Informations- und Kommunikationstechnik

Die quadratische Ergänzung und Parabelfunktion

In einer Gleichung 2. Grades liegt die zu bestimmende Unbekannte in der 2. Potenz vor. Ist der Term mit der Unbekannten ein binomischer Ausdruck mit dem Exponenten n = 2, so ist mit dem Ziehen der Quadratwurzel und einfachem Umstellen die Unbekannte leicht zu errechnen. Beim Quadrieren einer positiven oder negativen Zahl ist das Ergebnis immer positiv. In der Umkehrung muss das Ziehen der Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ein Ergebnis haben, dass als positiver und negativer Wert auftritt. Das ± Zeichen vor der Quadratwurzel sollte stets geschrieben werden, um die gesamte Lösungsmenge der Unbekannten zu bestimmen.

quadratische Gleichung

Der ausführliche Rechenweg zeigt, dass es insgesamt nur zwei unterschiedliche Ergebnisse gibt. Es reicht somit aus, beim Ziehen der Wurzel zu beiden Seiten der Gleichung das ± Vorzeichen nur vor eine Wurzel zu schreiben. Eine quadratische Gleichung hat maximal 2 unterschiedliche Ergebnisse oder eine gleiche Doppellösung.

In der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung treten für x die positiven ganzzahligen Potenzen 2, 1 und 0 auf. Da jede Zahl hoch null den Wert 1 hat, wird dieses Glied zum absoluten Glied. Mit ein wenig Vorarbeit kommt man mit dem gezeigten Lösungsverfahren immer ans Ziel. Jede Gleichung n-ten Grades kann in ihre Normalform geschrieben werden, wo auf einer Seite des Gleichheitszeichens die Null steht. Die Normalform wird umsortiert, sodass auf der linken Seite alle Potenzen von x stehen und der Koeffizient des quadratischen Glieds +1 ist. Falls notwendig dividiert man dazu alle Glieder der Gleichung durch den Faktor der höchsten Potenz von x. Im nächsten Schritt wird die Gleichung so sortiert, dass links vom Gleichheitszeichen alle Potenzen von x und rechts die Werte ohne x stehen. Links wird die quadratische Ergänzung gesucht und die gesamte Gleichung damit erweitert.

Die quadratische Ergänzung ist ein Wert ohne x, der es ermöglicht die linke Seite der Gleichung in einen binomischen Ausdruck umzuwandeln. Der gesuchte Wert errechnet sich aus dem Koeffizienten des linearen Glieds. Der Faktor vor x wird halbiert und das Ergebnis quadriert. Diese Bildungsregel erschließt sich einem beim Vergleich beider Seiten der binomischen Gleichung in der Normalform.

quadratische Ergänzung

Die p-q–Formel und eine allgemeine Lösungsformel

Jede gemischt quadratische Gleichung kann als Normalform geschrieben werden, um mithilfe der quadratischen Ergänzung die Lösungsmenge für die Unbekannte zu ermitteln. In mathematischen Formelwerken stehen die Lösungsformeln als p-q-Formel oder in allgemeinerer Form mit den Ausgangskoeffizienten geschrieben. Zur Herleitung der p-q-Formel muss der Koeffizient des quadratischen Glieds 1 sein. Beide Lösungsformeln sind zur Berechnung gleich gut geeignet.

Herleitung der pq-Formel

Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante, der Unterscheidungswert. Ist ihr Wert positiv, dann hat die quadratische Gleichung zwei unterschiedliche reelle Lösungen. Ist der Wert 0, so liegt eine reelle Doppellösung vor. Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine reellen, aber zwei verschiedene konjugiert komplexe Lösungen.

