Informations- und Kommunikationstechnik

Die Gerade – Polynomfunktion 1. Ordnung

Im Elektroniklabor oder in der Elektrophysik wird beispielsweise die Abhängigkeit von Spannung und Strom an ohmschen Widerständen untersucht. Bei Versuchen, die von mehreren Parametern abhängig sind, wird stets nur ein Parameter variiert und sein Einfluss auf weitere Messgrößen untersucht. Die Auswertung erfolgt rein mathematisch und ist auch mithilfe einer grafischen Darstellung im rechtwinkligen Achsenkreuz möglich. Unter Berücksichtigung der stets auftretenden Messungenauigkeiten liegen beim ohmschen Widerstand alle Messpunkte für die Abhängigkeit zwischen angelegter Spannung und dem resultierenden Strom entlang einer Ausgleichsgeraden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in der Ebene wird als Gerade bezeichnet.

Bei der grafischen Darstellung des Widerstandsversuchs werden frei gewählte Spannungswerte auf der horizontalen Achse, der mathematischen x-Achse, abgetragen. Die sich einstellenden Stromwerte werden auf der dazu senkrecht stehenden Achse, der mathematischen y-Achse, eingezeichnet. Für einen ausgewählten Widerstand ergeben sich die Ströme als Funktionswerte der angelegten Spannungen. Der durch den Widerstand fließende Strom ist eine Funktion der am Widerstand anliegenden Spannung. Das Funktionsbild ist in den meisten Fällen eine Gerade und zeigt den linearen, proportionalen Zusammenhang zwischen Strom und Spannung.

Ist im Laborversuch an der Spannungsquelle kein Widerstand oder ein extrem großer Widerstandswert angeschlossen, dann wird praktisch beim maximalen Spannungswert kein Stromwert zu messen sein. Wird die Spannungsquelle mit einem sehr kleinen Widerstandswert oder durch einen Kurzschluss belastet, fließt der maximale Strom und der messbare Spannungswert geht gegen null. Man erhält zwei Extrempunkte, die entweder auf der x-Achse, der Spannungsachse oder der y-Achse, der Stromachse liegen. Für andere Widerstandswerte stellen sich andere Verhältnisse zwischen Spannung und Strom ein.

Achsenabschnittsform einer Geraden

Ziel ist es, die praktisch ermittelten Ergebnisse durch theoretisch mathematische Gesetzmäßigkeiten zu beschreiben, um für andere Versuchsbedingungen allgemeingültige Gesetzmäßigkeiten zu erhalten. Mit ihnen wird man unabhängig von praktischen Messreihen. Die Elektronik als Teilbereich der Naturwissenschaften ist eng mit der Mathematik verbunden, die als Beschreibungssprache gesehen werden kann.

Sind im ebenen rechtwinkligen Achsenkreuz die beiden Achsenabschnitte a und b bekannt, dann liegt der Punkt A(a;0) auf der x-Achse und B(0;b) auf der y-Achse. Die beiden Punkte werden auch Spurpunkte genannt. Die kürzeste Verbindung beider Punkte ist eine Gerade, die auch Spurgerade genannt wird. Jeder andere Punkt P auf dieser Geraden mit den Koordinaten P(x;y) erfüllt immer dann die Achsenabschnittsform, wenn a≠0 und b≠0 ist. Da es sich um eine Geradengleichung handeln soll, treten x und y in den Termen nur linear auf, sind also in der 1. Potenz enthalten und additiv miteinander verknüpft. In der Physik haben die Achsenabschnitte fast immer unterschiedliche Einheiten. Soll das Ergebnis ein reiner Zahlenwert sein, wird der zugehörige Achsenabschnittswert durch seine Einheit dividiert. Aus der Achsenabschnittsform kann die Funktionsgleichung der Geraden hergeleitet werden.

Achsenabschnittsform mit Formeln

Für den Achsenpunkt A ist der y-Wert null. Wird in das Verhältnis (x / a) der Achsenabschnittsform anstelle x der Wert a eingesetzt, so ist das Ergebnis 1. Gleiches gilt für die Betrachtung des Achsenpunktes B, wo der x-Wert null ist. Wird nach y aufgelöst, so folgt die lineare Funktion Gl.(1) aus den beiden bekannten oder im Experiment bestimmten Achsenabschnitten. Mit der Achsenabschnittsform können Funktionsgleichungen von Geraden nur dann ermittelt werden, wenn zwei Achsenabschnitte gegeben sind. Der Koeffizient (Multiplikationsfaktor) vor x steht für die Geradensteigung. Das absolute Glied b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse und somit den y-Achsenabschnitt an.

