Informations- und Kommunikationstechnik

Die quadratische Ergänzung und Parabelfunktion

Liegt die zu bestimmende Unbekannte in der 2. Potenz vor, dann ist eine Gleichung 2. Grades oder quadratische Gleichung zu lösen. Ist der Term mit der Unbekannten ein binomischer Ausdruck oder kann ein solcher mithilfe der quadratischen Ergänzung gebildet werden, so wird der Lösungsweg nach dem Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung recht einfach. Die Gleichung wird nach der Unbekannten umgestellt und anschließend bestimmt. Beim Quadrieren einer positiven oder negativen Zahl ist das Ergebnis immer positiv. In der Umkehrung bedeutet das, beim Ziehen der Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ist das Ergebnis sowohl positiv als auch negativ. Das ± Zeichen vor der Quadratwurzel sollte stets geschrieben werden, um die gesamte Lösungsmenge der Unbekannten zu bestimmen.

quadratische Gleichung

Im gezeigten Beispiel liegt der binomische Ausdruck schon vor. Der ausführliche Rechenweg zeigt, dass es insgesamt nur zwei unterschiedliche Ergebnisse gibt. Es reicht somit aus, beim Ziehen der Wurzel zu beiden Seiten der Gleichung das ± Vorzeichen nur vor eine Wurzel zu schreiben. Eine quadratische Gleichung hat maximal 2 unterschiedliche Ergebnisse oder eine gleiche Doppellösung.

Normalform der quadratischen Gleichung

In der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung treten für x die positiven ganzzahligen Potenzen 2, 1 und 0 auf. Da jede Zahl hoch null den Wert 1 hat, wird dieses Glied zum absoluten Glied, also ein Wert ohne x. Jede Gleichung n-ten Grades kann als Normalform geschrieben werden, wo auf einer Seite des Gleichheitszeichens die Null steht. Der Koeffizient (Faktor) der höchsten Potenz der Unbekannten x hat in der Normalform den Wert +1. Sollte das nicht zutreffen, muss jedes Glied der Gleichung durch den Faktor der höchsten Potenz von x dividiert werden. Die Normalform hat dann die allgemeine Schreibweise: y = x2 + a·x + b

Die quadratische Ergänzung

Sie ist ein Wert ohne x, der es ermöglicht einen Teil der linken Seite in einen binomischen Ausdruck umzuwandeln. Der gesuchte Wert errechnet sich aus dem Koeffizienten des linearen Glieds. Der Faktor vor x wird halbiert und das Ergebnis quadriert. Zur Probe kann man den binomischen Ausdruck ausrechnen, der dann wieder den Bildungsterm ergibt. Der Wert der gegebenen Normalform darf sich beim Erweitern mit der quadratischen Ergänzung nicht ändern. Der Ergänzungswert wird auf der gleichen Seite der Gleichung hinzugefügt und abgezogen.

quadratische Ergänzung

Die p-q–Formel und eine allgemeine Lösungsformel

Jede gemischt quadratische Gleichung kann als Normalform geschrieben werden, um mithilfe der quadratischen Ergänzung die Lösungsmenge der Unbekannten zu ermitteln. In mathematischen Formelwerken stehen die Lösungsformeln als p-q-Formel oder in allgemeinerer Form mit den unveränderten Ausgangskoeffizienten geschrieben. Zur Herleitung der p-q-Formel muss der Koeffizient des quadratischen Glieds 1 sein. Beide Lösungsformeln sind zur Berechnung gleich gut geeignet.

Herleitung der pq-Formel

Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante, der Unterscheidungswert. Ist ihr Wert positiv, dann hat die quadratische Gleichung zwei unterschiedliche reelle Lösungen. Ist der Wert 0, so liegt eine reelle Doppellösung vor. Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine reellen, aber zwei verschiedene konjugiert komplexe Lösungen.

