Informations- und Kommunikationstechnik

Die Gerade – Polynomfunktion 1. Ordnung

Im Elektroniklabor wird das Verhalten ohmscher Widerstände hinsichtlich ihrer Leitfähigkeit für den elektrischen Strom bei unterschiedlichen Spannungen untersucht. Die Auswertung der Messergebnisse erfolgt rein mathematisch und ist auch durch eine grafische Darstellung der Messpunkte im rechtwinkligen Achsenkreuz möglich. Unter Berücksichtigung der stets auftretenden Messungenauigkeiten liegen alle Messpunkte entlang einer Ausgleichsgeraden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in der Ebene wird als Gerade bezeichnet.

Bei der grafischen Darstellung des Widerstandsversuchs werden frei gewählte Spannungswerte auf der horizontalen Achse, der mathematischen x-Achse, abgetragen. Die sich einstellenden Stromwerte werden auf der dazu senkrecht stehenden Achse, der mathematischen y-Achse, eingezeichnet. Für einen ausgewählten Widerstand ergeben sich die Ströme als Funktionswerte der angelegten Spannungen. Der durch den Widerstand fließende Strom ist eine Funktion der am Widerstand anliegenden Spannung. Das Funktionsbild ist in den meisten Fällen eine Gerade und zeigt den linearen, proportionalen Zusammenhang zwischen Strom und Spannung.

Ist im Laborversuch kein Widerstand oder ein extrem großer Widerstandswert an die Spannungsquelle angeschlossen, dann ist der messbare Stromwert praktisch null und der Spannungswert maximal. Bei einem sehr kleinen Widerstandswert oder bei einem Kurzschluss der Spannungsquelle fließt der maximale Strom und der Spannungswert zeigt null an. Man erhält zwei Extrempunkte, die entweder auf der x-Achse, der Spannungsachse oder der y-Achse, der Stromachse liegen.

Achsenabschnittsform einer Geraden

Es ist das Ziel die in der Praxis ermittelten Beobachtungsergebnisse durch den Einsatz theoretisch mathematischer Gesetzmäßigkeiten zu beschreiben. Die Elektronik als Teilbereich der Naturwissenschaften ist eng mit der Mathematik verbunden.

Sind im ebenen rechtwinkligen Achsenkreuz die beiden Achsenabschnitte a und b bekannt, dann liegt der Punkt A(a;0) auf der x-Achse und B(0;b) auf der y-Achse. Die beiden Punkte werden auch Spurpunkte genannt. Die kürzeste Verbindung beider Punkte ist eine Gerade, die auch Spurgerade genannt wird. Jeder andere Punkt P auf dieser Geraden mit den Koordinaten P(x;y) erfüllt immer dann die Achsenabschnittsform, wenn a≠0 und b≠0 ist. Da es sich um eine Geradengleichung handeln soll, treten x und y in den Termen nur linear auf, sind also in der 1. Potenz enthalten und additiv miteinander verknüpft. Die Achsenabschnitte haben fast immer unterschiedliche Einheiten, aber das Ergebnis soll ein reiner Zahlenwert sein. Wird jeder Achsenabschnitt durch seinen mit der Einheit behafteten Wert dividiert, ist das Ergebnis ebenfalls ein reiner Zahlenwert. Aus der Achsenabschnittsform kann die Funktionsgleichung der Geraden hergeleitet werden.

Achsenabschnittsform mit Formeln

Für den Achsenpunkt A ist der y-Wert null. Wird in das Verhältnis x / a der Achsenabschnittsform anstelle x der Wert a eingesetzt, so ist das Ergebnis 1. Gleiches gilt für die Betrachtung des Achsenpunktes B, wo der x-Wert null ist. Wird nach y aufgelöst, so folgt die lineare Funktion Gl.(1) aus den beiden bekannten oder im Experiment bestimmten Achsenabschnitten. Mit der Achsenabschnittsform können Funktionsgleichungen von Geraden nur dann ermittelt werden, wenn zwei Achsenabschnitte gegeben sind. Der Koeffizient (Multiplikationsfaktor) vor x steht für die Geradensteigung. Das absolute Glied b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse und somit den y-Achsenabschnitt an.

