Informations- und Kommunikationstechnik

Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle

An den Anschlusspolen von Spannungsquellen liegen Ladungsträger getrennt vor. Besonders eindeutig ist das bei chemischen Systemen wie Batterien und Akkumulatoren zu erkennen. Bei Generatoren erfolgt die Trennung durch mechanische, elektromotorische oder elektromagnetische Kräfte, kurz EMK genannt. Je größer die Trennkraft ist, desto höher ist die erzeugte Spannung. Die EMK zählt nach DIN 1323 nicht zu den Größen, mit denen im Stromkreis gerechnet wird. Die von der EMK erzeugte Spannung wird Urspannung Uo oder Quellenspannung genannt. Sie ist an den offenen Polen der Quelle vorhanden. Die als konstant definierte Quellenspannung kann praktisch nur mit sehr hochohmigen Spannungsmessgeräten gemessen werden. Es fließt dann ein vernachlässigbar kleiner Messstrom, der die Quellenspannung praktisch nicht beeinflusst.

Wird an eine Spannungsquelle, einen Signalgenerator oder eine allgemein als Quelle bezeichnete Versorgungseinheit ein Lastwiderstand angeschlossen, so fließt elektrischer Strom. Mit zunehmender Belastung, also kleinerem Widerstandswert, nimmt der Strom zu und die im Leerlauf unbelastete Klemmenspannung UKl nimmt ab. Der maximale Strom IK fließt beim Kurzschluss der Quelle, da der Widerstandswert der Last dann praktisch den Wert 0 Ω hat.

Für jeden geschlossenen Stromkreis ist elektrische Spannung die Ursache für den Stromfluss. In jedem Fall haben die Gesetze des Stromkreises ihre Gültigkeit. Für Spannungen im Netzwerk gilt die Maschenregel. Beim Kurzschluss fließt der maximale Laststrom und an den Polen der Quelle ist praktisch keine Spannung mehr messbar. Da die Urspannung der Quelle als konstant definiert ist, muss ein Teil oder die gesamte Urspannung Uo innerhalb der Quelle umgesetzt werden. Beim Kurzschluss erzeugt der Strom IL in der Quelle eine Spannung Ui in Höhe der gesamten Quellenspannung. Innerhalb der Quelle muss ein virtueller Widerstand Ri wirksam sein. Jede Quelle hat einen derartigen Innenwiderstand. Mit ihm wird der außen messbare Spannungsverlust einer belasteten Quelle erklärt.

Der Videoclip kann nur mithilfe der einblendbaren Controlleiste gesteuert werden. Er zeigt, dass mit zunehmender Belastung, also bei kleineren Werten des Lastwiderstands, die Klemmenspannung abnimmt und gleichzeitig die Spannung am Innenwiderstand der Quelle zunimmt. Die Quellenspannung ist immer die Summe aus Klemmenspannung und Spannungsfall am Innenwiderstand. Der gelb hinterlegte Teil ist das Ersatzschaltbild der Spannungsquelle. Die Spannung am virtuellen Innenwiderstand nicht direkt gemessen werden. Mit einem Messdiagramm kann der Innenwiderstand ermittelt werden. Ist sein Wert bekannt oder bestimmt, so können alle anderen Werte im Stromkreis korrekt berechnet werden.

Jeder Spannungserzeuger oder Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand.
Die Urspannung Uo ist gleich der Summe aus der Klemmenspannung UKl und der Spannung am Innenwiderstand Ui
Für die Klemmenspannung gilt: \({U_{Klemme}} = {U_o} - ({I_{Last}} \cdot {R_i})\)

Der geschlossene Stromkreis

Ein geschlossener Stromkreis besteht aus einer Spannungsquelle (Energiequelle) und einer angeschlossenen Last, die allgemein als Verbraucher bezeichnet wird. Die Spannungsquelle kann ein galvanisches Element oder eine Batterie sein. Eine Batterie ist die Zusammenschaltung mehrerer galvanischer Elemente oder Zellen zu einer größeren Einheit. Die Quelle kann auch ein Generator oder allgemein jede beliebige Signalquelle sein, die elektrische Energie bereitstellt.