Scheitelpunktform einer Parabel

Das Funktionsbild einer allgemeinen quadratischen Gleichung im rechtwinkligen Koordinatensystem ist eine Parabel. Die Punkte, wo y = f(x) = 0 gilt, werden Nullstellen genannt und sind mithilfe der quadratischen Ergänzung und der binomischen Formel leicht zu errechnen. Die Normalparabel f(x) = x² hat für f(x) = 0 mit x = 0 eine reelle Doppelnullstelle. Für diese nach oben geöffnete Parabel ist es der Minimal- oder Scheitelpunkt und somit ein Extrempunkt im Kurvenverlauf. Ist das quadratische Glied ein binomischer Term, dann ist die Parabel entlang der x-Richtung verschoben. Die Parabel f(x) = (x + 1)² hat die reelle Doppelnullstelle bei x = −1. Das ist gleichzeitig die x-Koordinate ihres Scheitelpunkts. Steht in der Klammer ein Minuszeichen wie bei f(x) = (x − 1)², dann ist der Scheitelpunkt zur positiven x-Achsenrichtung verschoben. Das im Klammerausdruck zur Abszisse x zusätzliche lineare Glied ergibt mit −1 multipliziert die x-Koordinate für den Scheitelpunkt der Parabel. Somit ist für f(x) = (x + xs)² die Lage des Scheitelpunkts bei S(−x/ 0).

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als scheitel.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Ist der Koeffizient a vor x² oder dem binomischen Term ≠ 1, ändert sich die Streckung der Normalparabel. Werte größer 1 ergeben einen steileren Verlauf der Kurvenäste. Bei Werten kleiner 1 ist der Kurvenverlauf flacher und die Steigungen entlang der Kurve bei identischen x-Koordinaten sind kleiner. Die Lage des Scheitelpunktes wird durch den Koeffizienten a nicht verändert. f(x) = a·(x + xa hat eine Doppelnullstelle bei xn = −xa. Das ist mit dem Ausrechnen des binomischen Ausdrucks und der nachfolgenden Anwendung der p-q–Formel leicht beweisbar.

Ein zusätzliches absolutes Glied verschiebt die Parabel vertikal in y-Richtung. Mit einem positiven Zahlenwert wird der Scheitelpunkt nach oben und mit einem negativen Wert nach unten verschoben. Mit dem absoluten Glied und der neuen Lage des Scheitelpunkts ändern sich auch die Koordinaten der Nullstellen. Mithilfe der quadratischen Ergänzung können für jede Parabelgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts hergeleitet werden. Ist der Koeffizient des quadratischen Glieds ≠1, so wird er vor dem Erstellen des binomischen Terms ausgeklammert.

Herleitung der Scheitelpunktform

Die Koordinaten des Scheitelpunkts nach diesem Verfahren zu bestimmen, erscheint umständlich für jeden, der mit Ableitungen einer Stammfunktion, der Differenzialrechnung vertraut ist. Er ermittelt die Extremalpunkte der Stammfunktion aus der 1. Ableitung, der Tangentensteigungsfunktion. Da im Extrempunkt der Wert der Tangentensteigung null ist, wird die 1. Ableitung der Stammfunktion f '(x) = 0 gesetzt. Die errechenbare x-Koordinate gibt die Lage des Scheitelpunkts der Parabel in xs. Dieser Wert in die Stammfunktion eingesetzt ergibt die ys-Koordinate des gesuchten Scheitelpunkts. Die folgende Herleitung zeigt diesen Rechenweg für die allgemeine Polynomfunktion 2. Ordnung.

Herleitung der Scheitelkoordinaten

Rekonstruktion einer Parabel für gegebene Punktkoordinaten

In den folgenden einfachen Beispielen sollen die gegebenen Punkte mit ihren Koordinaten die Funktionsgleichung einer Parabel erfüllen. Sind die drei Punkte nicht durch besondere Eigenschaften wie z. B. Nullstelle oder Scheitelpunkt ausgezeichnet, dann erfolgt die Bestimmung der gesuchten Parabelfunktion mithilfe der allgemeinen Parabelfunktion. Da alle drei Punktkoordinaten die allgemeine Parabelfunktion erfüllen müssen, lassen sich drei Gleichungen mit den Unbekannten für den Steigungskoeffizienten, einer möglichen Verschiebung in x-Richtung und einen Schnittpunkt mit der y-Achse aufstellen. Dieses Gleichungssystem ist für die drei Unbekannten lösbar. Gesucht ist die Parabelfunktion für die Punkte P1(−2/2), P2(−2/-3) und P3(−6/4).

Parabelrekonstruktion mit drei Punkten

Mit zwei Punkten unterschiedlicher x-Koordinaten und dem Koeffizienten a ≠0 (Streckungsfaktor) kann die Funktionsgleichung einer Parabel angegeben werden. Mit a = 0 folgt die Funktionsgleichung einer Geraden für die gegebenen Punkte.