Scheitelpunktform einer Parabel

Das Funktionsbild einer allgemeinen quadratischen Gleichung im rechtwinkligen Koordinatensystem ist eine Parabel. Die Punkte, wo der Funktionswert y = f(x) = 0 ist, werden Nullstellen genannt. Es sind die Schnitt- oder Berührungsstellen der Funktion mit der x-Achse, wo der Funktionswert y = 0 ist. Ein absolutes Glied verschiebt die Lage der Parabel in y-Richtung. Der Koeffizient von x2 bestimmt die Streckung, die bei Werten größer 1 zu einem steileren und bei Werten kleiner 1 zu einem flacheren Kurvenverlauf führt. Jede Parabel durchläuft einen Extrem- oder Scheitelpunkt. Für eine allgemeine Parabel kann die Scheitelpunktsform geschrieben werden als f(x) = a·(x − xs)2 + ys mit S(xs / ys). Mit den gegebenen Koordinaten des Scheitelpunktes und dem Streckungsfaktor a einer Parabel kann ihre Funktionsgleichung erstellt werden.

Ist das quadratische Glied ein binomischer Term, dann ist die Parabel entlang der x-Richtung verschoben. Die Parabel f(x) = (x + 1)² hat die reelle Doppelnullstelle bei x = −1 mit N(−1/0). Das ist gleichzeitig die x-Koordinate ihres Scheitelpunkts S(−1/0). Steht im binomischen Ausdruck ein Minuszeichen wie bei f(x) = (x − 1)², dann ist der Scheitelpunkt zur positiven x-Achsenrichtung verschoben. Das im Klammerausdruck zur Abszisse x zusätzliche lineare Glied ergibt mit −1 multipliziert die x-Koordinate für den Scheitelpunkt der Parabel. Somit ist für f(x) = (x + xs die Lage des Scheitelpunkts bei S(−x/ 0).

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als scheitel.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Der Koeffizient a vor x² oder dem binomischen Term wirkt sich nur auf die Streckung Parabel und nicht auf die Lage des Scheitelpunktes aus. Die Parabelfunktion f(x) = a·(x + xa hat eine Doppelnullstelle bei xn = −xa. Das ist durch Ausrechnen des binomischen Ausdrucks und der nachfolgenden Anwendung der p-q–Formel leicht beweisbar. Noch einfacher ist es für f(x) = 0 durch a zu dividieren und dann die Wurzel zu ziehen, um das gleiche Ergebnis zu erhalten.

Ein absolutes Glied beeinflusst die Lage des Scheitelpunkts und die Koordinaten der möglichen Nullstellen. Mithilfe der quadratischen Ergänzung können für jede Parabelgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts hergeleitet werden. Ist der Koeffizient des quadratischen Glieds ungleich 1, wird er vor dem Erstellen des binomischen Terms ausgeklammert.

Herleitung der Scheitelpunktform

Die Koordinaten des Scheitelpunkts nach diesem Verfahren zu bestimmen, erscheint umständlich für jeden, der mit Ableitungen einer Funktion, dem Differenzieren vertraut ist. Er würde den Extrempunkt mithilfe der 1. Ableitung, der Tangentensteigungsfunktion berechnen. Da im Extrempunkt der Wert der Tangentensteigung null ist, wird die 1. Ableitung der Parabelfunktion f '(x) = 0 gesetzt. Der x-Wert wird errechnet und gibt mit xs die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel an. Dieser Wert in die Parabelfunktion eingesetzt ergibt die ys-Koordinate des Scheitelpunkts. Die folgende Herleitung zeigt diesen Rechenweg für die allgemeine Polynomfunktion 2. Ordnung.

Herleitung der Scheitelkoordinaten

Rekonstruktion einer Parabel für gegebene Punktkoordinaten

In den folgenden Beispielen sollen die gegebenen Punkte auf einer Parabel liegen. Die Punktkoordinaten erfüllen die Funktionsgleichung einer Parabel. Sind die drei Punkte nicht durch besondere Eigenschaften wie z. B. Nullstelle oder Scheitelpunkt ausgezeichnet, dann erfolgt die Bestimmung der gesuchten Parabelfunktion mithilfe der allgemeinen Parabelfunktion. Mit den drei Punktkoordinaten werden drei Gleichungen aufgestellt, die als Unbekannte den Steigungskoeffizienten, eine mögliche Verschiebung in x-Richtung und einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben. Dieses Gleichungssystem ist für die drei Unbekannten lösbar. Gesucht ist die Parabelfunktion für die Punkte P1(−2/2), P2(−2/-3) und P3(−6/4).

