Informations- und Kommunikationstechnik

Ableitungen mathematischer Funktionen

Der Funktionsgraph einer Geraden, ein Polynom 1. Grades, hat für jeden gewählten Abschnitt des Graphen eine konstante Steigung. Wie im Kapitel über Die Gerade gezeigt wird, kann die Steigung aus dem Differenzenquotienten Δy / Δx ermittelt werden. Funktionen höherer Ordnung zeichnen sich entlang ihres Graphen durch unterschiedliche Steigungswerte aus. Die Steigung für einen bestimmten Kurvenpunkt kann durch das Anlegen und Zeichnen einer Tangente bestimmt werden. Die Tangentensteigung lässt sich dann wieder durch ihren Differenzenquotienten ermitteln.

Für diese grafisch weniger genaue Bestimmungsmethode wird eine allgemeingültige optimale Methode oder Funktionsgleichung gesucht, mit der die Steigung für jeden Kurvenpunkt direkt errechnet werden kann. Die Gerade, die durch zwei nahe beieinanderliegende Kurvenpunkte geht, heißt Sekante. Ihre Steigung ist aus dem Differenzenquotienten unter Verwendung der beiden Kurvenpunktkoordinaten bestimmbar. Wandert ein Punkt P entlang der Funktion auf einen feststehenden Kurvenpunkt P1 zu, so geht die Sekante beim Erreichen von P1 in die Tangente über.

Die Tangente im Kurvenpunkt P1 wird als Grenzlage verstanden, zu der eine Folge von Sekanten durch P1 und einem weiteren Kurvenpunkt P zustrebt, wenn sich P unbegrenzt P1 nähert. Bei der Annäherung streben die Steigungswerte der Sekanten einem eindeutigen Grenzwert zu, der die gesuchte Tangentensteigung ist. Im folgenden interaktiven Lehrfilm kann dieser Übergang für vier auswählbare Kurvenpunkte nachvollzogen werden.

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als diffquo.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Es ist vorstellbar, dass sich zu einem ausgewählten Kurvenpunkt P1 Sekanten zeichnen lassen, deren zweiter Kurvenpunkt rechts oder links von P1 liegt. Die Steigungen der Sekanten stehen für einen Mittelwert zum gesuchten Momentanwert der Steigung für die Tangente für P1. Ergeben beide Steigungsfolgen der Sekanten von rechts und links kommend beim Grenzübergang, wo der Differenzenquotient in den Differenzialquotienten übergeht, den gleichen Grenzwert, so ist die betrachtete Funktion an der Stelle P1 differenzierbar.

Die Funktion f(x) ist im Definitionsbereich stetig. Sie ist an jeder Stelle differenzierbar, wenn für jeden Kurvenpunkt der rechts- und linksseitige Grenzwert gleich der Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt ist. Für f(x) existiert eine Ableitungsfunktion f ' (x), die den Wert der Steigung für jeden Kurvenpunkt bestimmt.

Beim Einsetzen der Abszissenwerte (x-Werte) von P1 und P in die Funktionsgleichung f(x) erhält man die zugehörigen Ordinatenwerte (y-Werte) der Funktion. Der Zählerausdruck des Differenzenquotienten (y1 − y) kann somit als f(x1) − f(x) geschrieben werden. Eine direkte Berechnung der Tangentensteigung für einen Kurvenpunkt P1 mithilfe des Differenzenquotienten führt zu keinem Ergebnis, da sowohl der Zähler als auch der Nenner den Wert 0 annehmen.

Zur Bestimmung des Grenzwertes errechnet man aus dem Funktionsterm des Differenzenquotienten eine Steigungsfunktion g(x1), die an allen Stellen stetig sein muss. An den Stellen mit x≠x1 ist das Ergebnis des Differenzenquotienten die Steigung einer Sekante. An der Stelle x = x1 gibt der Grenzwert, der Limes des Differenzenquotienten die Tangentensteigung im Punkt P1 an. Die Bildung des Grenzwerts führt zur gesuchten Ableitfunktion f ' (x).

Ersatzfunktion

Die folgenden Beispiele zeigen, wie durch einfaches Einsetzen von x = x1 in die Steigungsfunktion der Grenzwert bestimmt wird. Für die Funktionsgleichung einer Geraden ist das Ergebnis besonders leicht zu überprüfen, da ihre Steigung konstant und mit dem Steigungsfaktor des linearen Glieds identisch ist.

Ableitung mit Grenzwertbetrachtung

Wird der Differenzenquotient durch den Nenner gekürzt, wobei x ≠ x1 ist, folgt für eine Gerade die Steigungsfunktion g(x1) mit konstantem Wert, wo x nicht mehr vorkommt. Mit der Grenzwertbildung bleibt in der Ableitfunktion f ' (x) der Wert unverändert.

Der Rechenweg gilt auch für Funktionen höherer Ordnung. Im folgenden Beispiel ist es eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion dritten Grades. Solange x ≠ x1 ist, kann der Differenzenquotient ausgerechnet werden. Man erhält eine Steigungsfunktion g(x1). Ist sie für alle Werte von x stetig, führt die Grenzwertbildung zur Ableitfunktion im Kurvenpunkt P1. Sie wird als f ' (x) geschrieben und ist mit x = x1 für alle Kurvenpunkte gültig.

