Leistungsanpassung

In jedem Stromkreis wird elektrische Leistung umgesetzt. Ein Generator, allgemein jede Signalquelle, kann die Energie nur bis zur Maximalleistung an eine angeschlossene Last abgeben. Am Innenwiderstand der Quelle selbst wird auch Leistung umgesetzt. Damit der Quelle die maximal mögliche Leistung entnommen werden kann, muss der Lastwiderstand dem Innenwiderstand der Quelle angepasst sein.

Die Maximalleistung eines Generators berechnet sich aus seiner Urspannung, der Klemmenspannung bei Leerlauf, und dem Kurzschlussstrom. Dieser Fall ist aber praktisch ohne Nutzen, denn die gesamte Leistung wird dabei nur im Generator umgesetzt. Eine Leistungsabgabe nach außen erfolgt dann nicht mehr.

Formelherleitung zur Leistungsanpassung

In der Gleichung (3) ist die abgegebene Leistung Pa am größten, wenn der Nenner am kleinsten ist. Das ist nur bei x = 1 der Fall. Nach Gleichung (2) folgt dann für das Leistungsmaximum Ra = Ri.

Die oben aufgestellte Gl.(1) kann mathematisch auch mittels Differenzierung auf Extremalwerte untersucht werden. In der Stammfunktion ist die unabhängige Größe Ra in einer Zähler- und Nennerfunktion enthalten. Die 1. Ableitung erhält man durch den Einsatz der Quotientenregel. Dort, wo die 1. Ableitung Nullstellen hat, weist die Stammfunktion Extremalpunkte auf. Die 2. Ableitung zeigt, ob es Minima oder Maxima sind. Die folgende Herleitung ergibt bei Ra = Ri einen Extrempunkt für die Leistungsformel.

Leistungsanpassung durch mathematische Ableitung der Widerstandsfunktion

Die Gesamtleistung Pges ist die Summe aus der abgegebenen Leistung Pa am Lastwiderstand und der am Quelleninnenwiderstand umgesetzten Leistung Pi. Bei Leistungsanpassung sind beide Widerstandswerte gleich und damit sind auch die Spannungen an diesen Widerständen gleich. Für diesen Fall sind auch beide Leistungen gleich, wobei 50% der Gesamtleistung nach außen hin abgegeben werden. Der Wirkungsgrad beträgt 50%.

Leistungsbilanz bei Leistungsanpassung

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Simulationsmessreihe. Ein Generator mit einem Innenwiderstandswert von 10 Ω liefert im Leerlauf 10 V. Er wurde mit verschiedenen Widerstandswerten belastet. Gemessen wurden die Klemmenspannung und der Laststrom. In der Simulation konnte auch die Spannung am Innenwiderstand gemessen werden. Im Labor kann dieser Wert nur rechnerisch ermittelt werden. Aus den Simulationswerten wurden die abgegebene Leistung Pa, die am Innenwiderstand umgesetzte Leistung Pi, die Gesamtleistung Pges als Summe dieser beiden und der Wirkungsgrad η berechnet.

Ra U/V I/mA Ui/V Pa/W Pi/W Pges/W η
100  9,09  91,0  0,91  0,83  0,083  0,91  0,91 
80  8,89  111,1  1,11  0,99  0,123  1,11  0,89 
60  8,57  143,0  1,43  1,23  0,204  1,43  0,86 
40  8,00  200,0  2,00  1,60  0,40  2,00  0,80 
30  7,50  250,0  2,50  1,88  0,625  2,50  0,75 
20  6,67  333,3  3,33  2,22  1,111  3,33  0,67 
10  5,00  500,0  5,00  2,50  2,500  5,00  0,50 
4,44  555,5  5,56  2,47  3,090  6,33  0,39 
3,75  625,0  6,25  2,34  3,910  6,25  0,38 
2,86  714,2  7,14  2,04  5,100  7,14  0,29 
1,67  833,3  8,33  1,39  6,940  8,33  0,17 
0,91  909,0  9,09  0,83  8,260  9,09  0,09 

Im Diagramm sind die abgegebene Leistung und der Wirkungsgrad als Funktion des normierten Lastwiderstandes, dem Verhältnis Ra / Ri dargestellt. Beim Widerstandsverhältnis 1, bei Leistungsanpassung, durchläuft die Leistungskurve ihr Maximum und der Wirkungsgrad beträgt 50%.

