Informations- und Kommunikationstechnik

Leistungsanpassung

In jedem Stromkreis wird elektrische Leistung umgesetzt. Ein Generator, allgemein jede Signalquelle, kann ihre Energie nur bis zu einer ihr eigenen Maximalleistung an eine angeschlossene Last abgeben. Jede Quelle hat einen Innenwiderstand an dem ebenfalls Leistung umgesetzt wird. Um einer Quelle die maximal mögliche Leistung zu entnehmen, muss der Lastwiderstand an den Innenwiderstand der Quelle angepasst sein.

Die Maximalleistung eines Generators errechnet sich aus seiner Urspannung Uo, der Klemmenspannung bei Leerlauf und dem Kurzschlussstrom. Dieser Fall ist aber praktisch ohne Nutzen, da die gesamte Leistung wird nur im Generator umgesetzt. Eine Leistungsabgabe nach außen erfolgt dabei nicht. Der Lastwiderstand Ra bildet mit dem Innenwiderstand Ri der Quelle eine Reihenschaltung. Die Urspannung der Quelle ist als ideal definiert und bleibt von der Last unabhängig konstant. Die folgende Herleitung ergibt eine allgemeine Formel zur Berechnung der abgegebenen Ausgangslast.

Formel zur Leistungsanpassung

Die nach Gl.(3) abgegebene Leistung Pa ist am größten, wenn der Nenner am kleinsten ist. Das ist nur bei x = 1 der Fall. Für das Leistungsmaximum folgt dann nach Gl.(2) Ra = Ri.

Die oben aufgestellte Gl.(1) kann mathematisch mittels Differenzierung auf Extremalwerte untersucht werden. In der Stammfunktion ist die unabhängige Größe Ra in einer Zähler- und Nennerfunktion enthalten. Die 1. Ableitung erhält man durch Anwenden der Quotientenregel. Dort, wo die 1. Ableitung Nullstellen hat, weist die Stammfunktion Extremalpunkte auf. Mit der 2. Ableitung erkennt man, ob es Minima oder Maxima sind. Die folgende Herleitung ergibt bei Ra = Ri einen Extrempunkt für die Leistungsformel.

mathem. Herleitung der Leistungsanpassung

Die Gesamtleistung Pges ist die Summe aus der abgegebenen Leistung Pa am Lastwiderstand und der am Quelleninnenwiderstand umgesetzten Leistung Pi. Bei Leistungsanpassung sind beide Widerstandswerte gleich, folglich sind auch die Spannungen an diesen Widerständen und beide Leistungen gleich. Die Gesamtleistung verteilt sich zu je 50% am Innen- und am Lastwiderstand. Der Wirkungsgrad beträgt 50%.

Leistungsbilanz bei Leistungsanpassung

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Simulationsmessreihe für eine Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand von 10 Ω. Sie gibt eine Leerlaufspannung von 10 V ab und wurde mit verschiedenen Widerstandswerten belastet. Gemessen wurden die Klemmenspannung und der Laststrom. In der Simulation sind die Spannungen am Innenwiderstand messbar, während sie im Laborversuch nur rechnerisch zu ermitteln sind. Aus den Simulationswerten wurden die abgegebene Leistung Pa, die am Innenwiderstand umgesetzte Leistung Pi, die Gesamtleistung Pges als Summe dieser beiden und der Wirkungsgrad η berechnet.

Ra U/V I/mA Ui/V Pa/W Pi/W Pges/W η
100 9,09 91,0 0,91 0,83 0,08 0,91 0,91
80 8,89 111,1 1,11 0,99 0,123 1,11 0,89
60 8,57 143,0 1,43 1,23 0,204 1,43 0,86
40 8,00 200,0 2,00 1,60 0,40 2,00 0,80
30 7,50 250,0 2,50 1,88 0,625 2,50 0,75
20 6,67 333,3 3,33 2,22 1,111 3,33 0,67
10 5,00 500,0 5,00 2,50 2,500 5,00 0,50
8 4,44 555,5 5,56 2,47 3,090 6,33 0,39
6 3,75 625,0 6,25 2,34 3,910 6,25 0,38
4 2,86 714,2 7,14 2,04 5,100 7,14 0,29
2 1,67 833,3 8,33 1,39 6,940 8,33 0,17
1 0,91 909,0 9,09 0,83 8,260 9,09 0,09

Im Diagramm sind die abgegebene Leistung und der Wirkungsgrad als Funktion des normierten Lastwiderstandes, dem Verhältnis Ra / Ri dargestellt. Beim Widerstandsverhältnis 1, bei Leistungsanpassung, durchläuft die Leistungskurve ihr Maximum und der Wirkungsgrad beträgt 50%.

