von Rers und C dieser ohmsche Widerstand die Ausgangsspannung. Beim Tiefpass ist das auch die neue Eingangsspannung Uers. Die veränderte Grenzfrequenz kann jetzt wieder mit der bekannten Formel bei gleicher Kapazität aber dem Ersatzwiderstand berechnet werden. Die Ausgangsspannung bei dieser Grenzfrequenz liegt bezogen auf die Ersatzspannung bei −3 dB. Die Berechnungen konnten im Experiment bestätigt werden. Kann der Quelleninnenwiderstand nicht vernachlässigt werden, ist er zum Wert des Tiefpasswiderstands R zu addiert, da beide Widerstände eine Reihenschaltung bilden.

Belasteter Hochpass

Eine für den RC-Hochpass vergleichbare Simulation zeigt den Einfluss des Innenwiderstands der Signalquelle Ri und einer Ausgangslast RL auf die Grenzfrequenz. Im Leerlauf wird der RC-Hochpass am Eingang durch den Innenwiderstand der Quelle belastet, der in Reihe mit dem Hochpasswiderstand liegt. Je größer der Innenwiderstand ist, desto mehr verschiebt sich die Grenzfrequenz in den tieferen Bereich. Die ersten drei Simulationswerte zeigen, dass der Einfluss gering ist, solange die Impedanz der Quelle klein im Vergleich zum Widerstandwert im Hochpass bleibt.

Belastung am RC-Hochpass

Einen größeren Einfluss hat die Belastung am Ausgang durch RL. Durch die Parallelschaltung entsteht ein deutlich kleinerer Widerstand, der mit dem Kapazitätswert die Grenzfrequenz bestimmt. Die Simulationsergebnisse zeigen mit zunehmender Belastung einen Versatz der Grenzfrequenz in den höheren Bereich. Werden für den Quelleninnenwiderstand und den Lastwiderstand ohmsche Widerstände angenommen, kann die gültige Grenzfrequenz des Hochpasses mit dem folgenden Ersatzwiderstand berechnet werden.

Formeln bei Belastung am RC-Hochpass

Übertragungsfunktion für einen belasteten RC-Tiefpass

Für einen belasteten RC-Tiefpass ist die Berechnung der Übertragungsfunktion mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung relativ einfach durchzuführen und nicht nur auf ohmsche Lasten begrenzt. Das folgende einfache Beispiel zeigt die prinzipielle Vorgehensweise bei rein ohmscher Ausgangslast und ohne den zusätzlichen Einfluss des Quelleninnenwiderstands. Die Ausgangsspannung am Kondensator wird durch den parallel liegenden Widerstand RL belastete.

Belastung am RC-Tiefpass

Zur Herleitung der komplexen Übertragungsfunktion wird für die Parallelschaltung der komplexe Scheinleitwert aufgestellt, dessen Kehrwert ist die komplexe Impedanz Z. Sie bildet mit dem Tiefpasswiderstand R eine Reihenschaltung. Die Eingangsspannung liegt über der komplexen Summe beider Widerstände R und Z. Die Ausgangsspannung liegt parallel zur komplexen Impedanz Z. Die Übertragungsfunktion ist das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung. Bei einer passiven Schaltung kann die Ausgangsspannung nie größer als die Eingangsspannung sein.

komplexe Übertragungsfunktion, RC-Tiefpass

Der Betrag des Amplitudenfrequenzgangs kann mithilfe der Gl.(2) berechnet werden. Die Real- und Imaginärkomponente werden quadriert und aus deren Summe die Quadratwurzel gezogen. Aus den beiden Grenzbetrachtungen für die Frequenz ist das Tiefpassverhalten zu erkennen, wobei sich für 0 Hz die anfangs aufgestellte Beziehung für die Ersatzspannung ergibt.

Die Abhängigkeit des Phasenwinkels von der Frequenz errechnet sich aus dem Arcustangens des Quotienten der Imaginär- zur Realkomponente. Die Phasenlage der Eingangsspannung hat per Definition null Grad. Das negative Vorzeichen in der Gl.(4) zeigt, dass es sich um einen Tiefpass handelt.

komplexe Übertragungsfunktion, RC-Tiefpass

Bei der Grenzfrequenz beträgt der Absolutwert des Phasenwinkels immer |φ| = 45°. Aus dem Argument der Gl.(4) kann somit die Grenzfrequenzformel für den belasteten Tiefpass hergeleitet werden, die mit dem Ersatzwiderstand Rers identisch mit der eingangs benutzten Formel ist.


Übertragungsfunktion für einen belasteten RC-Hochpass

Zur einfacheren komplexen Herleitung soll der Hochpass nur durch einen Wirkwiderstand belastet werden. Die Ausgangsspannung liegt an der Parallelschaltung aus HP-Widerstand und Lastwiderstand. In der folgenden Herleitung der Übertragungsfunktion wird er als Parallelwiderstand RPar eingesetzt. Der Innenwiderstand der Quelle Ri bildet mit RPar eine Reihenschaltung. Bei gemischter Ausgangsbelastung durch Impedanzen ist die komplexe Wechselstromrechnung die einzig brauchbare Methode.