Parabelrekonstruktion mit 2 Punkten und dem Streckungsfaktor

Ist der Scheitelpunkt bekannt, kann mithilfe der Scheitelpunktsform nur die Funktionsgleichung der Normalparabel erstellt werden. Für alle anderen Parabeln mit diesem Scheitelpunkt muss noch der Streckungsfaktor, der Koeffizient des quadratischen Glieds gegeben sein. Sind beide Nullstellen gegeben, so ist noch eine Angabe für den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt mit der y-Achse für eine eindeutige Bestimmung der Parabelfunktion notwendig. Mit den Nullstellen N1(2/0) und N2(−5/0) sowie dem y-Achsenabschnitt c = 4 wird die Parabelfunktion am einfachsten mit der Linearfaktorform ermittelt. Der y-Achsenabschnitt hat die Punktkoordinaten P(0/4), die ebenfalls die Funktionsgleichung erfüllen müssen.

Parabelrekonstruktion mit 2 Punkten und dem Streckungsfaktor

Parabolspiegel

In der kommerziellen Empfangs- und Sendetechnik kommen oft Parabolantennen zum Einsatz. Die Form der heimischen Empfangsantenne, die als Satellitenschüssel bezeichnet wird, kann durch eine Parabelgleichung beschrieben werden, auch wenn es nicht direkt zu erkennen ist. Die im rechtwinkligen Achsenkreuz abgebildete Parabelfunktion hat in der Vertikalen eine durch ihren Scheitelpunkt gehende Symmetrieachse. Durch die Rotation um diese Achse entsteht das Rotationsparaboloid der Parabel. Zur Rotationsachse parallel ausgerichtet Strahlen, die auf die Innenfläche des Paraboloids auftreffen, werden zum Brennpunkt reflektiert.

Brennpunkt einer Parabel mit Leitstrahl

Geometrisch beschrieben ist die Parabel die Menge aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden, der Leitgeraden und einem gegebenen Punkt, dem Brennpunkt F gleich weit entfernt sind. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt mittig zwischen der Leitgeraden und dem Brennpunkt. Die Tangente am Parabelpunkt P halbiert den Winkel zwischen dem Lot der Tangente von P auf die Leitlinie und der Strecke von P nach F. Die Lage des Brennpunkts oder Brennweite ist von der Streckung der Parabel abhängig.

Berechnen von Brennpunkt und Brennweite

Die Lage des Brennpunkts und die Berechnung der Brennweite einer Parabel sind vom Öffnungswinkel abhängig. Die Berechnung ist leichter verständlich, wenn der parallel zur Symmetrieachse einfallende violette Strahl waagerecht zum Brennpunkt reflektiert wird. Das gilt für den auf der Parabel liegenden rechten Punkt P mit der Steigung der Tangente m = 1 und ihrem Steigungswinkel φ = 90°. Der y-Achsenabschnitt der Tangente ist n und liegt ebenso weit vom Scheitelpunkt der Parabel entfernt wie der Brennpunkt. Die Brennweite der Parabel ist f = 1/4a.

Offsetantenne als Parabolsegment

Lichtstrahlen, akustische Wellen und elektromagnetische Funkwellen weit genug entfernter Quellen, verlaufen auf die Öffnung der Parabolantenne bezogen nahezu parallel zueinander. Ist die Symmetrieachse der Antenne auf die Sendequelle ausgerichtet, dann fokussiert die Antenne die Signale in ihrem Brennpunkt auf einen dort angebrachten Empfangskopf. Die heimischen TV-Satellitenantennen sind Ausschnitte einer Parabolantenne und werden als Offsetantenne bezeichnet. Die Ausrichtung der Antenne zur Sendequelle hat einen Offsetwinkel um 25 Grad und der LNB-Empfangskopf ist mit diesem Winkel zur anderen Seite montiert. Er liegt somit im Brennpunkt aber nicht im auswertbaren Strahlenbereich. Die Ausrichtung der Antenne zur Sendequelle ist weniger steil. Die Grafik zeigt die prinzipiellen Verhältnisse für eine Offsetantenne und eine Beispielrechnung für die Lage des LNB oberhalb des Scheitelpunktes.