Polynom-Ableitung

Im Lehrprojekt ist der im 1. Quadranten verlaufende Ast der Hyperbel mit der Funktionsgleichung f(x) = 10/x dargestellt. Die Ableitfunktion für diese Stammfunktion kann ebenso ermittelt werden wie in den vorangegangenen Beispielen. Ein Vergleich mit den in der Animation zu ermittelnden Tangentensteigungen und den mit der folgenden Ableitgleichung errechenbaren Werten für den ausgewählten Punkt zeigt die Richtigkeit des Verfahrens.

Hyperbel-Ableitung mit Grenzwertbetrachtung

Wird die gegebene Ausgangsfunktion mit der zugehörigen Ableitfunktion verglichen, so ist bei ganzrationalen Funktionen, den Polynomfunktionen, eine Bildungsregel zu erkennen. Sie gilt auch für echt-gebrochen-rationale Funktionen in deren Zählern keine Potenzen größer x0 = 1 vorkommen. Für die abzuleitende Funktion wird der Exponent von x jedes einzelnen Glieds als Faktor vor das Glied geschrieben und der verbleibende Exponent um 1 erniedrigt. Da jede Konstante formal mit x0 multipliziert geschrieben werden kann, ist das Ergebnis ihrer Ableitung gleich 0.

Ableitung einfacher Polynomfunktionen

Ableitungsregeln

Faktor- und Potenzregel

Bei Differenzieren bleibt ein konstanter Faktor der Variablen unverändert erhalten. Ein von der Variablen unabhängiger konstanter Wert wird beim Differenzieren zu null. Der Exponent der Variablen wird als Faktor vor die Variable geschrieben und der neue Exponent wird um 1 erniedrigt.

Faktor- und Potenzregel

Summen- und Differenzregel

Ist die gegebene Funktion eine endliche Summe von Teilfunktionen, so wird jedes Glied nach der Faktor- und Potenzregel einzeln differenziert. Diese Methode findet ihre Anwendung bei Polynomfunktionen. Sie können als Linearkombination einzelner Funktionen mit der gleichen Variablen verstanden werden.

Summen- und Differenzregel

Produktregel

Diese Regel ist anzuwenden, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden. Ein fast selbsterklärendes Beispiel ist die Multiplikation zweier unterschiedlicher Potenzen der für dieselbe Variable x. Hier kann vor der Ableitung das Potenzgesetz angewendet werden, indem die Exponenten addiert werden. Die Ergebnisfunktion kann dann einfach nach der Potenzregel abgeleitet werden. Das zweite Beispiel zeigt die Multiplikation von zwei nicht zusammenfassbaren Teilfunktionen.

Produktregel für Faktorfunktionen

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist anzuwenden, wenn eine gebrochen rationale Funktion abgeleitet werden soll, wo die Variable im Zähler und Nenner in nicht zusammenfassbaren Teilfunktionen vorkommt.

Quotientenregel

Kettenregel

Die gegebene Funktion ist nicht elementar differenzierbar und stellt die Funktion einer anderen Funktion dar. Es handelt sich um miteinander verkettete Funktionen y = f(x) = F(u(x)). Die gegebene Ausgangsfunktion wird durch eine Substitution u = u(x) in eine von u abhängige elementare Funktion y = F(u) umgewandelt. Die Substitution u(x) wird als innere Funktion und die damit gebildete Funktion F(u) als äußere Funktion bezeichnet. Beide Funktionen müssen nach ihrer unabhängigen Variablen differenzierbar sein. Die gesuchte Ableitfunktion ist die Multiplikation der äußeren und inneren Ableitung und anschließender Rücksubstitution von u. Das scheint kompliziert zu sein, ist am Beispiel aber leicht nachvollziehbar.

Kettenregel

Die Kettenregel kann auch auf mehrfach verkettete Ausgangsfunktionen angewendet werden. Im folgenden Beispiel muss eine zweimalige Substitution durchgeführt werden, um elementar differenzierbare Teilfunktionen zu erhalten. Vorangestellt ist das allgemeine Lösungsverfahren.

Kettenregel, dreifache Verkettung

Ableiten von e-Funktionen

Bei der einfachsten e-Funktion y = f(x) = ex ist die Variable der Exponent zur Basis e = 2,71828..., der Eulerschen Zahl. Diese Exponentialfunktion ist eine elementare Funktion, deren erste Ableitung ebenso lautet. Ist der Exponent eine Funktion von x, dann erfolgt die Ableitung nach der Kettenregel oder einfacher gesagt, bleibt die e-Funktion erhalten und wird mit der Ableitung des Exponenten multipliziert. Ist die e-Funktion mit einer anderen Funktion der gleichen Variablen (im Beispiel t) multipliziert, dann ist beim Ableiten zusätzlich die Produktregel anzuwenden.

Ableitung von e-Funktionen

Ableiten von ln-Funktionen

Die einfachste elementare Funktion des natürlichen Logarithmus y = f(x) = ln(x) hat als erste Ableitung y' = 1/x. Hat die Logarithmusfunktion eine andere Basis, so wird noch durch den natürlichen Logarithmus der Basis dividiert. Ist der Klammerausdruck eine Funktion der Variablen, so muss wie bei der e-Funktion noch mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert werden. Die Ableitung erfolgt somit nach der Kettenregel.

Ableitung von ln-Funktionen