Belastung am RC-Hochpass

Für den mit einem ohmschen Widerstand belasteten Hochpass wird mit Berücksichtigung des Quelleninnenwiderstands die Übertragungsfunktion in der Komponentenform aufgestellt. Damit ist auch der Phasengang bestimmbar, der mit dem positiven Vorzeichen angibt, dass es sich um einen Hochpass handelt. Aus der Phasengangfunktion Gleichung für die Grenzfrequenz erstellt werden. Mit diesen Gleichungen lassen sich die anfänglichen Simulationsergebnisse bestätigen.

komplexe Formelherleitungen für RC-Hochpass

RC-Bandpässe

Die Zusammenschaltung geeignet dimensionierter Hoch- und Tiefpassglieder ergibt einen Bandpass. Mit ihm kann aus einem breiten Frequenzband ein definierter schmaler Frequenzbereich ausgefiltert werden. Das Kapitel passive elektrische Filter enthält dazu allgemein gehaltene Informationen. Hier wird der RC-Bandpass als Reihenschaltung aus RC-Hochpass und RC-Tiefpass eingehender untersucht. Die einfachste Schaltung besteht aus einem Hoch- und Tiefpass gleicher Dimensionierung und Grenzfrequenz.

1. Schaltungsvariante

Das Eingangssignal liegt am TP und das Ausgangssignal am Widerstand des nachfolgenden HP. Im niedrigen Frequenzbereich sind beide Kondensatoren hochohmig. Der HP-Kondensator dämpft den Signalstrom stark, sodass niedrige Frequenzen im Ausgangssignal kaum vorhanden sind. Mit zunehmend höheren Frequenzen werden beide Kondensatoren niederohmiger. Der TP-Kondensator leitet diese Frequenzen nach Masse, sodass auch dieser Frequenzbereich zunehmend gedämpft im Ausgangsignal vorhanden ist. Nähert sich die Eingangsfrequenz der Grenzfrequenz, dann nimmt die Ausgangsamplitude zu, da die Übertragungscharakteristik des Hochpass in den Durchlassbereich gelangt. Beim Überschreiten der Grenzfrequenz gerät der Tiefpass in den Sperrbereich und die Ausgangsamplitude nimmt ab. Bei der in diesem Beispiel für beide Filter gleichen Grenzfrequenz ist das Maximum der Durchlasskurve zu erwarten.

2. Schaltungsvariante

Das Eingangssignal liegt am HP und das Ausgangssignal wird am nachfolgenden TP abgenommen. Für niedrige Frequenzen dämpft der HP-Kondensator den Signalstrom zum TP und weiter an den Ausgang. Im Bereich der Grenzfrequenz wechselt die Charakteristik des HP vom Sperrbereich in den Durchlassbereich. Nach dem Überschreiten der Grenzfrequenz wechselt der TP vom Durchlass- in den Sperrbereich und dämpft für zunehmend höhere Frequenzen die Ausgangsamplitude immer stärker. Im Bereich der Grenzfrequenz hat diese Filterschaltung ihr Übertragungsmaximum.

RC-Bandpass

Das AC-Frequenz- und Phasendiagramm, als Bodediagramm bezeichnet, zeigt für beide Schaltungen das gleiche Bandpassverhalten. Die Grenzfrequenzen der einzeln berechneten HP- oder TP-Filter betragen 159 Hz und bilden jetzt die Mittenfrequenz des Bandpasses beim Phasenwinkel φ = 0°. In den Diagrammen lassen sich zwei neue Grenzfrequenzen mit fu = 48 Hz bei φ = +45° für den Hochpass und fo = 530 Hz bei φ = −45° für den Tiefpass bestimmen. Die Wurzel aus dem Produkt der beiden Grenzfrequenzen ergibt die Mittenfrequenz des Filters. Die Maximalamplitude im Durchlassbereich hat gemessen −9,5 dB. Das ist nur noch ein Drittel der Durchlassamplitude des einzelnen HP- oder TP-Filters. Beide Pässe beeinflussen sich gegenseitig, da die Ausgangsimpedanz des einen die Eingangsimpedanz des anderen belastet und umgekehrt.

Die Serienschaltung eines HP- und TP-Filters ergibt nur dann einen sinnvoll nutzbaren Bandpass, wenn die HP-Grenzfrequenz gleich oder niedriger als die TP-Grenzfrequenz ist. Hat der Hochpass die höhere Grenzfrequenz, dann ist die maximal erreichbare Ausgangsamplitude deutlich niedriger und die Bandbreite viel größer. Das folgende Beispiel verdeutlicht es mit dem Bodediagramm. Die Mittenfrequenz des Filters errechnet sich wie oben angegeben als geometrischer Mittelwert der einzelnen HP und TP Grenzfrequenzen.