Verlaufen Geraden durch den Ursprung oder parallel zur x-Achse, kann mit der Achsenabschnittsform keine Funktionsgleichung hergeleitet werden. Für eine parallel zur y-Achse ausgerichtete Gerade ist die Bedingung für eine Funktionsgleichung nicht erfüllt. Sie besagt, dass für jeden Wert von x eindeutig nur ein einziger y-Wert zugeordnet ist.

Die Zweipunkteform einer Geraden

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten P1 und P2 ist eine Gerade. Mit den Koordinaten dieser Punkte kann die Funktionsgleichung der Geraden eindeutig hergeleitet werden. Jeder beliebige Punkt P(x/y) auf dieser Geraden ist zu den gegebenen beiden Punkten ebenfalls linear und erfüllt die Funktionsgleichung. Nach dem Strahlensatz der Geometrie sind die Streckenverhältnisse jedes Punktepaares zueinander gleich.

Zweipunkteform mit Formeln

Die Zweipunktegleichung umgeformt ergibt die Funktion f(x), mit der die y-Koordinate eines beliebigen Punktes mit ausgewähltem x-Wert errechnet werden kann. Die Funktion setzt sich aus dem linearen Glied mit x in der 1.Potenz und einem absoluten Glied ohne x zusammen. Der Koeffizient von x entspricht der Steigung der Geraden.

Der folgende interaktive Lehrfilm bietet die Möglichkeit eine Gerade als Schnittlinie für zwei einstellbare Punkte darzustellen. Im vorgegebenen Wertebereich -15 <= x, y <= +15 werden dazu die aktuelle Funktionsgleichung und die Steigung der gezeichneten Geraden angezeigt.

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als steigung.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Die Normalform einer Geraden

Die bekannteste mathematische Schreibweise einer Geradengleichung ist y = f(x) = m·x + n, wobei m und n reelle Zahlen sind. Der Faktor m steht für die Steigung der Geraden und n ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, wenn x = 0 gesetzt wird. Mit n = 0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung und wird als Ursprungsgerade bezeichnet. Für eine parallel zur y-Achse verlaufenden Geraden sind einem einzigen Wert von x viele y-Werte zugeordnet. Das widerspricht der Definition einer Funktion.

Steigung und Normalform einer Geraden

Die Steigung einer Geraden

Die Steigung m ist der Koeffizient des linearen Glieds und wird vom Differenzenquotienten bestimmt. Die Steigung ist eine auf die Horizontale bezogene Neigung der Geraden. Sie kann durch den Steigungswinkel φ angegeben werden, den die Gerade mit der Horizontalen bildet. Der Winkelwert nimmt gegen den Uhrzeigersinn linksdrehend zu. Die Steigung m errechnet sich mit dem Tangens des Winkels. Das rechtwinklige Steigungsdreieck hat die Gegenkathete Δy und die Ankathete Δx. Zur Berechnung der Steigung ist es egal, ob man die Koordinaten P1 von P2 oder umgekehrt subtrahiert. Wichtig ist, dass im Zähler und Nenner die gleiche Reihenfolge eingehalten wird.

Für eine parallel zur y-Achse verlaufenden Geraden mit dem Steigungswinkel φ = 90° ist keine lineare Funktionsgleichung definiert, da es für jeden x-Wert unendlich viele y-Werte gibt.

Orthogonale Geraden

Sollen sich in der Ebene zwei Geraden mit rechtem Winkel schneiden und ist die Steigung m der einen Geraden bekannt, dann hat die andere Gerade den Steigungsfaktor −1/m, also den negativen Kehrwert des gegebenen Steigungsfaktors. Um aus dem benennungslosen Zahlenwert der Steigung den Steigungswinkel im Gradmaß anzugeben, muss für den tan(φ) die Umkehrfunktion mit arctan(φ) = φ verwendet werden.

