Informations- und Kommunikationstechnik

Einfache Widerstandsnetzwerke

In vielen Schaltungen sind Widerstände sowohl parallel als auch in Reihe geschaltet. Diese gemischten, teilweise umfangreichen Schaltungen werden als Widerstandsnetze bezeichnet. Die Berechnung des Gesamtwiderstands gelingt nach dem Zusammenfassen einzelner Widerstandsgruppen. Dabei sind die Gesetze der Reihen- und Parallelschaltung zu beachten.

Widerstände liegen in Reihe, wenn sie vom selben Strom durchflossen werden.
Widerstände liegen parallel zueinander, wenn sie an derselben Spannung liegen.

Das folgende Netzwerk wird nach diesen Richtlinien hin untersucht und vereinfacht. Die Widerstände R2 und R3 bilden eine Reihenschaltung und werden vom selben Strom durchflossen. Gleiches gilt für die Widerstände R4 und R5, nur fließt hier ein anderer Teilstrom. Die Widerstände R7 und R8 liegen parallel zueinander und liegen an derselben Spannung. Für diese einzelnen Gruppen werden Ersatzwiderstände berechnet und die Schaltung kann vereinfacht gezeichnet werden. Der Vorgang wird solange wiederholt, bis man die Schaltung bis auf den Gesamtwiderstand reduziert hat. Das Berechnen der Teilschritte ist einfacher als das Aufstellen einer Gesamtformel.

Mit den Radiobuttons lassen sich die einzelnen Schritte darstellen:
R-Netzwerk 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt 4. Schritt

R-Netz

Das Netzwerk hat sich nach dem 4. Schritt auf eine einfache Reihenschaltung reduziert. Der Gesamtwiderstandswert mit Rges ≈ 636 Ω ist der Wert, der nach dem ohmschen Gesetz bei der anliegenden Spannung und dem gemessenen Gesamtstrom errechnet werden kann.

Lineare Netzwerkanalyse

Nicht immer sind die Netzwerke mathematisch so einfach auf einen Gesamtwiderstand zu reduzieren. Oftmals ist es auch nur wichtig bestimmte Spannungen oder Teilströme zu berechnen. In der nachfolgenden Netzwerkanalyse werden nur einfache lineare Netzwerke behandelt, auf die das ohmsche Gesetz der Gleichspannung anwendbar ist.

Der normale Sprachgebrauch beschreibt ein Netz als miteinander verknüpfte Maschen, deren Verbindungsstellen als Knoten bezeichnet werden. Elektronische Schaltungen mit diversen Baugruppen lassen sich als Netz interpretieren, wo meist mehrere in sich geschlossene Maschen über leitende Knotenpunkte miteinander in Verbindung stehen. Zwischen den Knotenpunkten befinden sich die verschiedenen Baugruppen als Zweipolelemente. Das können Widerstände, Energiequellen oder deren Reihenschaltungen sein. Sie werden als Zweige bezeichnet. Alle in einem Netzwerk vorhandenen Spannungen und Ströme stehen miteinander in bestimmten Zusammenhängen, die vom Physiker Kirchhoff in zwei Gesetzen beschriebenen sind.

Knotenpunkte

Knotenpunkte sind elektrisch leitende Verbindungspunkte zwischen mehreren Zweigen und folglich Stromverzweigungspunkte. Die gesamte Energie, die als elektrischer Strom in einen Knoten gelangt, fließt auch wieder heraus. Im Knoten sammelt sich kein Strom, noch geht er verloren. Hat ein Netzwerk k Knotenpunkte, dann lassen sich (k−1) voneinander unabhängige Knotenpunktgleichungen aufstellen. Das kleinste Netzwerk hat zwei Knoten. Da in den beiden Knotengleichungen die gleichen Ströme zusammenkommen, sind sie voneinander abhängig. Die Knotenpunktregel ist nach Kirchhoff benannt:

1. Kirchhoffsche Regel
Für jeden Knoten ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Netzwerkmaschen

Eine Masche ist ein in sich geschlossener Umlauf miteinander verbundener Zweige. Ein Zweig kann als ideales Element aus einem Zweipol wie Widerstand oder Quelle bestehen. Auch die Reihenschaltung mehrerer idealer Elemente stellt insgesamt einen Zweipol und somit einen Zweig dar. Jeder Maschenumlauf verbindet zwei Zweipole miteinander. Der Umlaufsinn kann frei bestimmt werden. Teilspannungen, deren Spannungspfeile entgegen der Umlaufrichtung zeigen, erhalten ein negatives Vorzeichen. Sind in einem Netzwerk z Zweipole vorhanden, dann lassen sich ebenso viele unabhängige Zweipolgleichungen aufstellen.