Dimensionierung RC-Bandpass

Die gegenseitige Beeinflussung wird verhindert, werden beide Pässe durch einen Impedanzwandler entkoppelt sind. Seine Eingangsimpedanz ist so hoch, dass er den Ausgang des vorgeschalteten HP nicht belastet. Seine Ausgangsimpedanz ist sehr niedrig, sodass er für den folgenden TP eine fast ideale Signalquelle darstellt. In der Grundschaltung hat der Impedanzwandler den Verstärkungsfaktor 1 und keinen Einfluss auf die Signalamplitude. Die Diagramme der Simulationsschaltung zeigen den Bandpasscharakter mit gleicher Mittenfrequenz. Infolge der Entkopplung ist die Durchlassamplitude mit −6 dB weniger stark gedämpft und die Bandbreite ist geringer und das Filterverhalten optimaler.

entkoppelter RC-Bandpass

Der rote Kurvenzug am Ausgang des Impedanzwandlers zeigt das Bodediagramm des nicht belasteten HP mit der Grenzfrequenz von 159 Hz. Auf die Amplitude der Eingangsspannung bezogen lassen sich −3 dB ablesen. Der folgende Tiefpass mit gleicher Grenzfrequenz dämpft diese Amplitude um den gleichen Wert. Die Maximalamplitude des Bandpasses erreicht somit −6 dB. Mit weiter zunehmender Frequenz dämpft der TP seine Ausgangsamplitude mit 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade. Es handelt sich damit um ein Filter 1. Ordnung.

Die Entkopplung mit einem Impedanzwandler wird oftmals angewendet, zumal er auch unter Beibehalten seiner günstigen Ein- und Ausgangsimpedanzen zum Verstärker erweitert werden kann. Die Filterschaltungen sind nicht mehr passiv, sondern benötigen zusätzliche Betriebsspannungen.


Komplexe Übertragungsfunktion für den RC-Bandpass

Berechnungen zum passiven Bandpass können eigentlich nur mit komplexer Wechselstromrechnung erfolgen, da Signale mit unterschiedlichen Phasenwinkeln auf Impedanzen treffen, die ihrerseits von der Frequenz abhängige Spannungsteiler bilden. Der Bandpass ist als Spannungsteiler dargestellt und die zur Herleitung notwendigen Größen sind farblich gekennzeichnet. Eine Vereinfachung ergibt sich bei gleichen Bauteilwerten für den HP und TP. Der Hochpass belastet mit seiner Impedanz Z1 die Ausgangsspannung vom TP. Der TP belastet mit seinem Blindwiderstand die HP-Impedanz. Die Eingangsspannung für den HP liegt daher an Z2 der Parallelschaltung von Z1 für den HP und dem Blindwiderstand der TP-Kapazität. Die Eingangsspannung liegt an der Reihenschaltung aus dem TP-Widerstand und Z2.

passiver RC-Bandpass

Für beide Pässe können die Übertragungsfunktionen geschrieben werden, wobei nach der gemeinsamen Spannung U aufgelöst und gleichgesetzt wird. Damit ergibt sich der Ansatz für die Übertragungsfunktion des Bandpasses, in der U nicht mehr vorkommt. Werden in der Schaltung HP und TP vertauscht, führt die Herleitung der Übertragungsfunktion zum gleichen Ergebnis. Die anfangs gezeigte AC-Frequenzanalyse hat das in der Schaltungssimulation gezeigt.

Übertragungsfunktion RC-Bandpass

Amplituden- und Phasengang

Aus der komplexen Übertragungsfunktion errechnet sich der Amplituden-Frequenzgang aus der Summe der Quadrate für die Real- und Imaginärkomponente und dem anschließenden Ziehen der Quadratwurzel. Das Verfahren kann auch direkt auf die Komponenten im Nenner der Gl.(6) angewendet werden. Bei der Mittenfrequenz dieser symmetrischen Bandpassschaltung mit ωo = 1 / (R·C) hat die Imaginärkomponente den Wert null. Das Phasendiagramm der Schaltungssimulation zeigt bei der Mittenfrequenz den Phasenwinkel φ = 0° und bestätigt damit das Fehlen imaginärer Eigenschaften.

Amplitudengang und Mittenfrequenz

Der Phasengang errechnet sich aus dem Verhältnis der Imaginär- zur Realkomponente der Übertragungsfunktion. Mit der Definition der Normfrequenz Ω = f / fo, die auf die Mittenfrequenz bezogen ist, werden die Formeln übersichtlicher. Die Grenzfrequenzen sind beim absoluten Phasenwinkel φ = 45° definiert.

Phasengang und Grenzfrequenzen, RC-Bandpass

Mit den Bauteilwerten des Simulationsbeispiels errechnet sich die Mittenfrequenz zu f0 = 159 Hz und damit f1 = 525 Hz als obere und f2 = 48 Hz als untere Grenzfrequenz. Die abgelesenen Diagrammwerte (2. Schaltungsvariante) stimmen damit sehr gut überein. Ein spezieller RC-Bandpass ist das Wienglied, das in einem eigenen Kapitel ausführlicher beschrieben ist. Es wird in Sinusgeneratoren verwendet, die sich durch eine sehr gute Signalqualität auszeichnen.