Leistungskurve bei variabler Belastung

  • Jeder Generator gibt bei Leistungsanpassung die größtmögliche Leistung ab.
  • Leistungsanpassung besteht, wenn der an eine Quelle angeschlossene Lastwiderstand
    gleich dem Innenwiderstand der Quelle ist.
  • Bei Leistungsanpassung beträgt der Wirkungsgrad genau 50%.

Der Kurzschlussbetrieb

Mit einem Lastwiderstandswert von 0 Ohm wird die Quelle kurzgeschlossen und die Klemmenspannung beträgt 0 Volt. Der Kurzschlussstrom wird alleine vom Wert des Innenwiderstands der Quelle bestimmt. Die gesamte Leistung wird am Innenwiderstand umgesetzt und es wird keine Leistung nach außen abgegeben. Der Wirkungsgrad ist null. Die letzte Zeile der Tabelle kommt dem Kurzschlussbetrieb sehr nahe. Im Kurzschlussfall ist der Wert der Gesamtleistung doppelt so hoch wie bei Leistungsanpassung und viermal größer als die Leistung, die maximal nach außen abgegeben werden kann.

Formeln

In der Nachrichtentechnik ist Leistungsanpassung weit verbreitet. In der Energieversorgungstechnik ist diese Betriebsart unwirtschaftlich. Der hohe Leistungsanteil im Generator erzeugt Abwärme, die zur Zerstörung der Anlage führen kann. Die Generatoren für die Stromversorgung werden im Arbeitsbereich des höchstmöglichen Wirkungsgrads betrieben.

Spannungsanpassung

Ist der Innenwiderstandswert der Spannungsquelle klein im Vergleich zum Lastwiderstandswert, dann ändert sich die Klemmenspannung bei Lastwechsel nur wenig. Dieser Betriebszustand wird Überanpassung oder Spannungsanpassung genannt. Ist der Lastwiderstandswert sehr groß gegenüber dem Innenwiderstandswert, dann nähert man sich dem Leerlaufbetrieb. Lastwechsel zeigen keine messbaren Änderungen der Klemmenspannung. Dieser Betriebszustand wird Konstantspannungsbetrieb genannt. Die Klemmenspannung erreicht im Leerlauf den Wert der Urspannung.
  • Überanpassung oder Spannungsanpassung liegt vor, wenn RLast > Rinnen ist.
  • Die Betriebszustände der Überanpassung liegen zwischen Leistungsanpassung und Leerlauf.
  • Bei Überanpassung liegt der Wert des Wirkungsgrads zwischen
    η = 0,5 (Leistungsanpassung) und η = 1 (Leerlauf).
  • Der Betriebszustand bei RLast » Rinnen wird Konstantspannungsbetrieb genannt.

Stromanpassung

Ist der Innenwiderstandswert der Quelle groß und der Lastwiderstandswert klein, dann spricht man von Unteranpassung oder Stromanpassung. Beide Widerstände bilden eine Reihenschaltung und der höhere Widerstandswert bestimmt den Stromfluss. Kleinere Laständerungen werden auf den Strom umso weniger Einfluss haben, je größer der Unterschied zwischen den Widerstandswerten ist. Wird der Lastwiderstand sehr klein, dann nähert man sich dem Betriebszustand des Kurzschlusses. In diesem Fall bestimmt nur noch der Quelleninnenwiderstand den Strom. Der Zustand wird Konstantstrombetrieb genannt.
  • Unteranpassung oder Stromanpassung liegt vor, wenn RLast < Rinnen ist.
  • Die Betriebszustände der Unteranpassung liegen zwischen Leistungsanpassung und Kurzschluss.
  • Bei Unteranpassung liegt der Wert des Wirkungsgrads zwischen
    η = 0,5 (Leistungsanpassung) und η = 0 (Kurzschluss).
  • Der Betriebszustand bei RLast « Rinnen wird Konstantstrombetrieb genannt.