Parabelrekonstruktion mit drei Punkten

Sind zwei unterschiedliche Nullstellen und der Koeffizient a ≠0 (Streckungsfaktor) gegeben, kann ebenfalls die zugehörige Parabelgleichung erstellt werden. Die Koordinaten der Nullstellen sind N1(1/0) und N2(9/0) und a = 0,5.

Parabelrekonstruktion mit 2 Nullstellen und dem Streckungsfaktor

Bei gegebenen Nullstellen kann auch die Linearfaktorform zum Erstellen der Parabelgleichung verwendet werden. Als weitere Größe wird entweder der Streckungsfaktor oder der y-Achsenschnittpunkt benötigt. Die Nullstellen sollen bei N1(2/0) und N2(-5/0) liegen. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat die Koordinaten S(0/4).

Parabelrekonstruktion mit 2 Nullstellen und dem y-Achsenschnittpunkt

Ist nur der Scheitelpunkt bekannt, kann mithilfe der Scheitelpunktsform die Funktionsgleichung für den Streckungsfaktor a = 1 erstellt werden. Alle anderen Parabeln mit diesem Scheitelpunkt benötigen die Angabe des Koeffizienten für das quadratische Glied.

Parabolspiegel

In der kommerziellen Empfangs- und Sendetechnik kommen oft Parabolantennen zum Einsatz. Die Form der heimischen Empfangsantenne, die als Satellitenschüssel bezeichnet wird, kann durch eine Parabelgleichung beschrieben werden, auch wenn es nicht direkt zu erkennen ist. Die im rechtwinkligen Achsenkreuz abgebildete Parabelfunktion hat in der Vertikalen eine durch ihren Scheitelpunkt gehende Symmetrieachse. Durch die Rotation um diese Achse entsteht das Rotationsparaboloid der Parabel. Zur Rotationsachse parallel ausgerichtet Strahlen, die auf die Innenfläche des Paraboloids auftreffen, werden zum Brennpunkt reflektiert.

Brennpunkt einer Parabel mit Leitstrahl

Geometrisch kann die Parabel als die Menge aller Punkte beschrieben werden, die von einer gegebenen Geraden, der Leitgeraden und einem gegebenen Punkt, dem Brennpunkt F gleich weit entfernt sind. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt mittig zwischen der Leitgeraden und dem Brennpunkt. Die Tangente am Parabelpunkt P halbiert den Winkel zwischen dem Lot der Tangente von P auf die Leitlinie und der Strecke von P nach F. Die Lage des Brennpunkts oder Brennweite ist von der Streckung der Parabel abhängig.

Berechnen von Brennpunkt und Brennweite

Die Berechnung ist leichter verständlich, wenn der parallel zur Symmetrieachse einfallende violette Strahl waagerecht zum Brennpunkt reflektiert wird. Das gilt für den auf der Parabel liegenden rechten Punkt P mit der Steigung der Tangente m = 1 und ihrem Steigungswinkel φ = 90°. Der y-Achsenabschnitt der Tangente ist n und liegt ebenso weit vom Scheitelpunkt der Parabel entfernt wie der Brennpunkt. Die Brennweite der Parabel ist f = 1/4a.

Offsetantenne als Parabolsegment

Lichtstrahlen, akustische Wellen und elektromagnetische Funkwellen weit genug entfernter Quellen verlaufen bezogen auf die Öffnung der Parabolantenne nahezu parallel zueinander. Ist die Symmetrieachse der Antenne auf die Sendequelle ausgerichtet, dann fokussiert die Antenne die Signale in ihrem Brennpunkt auf einen dort angebrachten Empfangskopf. Die heimischen TV-Satellitenantennen sind Ausschnitte einer Parabolantenne und werden als Offsetantenne bezeichnet. Die Ausrichtung der Antenne zur Sendequelle hat einen Offsetwinkel um 25 Grad und der LNB-Empfangskopf ist mit diesem Winkel zur anderen Seite montiert. Er liegt somit im Brennpunkt aber nicht im auswertbaren Strahlenbereich. Die Ausrichtung der Antenne zur Sendequelle ist weniger steil. Die Grafik zeigt die prinzipiellen Verhältnisse für eine Offsetantenne und eine Beispielrechnung für die Lage des LNB oberhalb des Scheitelpunktes.