Die Punktsteigungsform einer Geraden

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse verläuft, ist durch einen auf ihr liegenden Punkt P(x1;y1) und ihre Steigung m = Δy / Δx eindeutig bestimmbar. Die Herleitung erfolgt mit der Normalform und einer zweiten Gleichung, wo die Punktkoordinaten in die Normalform eingesetzt sind. Beide Gleichungen werden voneinander subtrahiert und nach y umgestellt. Das Ergebnis ist identisch mit der Funktionsgleichung, die als Zweipunkteform hergeleitet wurde.

Herleitung der Punkt-Steigungsform

Herleitung für m und n mithilfe der Normalform einer Geraden

Liegen zwei Punkte auf einer Geraden, so erfüllen ihre Koordinaten die Normalform der Geraden. Beim Einsetzen der Punktkoordinaten in die Normalform folgen zwei Gleichungen mit den Unbekannten m und n. Diese Gleichungen sind für m und n lösbar. In den folgenden Herleitungen werden beide Unbekannten aus den Ausgangsgleichungen allgemein bestimmt. Man kann natürlich auch entweder m oder n herleiten und das Ergebnis dann in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen, um die zweite Unbekannte zu ermitteln.

Herleitung der Steigung und des y-Achsenabschnitts

Wird der Ausdruck für das absolute Glied aus der Zweipunkteform ausgerechnet und umgeformt, so ist das Ergebnis identisch mit dem Term für das hier hergeleitete absolute Glied n.

Der folgende interaktive Lehrfilm stellt Geraden nach der Punktsteigungsform dar. Nach Eingabe der Werte für die Steigung und den Achsenabschnitt wird mit der Schaltfläche <Zeichnen> die entsprechende Funktionsgleichung angezeigt und die Gerade gezeichnet.

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als mathefkt1.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Hessesche Normalform – HNF

Mithilfe der HNF kann relativ einfach der direkte Abstand eines Punktes oberhalb oder unterhalb einer Geraden bestimmt werden. Auch in der Vektorgeometrie hat die HNF einen besonderen Platz. Der kürzeste Abstand zwischen einer Geraden und dem Koordinatenursprung ist eine auf ihr senkrecht stehende Gerade, die Normale. Sie bildet mit der x-Achse einen Winkel φ. Sind die Länge der Normalen p und der Winkel bekannt, kann die Hessesche Normalform wie folgt geschrieben werden:
x·cos(φ) + y·sin(φ) = p. Mit dem Winkel φ sind die Punktkoordinaten auf der Geraden und die Geradensteigung bekannt. Mit der Punkt-Steigungs-Form kann die HNF aufgestellt werden.

Hessesche Normalform

Die Gerade ist eindeutig bestimmbar, wenn die Länge der Normalen p bekannt ist. Die allgemeine Form der Geradengleichung A·x + B·y + C = 0 kann in die Hessesche Normalform umgewandelt werden. Die linke Seite ist durch die Wurzel aus der Summe der Quadrate von A und B zu dividieren. Nur für das neue absolute Glied p muss das Vorzeichen der Wurzel entgegengesetzt zum Vorzeichen des absoluten Glieds C sein. Das absolute Glied dividiert durch den Wurzelausdruck gibt die Länge der Normalen als kürzesten Abstand der Geraden zum Koordinatenursprung an. Diese Strecke steht senkrecht auf der Geraden.

HNF und allgem. Geradengleichung

Mithilfe der zugehörigen Grafik oben kann man sich von den Übereinstimmungen zwischen der allgemeinen Form der Geradengleichung und ihrer daraus herleitbaren HNF überzeugen. Die Geradengleichung in allgemeiner Form lautet: 0,5·x + y − 4 = 0, und als Hessesche Normalform: x·cos(φ) + y·sin(φ) + 3,578 = 0