Die Quelle bildet mit den elektrisch leitenden Verbindungen und angeschlossenen Lastbaugruppen einen geschlossenen Stromkreis. Es fließt elektrischer Strom und die in der Quelle gespeicherte elektrische Energie wird den Widerständen in andere Energieformen umgewandelt. Die Energie wird nicht verbraucht, sie bleibt in der Summe erhalten und physikalisch korrekt in andere Energieformen, beispielsweise in Wärmeenergie, Lichtenergie oder mechanische Energie umgewandelt.

Die Anschlusspole einer Spannungsquelle weisen unterschiedliche Ladungsbesetzung oder Potenziale auf. Sie werden zu einem Bezugspotenzial gemessen, das als Massepotenzial für Berechnungen und Vergleiche den vereinbarten Wert null hat. Die Quellenspannung errechnet sich aus der Potenzialdifferenz zwischen beiden Anschlusspolen. Solange sie besteht, kann bei einem geschlossenen Stromkreis elektrischer Strom fließen.

Der negative Pol (Klemme) hat Elektronenüberschuss und negatives Potenzial.
Der positive Pol (Klemme) hat Elektronenmangel und positives Potenzial.
Die Potenzialdifferenz ist die Spannung zwischen den Polen (Klemmenspannung).
Der Bezugssinn entspricht der sogenannten technischen Stromrichtung von Plus nach Minus.

Stromkreis

Das Bild zeigt einen einfachen Stromkreis mit einem galvanischen Element, oder links einem Gleichspannungsgenerator, einem ohmschen Widerstand R und den Leitungen. Die Leitungen haben per Definition ideale, widerstandslose Eigenschaften. Die Pfeilrichtungen geben den Bezugssinn von Plus nach Minus für Spannung und Strom an. Die Werte der Ein- und Ausgangsspannungen sind gleich groß. Der äußere Stromkreis veranschaulicht das Verbraucher-Pfeilsystem. Der Spannungspfeil innerhalb der Quelle verläuft ebenfalls von Plus nach Minus und ist dabei dem äußeren Verbraucher-Pfeilsystem entgegen gerichtet. Der Stromkreis bildet eine geschlossene Masche. Die Spannungssumme einer geschlossenen Masche ist null.

Die Bestimmung des Innenwiderstands nach der ΔU / ΔI – Methode

Im Spannungs-Strom-Diagramm des Videoclips zeigt die Belastungskennlinie die Abhängigkeit der Klemmenspannung vom entnommenen Laststrom. Für Lastwiderstände mit linearem Verhalten ist diese Kennlinie ebenfalls linear. Aus ihrer Steigung, siehe Steigungsdreieck, kann der Innenwiderstand des Generators direkt berechnet werden. Dieses Verfahren ist universell zur Bestimmung des Innenwiderstands anwendbar. Im Beispiel errechnet sich der Innenwiderstand zu: \[{R_i} = \frac{{\Delta U}}{{\Delta I}} = \frac{{3\,V}}{{0,3\,A}} = 10\,\Omega \]

Die Bestimmung des Innenwiderstands nach der Methode der halben Klemmenspannung

Dieses Messverfahren darf nur bei Spannungsquellen mit ausreichend großem Innenwiderstand angewendet werden. Der Belastungswert wird solange verringert, bis die Klemmenspannung den halben Wert der Quellen- oder Leerlaufspannung erreicht hat. Der Wert des Lastwiderstands ist dann gleich dem des Innenwiderstands. Im Videoclip ist das bei einem Lastwert von 10 Ω der Fall. Die Klemmenspannung beträgt 5 V und ist identisch mit der direkt nicht messbaren Spannung am Innenwiderstand. Im Stromkreis bilden beide Widerstände eine unverzweigte Reihenschaltung in der nur ein Strom fließt. Sind beide Teilspannungen gleich und halb so groß wie die Leerlaufspannung, dann sind auch die Widerstandswerte gleich.

Spannungsquellen in Reihenschaltung

Nicht immer steht eine einstellbare Spannungsquelle zur Verfügung. Bei batteriebetriebenen Geräten wird die Betriebsspannung durch das Zusammenschalten mehrerer Einzelelemente erzeugt. Bei einer Reihenschaltung der Elemente bilden ihre Innenwiderstände ebenfalls eine Reihenschaltung. Die Gesamtspannung ist die Summe der Einzelspannungen, wobei auf die Polarität der Einzelelemente zu achten ist.