Leistungsdiagramm

Jeder Generator gibt bei Leistungsanpassung die größtmögliche Leistung ab.
Leistungsanpassung besteht, wenn der an eine Quelle angeschlossene Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle ist.
Bei Leistungsanpassung beträgt der Wirkungsgrad genau 50%.

Der Kurzschlussbetrieb

Ein Lastwiderstand mit 0 Ohm schließt die Quelle kurz und die Klemmenspannung beträgt 0 Volt. Der Kurzschlussstrom wird nur vom Wert des Innenwiderstands der Quelle bestimmt. Die gesamte Leistung wird in der Quelle am Innenwiderstand umgesetzt. Nach außen wird keine Leistung abgegeben, daher ist der Wirkungsgrad null. Die letzte Zeile der Tabelle kommt dem Kurzschlussbetrieb sehr nahe. Im Kurzschlussfall ist der Wert der Gesamtleistung doppelt so hoch wie bei Leistungsanpassung und viermal größer als die Leistung, die maximal nach außen abgegeben werden kann.

Leistungsformeln

Leistungsanpassung ist besonders in der Nachrichtentechnik verbreitet. In der Energieversorgungstechnik ist diese Betriebsart unwirtschaftlich, da der hohe Leistungsanteil die Generatoren zu sehr erwärmt und eine Zerstörung der Anlage möglich wird. Die Generatoren für die Stromversorgung werden im Arbeitsbereich des höchstmöglichen Wirkungsgrads betrieben.

Spannungs- und Stromanpassung

Ist der Innenwiderstandswert der Spannungsquelle klein im Vergleich zum Lastwiderstandswert, dann ändert sich die Klemmenspannung bei Lastwechsel nur wenig. Dieser Betriebszustand wird Überanpassung oder Spannungsanpassung genannt. Ist verglichen mit dem Innenwiderstand der Lastwiderstandswert sehr groß, so nähert man sich dem Leerlaufbetrieb. Lastwechsel zeigen keine messbaren Änderungen der Klemmenspannung. Dieser Betriebszustand wird Konstantspannungsbetrieb genannt. Die Klemmenspannung erreicht im Leerlauf den Wert der Urspannung.

Eine Überanpassung oder Spannungsanpassung liegt vor, wenn RLast > Rinnen ist.
Die Betriebszustände der Überanpassung liegen zwischen Leistungsanpassung und Leerlauf.
Bei Überanpassung liegt der Wert des Wirkungsgrads zwischen η = 0,5 (Leistungsanpassung) und η = 1 (Leerlauf).
Der Betriebszustand bei RLast » Rinnen wird Konstantspannungsbetrieb genannt.

Stromanpassung

Ist der Innenwiderstandswert der Quelle groß und der Lastwiderstandswert klein, dann spricht man von Unteranpassung oder Stromanpassung. Beide Widerstände bilden eine Reihenschaltung und der höhere Widerstandswert bestimmt den Stromfluss. Kleinere Laständerungen haben auf den Strom umso weniger Einfluss, je größer der Unterschied zwischen den Widerstandswerten ist. Wird der Lastwiderstand sehr klein, dann nähert man sich dem Betriebszustand des Kurzschlusses. In diesem Fall bestimmt nur noch der Quelleninnenwiderstand den Strom. Der Zustand wird Konstantstrombetrieb genannt.

Unteranpassung oder Stromanpassung liegt vor, wenn RLast < Rinnen ist.
Die Betriebszustände der Unteranpassung liegen zwischen Leistungsanpassung und Kurzschluss.
Bei Unteranpassung liegt der Wert des Wirkungsgrads zwischen η = 0,5 (Leistungsanpassung) und η = 0 (Kurzschluss).
Der Betriebszustand bei RLast « Rinnen wird Konstantstrombetrieb genannt.