Bei einem Maschenumlauf bleibt die Energie erhalten. Der Ladungstransport im Widerstand erfolgt in Richtung des elektrischen Feldes. In der Spannungsquelle ist er dem elektrischen Feld entgegengerichtet. Das entspricht dem Erzeuger- und Verbraucherpfeilsystem. Die Addition aller Teilspannungen eines Maschenumlaufes ergibt demzufolge null. Kirchhoff erstellte dazu die Maschenregel:

2. Kirchhoffsche Regel
In einer geschlossenen Masche ist die Summe aller Teilspannungen gleich null.
Die Summe der elektromotorischen Kräfte oder Quellenspannungen ist gleich der Summe der Spannungen, die beim Ladungstransport an den Widerständen entstehen (Spannungsfälle).

Für jede Masche m kann eine Maschengleichung aufgestellt werden. Mit der Anzahl der Zweipolzweige z und den (k−1) unabhängigen Knotengleichungen gibt es m = z − (k−1) unabhängige Maschengleichungen. Das kleinste System aus einer zentralen Quelle mit zwei zu beiden Seiten angeschlossenen Widerständen hat z = 3 Zweipole und k = 2 Knoten. Es lassen sich m = 2 unabhängige Maschengleichungen aufstellen. In jeder Zweipolgleichung kommen Strom und Spannung vor, die alle oder zum Teil unbekannt sind. Mit den unabhängigen Maschen- und Knotenpunktgleichungen erhält man ein lösbares lineares Gleichungssystem.

Zweigstromanalyse

Untersucht wird eine Widerstandsbrücke mit zwei unterschiedlichen Spannungsquellen. Die Polaritäten der Spannungsquellen sind frei gewählt und die Richtung der davon abgehenden Ströme I1 und I2 sind auf die Quellen bezogen. Im Knoten K1 teilt sich der Strom auf die beiden Teilströme auf und im Knoten K2 addieren sie sich wieder zum Strom I1. Es ist somit eindeutig, dass es nur eine unabhängige Stromknotengleichung geben kann.

lineares Netzwerk

Der Umlaufsinn der beiden Maschen ist willkürlich festgelegt und beginnt immer am Knoten 1. Für jeden Widerstand im Zweipolzweig kann das ohmsche Gesetz angewendet werden. Nach dem Aufstellen der unabhängigen Knoten- und Maschengleichungen lassen sich alle Spannungen und Ströme berechnen.

Das Netzwerk hat z = 3 Zweipole, gekennzeichnet mit den Farben gelb, orange und grün. Es gibt 2 Knoten und mit k mit (k−1) eine unabhängige Knotengleichung. Mit der Beziehung m = z − (k−1) muss es zwei unabhängige Maschengleichungen geben.

Es lassen sich somit für den Knoten 1 und die beiden Maschen die folgenden Gleichungen aufstellen:

Gleichungssystem

Das lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei unbekannten Strömen ist mit dem Eliminierungsverfahren nach Gauß oder übersichtlicher mit Determinanten nach der Cramerschen Regel lösbar. Zur Berechnung der unbekannten Ströme und Spannungen werden die drei Gleichungen nach den Strömen sortiert und umgeschrieben. Danach werden die Koeffizientendeterminante und die drei Hilfsdeterminanten aufgestellt. Mit ihnen werden erst die Ströme und danach mithilfe des ohmschen Gesetzes die Spannungen an den Widerständen berechnet.

Determinantensystem zum linearen Netzwerk

Überlagerungsverfahren nach Helmholtz

Wirken in einem linearen System mehrere Parameter gleichzeitig, um einen Endzustand zu erzeugen, dann wird dieser auch erreicht, wenn nacheinander jeder Parameter einzeln wirkt. Die Einzelergebnisse überlagern sich in der Summe zum Endergebnis. Die Methode wird daher als Überlagerungsverfahren nach Helmholtz oder Superpositionsverfahren bezeichnet.

Nach dieser Methode sollen beispielhaft in der oben dargestellten Brückenschaltung der Strom und die Spannung am R5 Brückenwiderstand berechnet werden. Die Schaltung hat zwei aktive Spannungsquellen folglich sind zwei Rechenzyklen notwendig, wobei zuerst die eine und danach die andere Spannungsquelle kurzgeschlossen wird. Die Innenwiderstände der Quellen R1 und R2 bleiben erhalten.

Im ersten Fall mit U1 wird der Strom ermittelt, der von U1 ausgeht. Die festgelegten Richtungen der Bezugspfeile sind zu beachten. Im zweiten Fall, wo nur U2 wirksam ist, wird ebenso verfahren. Im Verlauf kann die zu den beiden Strömen gehörende Spannung an der Parallelschaltung der Widerstände berechnet werden. Mit den Spannungswerten ist der jeweilige Brückenstrom ermittelbar. Die Addition beider Ströme ist der gesuchte Strom, wenn beide Quellen aktiv sind. Aus der Summe der Teilspannungen am Brückenwiderstand ergibt sich bei Beachtung der Pfeilrichtungen die gesuchte Brückenspannung.

Superpositionsmethode