Für Geraden, die parallel zu einer der Achsen verlaufen, gibt es nur einen Spurpunkt, sodass die Achsenabschnittsform nicht angewendet werden kann. Für Geraden, die durch den Achsenursprungspunkt verlaufen, ist die Achsenabschnittsform ebenfalls nicht definiert.

Die Zweipunkteform einer Geraden

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten P1 und P2 ist eine Gerade. Mit den Koordinaten dieser Punkte kann die Funktionsgleichung der Geraden eindeutig hergeleitet werden. Jeder beliebige Punkt P(x/y) auf dieser Geraden ist zu den gegebenen beiden Punkten ebenfalls linear und muss die Funktionsgleichung erfüllen. Nach dem Strahlensatz der Geometrie sind die Streckenverhältnisse jedes Punktepaares zueinander gleich.

Zweipunkteform mit Formeln

Die Funktion f(x) ist die nach y umgeformte Zweipunktegleichung, mit der für jeden gewählten x-Wert der davon abhängige y-Wert errechnet werden kann. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden besteht aus einem linearen Glied mit x in der 1. Potenz und einem absoluten Glied ohne x. Der Koeffizient von x gibt die Steigung der Geraden in Bezug zur x-Achse und das absolute Glied den Schnittpunkt mit der y-Achse an.

Der folgende interaktive Lehrfilm bietet die Möglichkeit eine Gerade als Schnittlinie für zwei einstellbare Punkte darzustellen. Im vorgegebenen Wertebereich -15 <= x, y <= +15 werden dazu die aktuelle Funktionsgleichung und die Steigung der gezeichneten Geraden angezeigt.

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als steigung.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Die Normalform einer Geraden

Die allgemeine mathematische Schreibweise einer Geradengleichung ist y = f(x) = m·x + n, wobei m und n reelle Zahlen sind. Der Faktor m steht für die Steigung der Geraden und n ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, wenn x = 0 gesetzt wird. Mit n = 0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung und wird als Ursprungsgerade bezeichnet. Die Geradenfunktion ist für alle reellen x-Werte definiert.

Eine mathematische Funktion ist definiert als eindeutige Zuordnung der Werte aus einer Definitionsmenge zur Ergebnis-(Werte)-Menge. Für jeden x-Wert kann es nur einen y-Wert geben.

Für eine parallel zur y-Achse verlaufenden Geraden ist keine Funktionsgleichung definiert, da einem einzigen x-Wert viele y-Werte zugeordnet sind. Verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, so ist die Bedingung für eine Funktionsgleichung erfüllt. Der Steigungsfaktor ist null, der Funktionswert ist für alle x konstant.

Steigung und Normalform einer Geraden

Die Steigung einer Geraden

Die Steigung m ist der Koeffizient des linearen Glieds und wird vom Differenzenquotienten, dem Verhältnis des y-Abschnitts zum x-Abschnitt zwischen zwei gewählten Punkten auf der Geraden bestimmt. Die Steigung ist somit die auf die Horizontale bezogene Neigung der Geraden. Sie kann durch den Steigungswinkel φ angegeben werden, den die Gerade mit der Horizontalen bildet. Der Winkelwert nimmt gegen den Uhrzeigersinn linksdrehend zu. Die Steigung m errechnet sich mit dem Tangens des Winkels. Das rechtwinklige Steigungsdreieck hat die Gegenkathete Δy und die Ankathete Δx. Zur Berechnung der Steigung ist es egal, ob man die Koordinaten P1 von P2 oder umgekehrt subtrahiert. Wichtig ist, dass im Zähler und Nenner die gleiche Reihenfolge eingehalten wird. Steigungswinkel von φ = 90° oder ganzzahligen Vielfachen davon widersprechen der Definition der Funktion.