Spannungsquellen in Reihenschaltung \[\begin{array}{l} {U_o} = {U_{o1}} + {U_{o2}} + \ldots + {U_{on}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{U_{ok}}} \\ {R_i} = {R_{i1}} + {R_{i2}} + \ldots + {R_{in}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{R_{ik}}} \end{array}\]

Bei einer Reihenschaltung von Spannungsquellen ist die Betriebsspannung gleich der Summe der Teilspannungen.
Die gleichzeitige Summe der Innenwiderstände führt dabei zu einer Verringerung des Kurzschlussstroms.

Eine symmetrische Spannungsversorgung mit positiver und negativer Spannung entsteht durch die Serienschaltung zwei gleicher Spannungsquellen mit dem Bezugspunkt, der Schaltungsmasse zwischen beiden Quellen. Die Grafik zeigt eine mit zwei gleichen Quellen erzeugte und auf die Schaltungsmasse 0 V bezogene symmetrische Spannungsversorgung von ±15 V. Nach außen hin wirkt für jede Einzelspannung der einfache Innenwiderstand der Quelle.

Symmetrische Spannungsquellen

Spannungsquellen in Parallelschaltung

Werden Spannungsquellen parallel geschaltet, so sollen alle die gleiche Leerlaufspannung und den gleichen Innenwiderstand haben. Für die Praxis bedeutet es, dass sie aus einem identischen Herstellungsverfahren stammen. Die Klemmenspannung ist im Leerlaufbetrieb dann gleich der Urspannung jeder einzelnen Quelle: \({U_{Klemme}} = {U_{o1}} = {U_{o2}} = ...{U_n}\) Der nach außen wirksame Innenwiderstand errechnet sich nach dem ohmschen Gesetz der Parallelschaltung von Widerständen. Haben n Quellen den gleichen Wert für Ri, dann ist der nach außen hin wirksame Innenwiderstand:\({R_{i\,ges}} = \frac{{{R_i}}}{n}\).

Im folgenden umschaltbaren Beispiel sind in den ersten beiden Fällen drei gleichartige 1,5 V Elemente parallel geschaltet. Bei Leerlauf beträgt die Klemmenspannung wie erwartet 1,5 V. Es fließen keine Ströme. Bei Belastung mit RL = 10 Ω ist die Klemmenspannung um 25 mV kleiner. Jedes Element liefert den gleichen Anteil am Gesamtstrom. Der Innenwiderstand der Parallelschaltung beträgt: \({R_{i\,ges}} = \frac{{25\,mV}}{{147,5\,mA}} = 0,17\,\Omega \) und entspricht: \({R_{i\,ges}} = \frac{{0,5\,\Omega }}{3} = 0,1\overline 6 \ldots \,\Omega \).

U-Quellen parallel

In den beiden letzten Fällen ist eines der Elemente 'verbraucht' oder wurde durch ein Element geringerer Urspannung, einem Akku mit 1,2 ... 1.4 V ersetzt. Eine stärker entladene (verbrauchte) elektrochemische Zelle weniger als 1,5 V hat auch einen höheren Innenwiderstand. In der Simulation wurde nur eine Quellenspannung bei gleichbleibendem Innenwiderstand verringert. Die Klemmenspannung der parallel geschalteten Quellen unterschiedlicher Leerlaufspannungen ist geringer. Die Teilströme zeigen starke Veränderungen, wobei der Zweigstrom der schwachen Zelle sogar negativ wird und entgegengesetzt fließt. Beim geöffneten Schalter fließt kein Laststrom aber zwischen den ungleichen Zellen der Parallelschaltung fließen hohe Ausgleichsströme, die zur schnellen Zerstörung chemischer Primärzellen und Akkumulatoren führen können.

Die Parallelschaltung von Spannungsquellen wird verwendet, wenn bei großen Belastungen hohe Stromstärken bei möglichst konstanter Klemmenspannung gefordert sind.
Zur Verhinderung schädlicher Ausgleichsströme dürfen nur Spannungsquellen mit gleicher Urspannung und gleichem Innenwiderstand parallel geschaltet werden.