Orthogonale Geraden

Sollen sich in der Ebene zwei Geraden rechtwinklig schneiden und ist die Steigung m der einen Geraden bekannt, dann hat die andere Gerade den Steigungsfaktor −1/m, also den negativen Kehrwert des gegebenen Steigungsfaktors. Um aus dem benennungslosen Zahlenwert der Steigung den Steigungswinkel im Gradmaß anzugeben, muss für den tan(φ) die Umkehrfunktion mit arctan(φ) = φ verwendet werden. Für eine Geradenfunktion mit m = 0 kann keine orthogonale Geradenfunktion geschrieben werden, da die Division durch null nicht definiert ist.

Die Punktsteigungsform einer Geraden

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse verläuft, ist durch einen auf ihr liegenden Punkt P(x1;y1) und ihre Steigung m = Δy / Δx eindeutig bestimmbar. Die Herleitung erfolgt mit der Normalform und einer zweiten Gleichung, wo die Punktkoordinaten in die Normalform eingesetzt sind. Beide Gleichungen werden voneinander subtrahiert und nach y umgestellt. Das Ergebnis ist identisch mit der Funktionsgleichung, die als Zweipunkteform hergeleitet wurde.

Herleitung der Punkt-Steigungsform

Herleitung für m und n mithilfe der Normalform einer Geraden

Liegen zwei Punkte auf einer Geraden, so erfüllen ihre Koordinaten die Normalform der Geraden. Beim Einsetzen der Punktkoordinaten in die Normalform folgen zwei Gleichungen mit den Unbekannten m und n. Diese Gleichungen sind für m und n lösbar. In den folgenden Herleitungen werden beide Unbekannten aus den Ausgangsgleichungen allgemein bestimmt. Man kann natürlich auch entweder m oder n herleiten und das Ergebnis dann in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen, um die zweite Unbekannte zu ermitteln.

Herleitung der Steigung und des y-Achsenabschnitts

Wird der Ausdruck für das absolute Glied aus der Zweipunkteform ausgerechnet und umgeformt, so ist das Ergebnis identisch mit dem Term für das hier hergeleitete absolute Glied n.

Der folgende interaktive Lehrfilm stellt Geraden nach der Punktsteigungsform dar. Nach Eingabe der Werte für die Steigung und den Achsenabschnitt wird mit der Schaltfläche <Zeichnen> die entsprechende Funktionsgleichung angezeigt und die Gerade gezeichnet.

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als mathefkt1.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Hessesche Normalform – HNF

Mithilfe der HNF kann relativ einfach der direkte Abstand eines Punktes oberhalb oder unterhalb einer Geraden bestimmt werden. Auch in der Vektorgeometrie hat die HNF einen besonderen Platz. Der kürzeste Abstand zwischen einer Geraden und dem Koordinatenursprung ist eine auf ihr senkrecht stehende Gerade, die Normale. Sie bildet mit der x-Achse einen Winkel φ. Sind die Länge der Normalen p und der Winkel bekannt, kann die Hessesche Normalform wie folgt geschrieben werden:
x·cos(φ) + y·sin(φ) = p. Mit dem Winkel φ sind die Punktkoordinaten auf der Geraden und die Geradensteigung bekannt. Mit der Punkt-Steigungs-Form kann die HNF aufgestellt werden.

Hessesche Normalform

Die Gerade ist eindeutig bestimmbar, wenn die Länge der Normalen p bekannt ist. Die allgemeine Form der Geradengleichung A·x + B·y + C = 0 kann in die Hessesche Normalform umgewandelt werden. Die linke Seite ist durch die Wurzel aus der Summe der Quadrate von A und B zu dividieren. Nur für das neue absolute Glied p muss das Vorzeichen der Wurzel entgegengesetzt zum Vorzeichen des absoluten Glieds C sein. Das absolute Glied dividiert durch den Wurzelausdruck gibt die Länge der Normalen als kürzesten Abstand der Geraden zum Koordinatenursprung an. Diese Strecke steht senkrecht auf der Geraden.

HNF und allgem. Geradengleichung

Mithilfe der zugehörigen Grafik oben kann man sich von den Übereinstimmungen zwischen der allgemeinen Form der Geradengleichung und ihrer daraus herzuleitenden HNF überzeugen. Die Geradengleichung in allgemeiner Form lautet: 0,5·x + y − 4 = 0, und als Hessesche Normalform: x·cos(φ) + y·sin(φ) + 3,578 = 0