Der Kondensator im Gleichstromkreis

Ein Kondensator wird mit konstanter Gleichspannung über einen ohmschen Vorwiderstand aufgeladen. Während des Ladevorgangs werden gleichzeitig Strom und Spannung am Kondensator als Funktion der Zeit gemessen. Die Auswertung zeigt, dass innerhalb gleicher Zeitintervalle Strom und Spannung keinen linearen Verlauf aufweisen.

Beim Ladevorgang fließt elektrischer Strom und es werden elektrische Ladungen transportiert. Im Zeitintervall (Δt) errechnet sich die durch den Vorwiderstand transportierte Ladungsmenge zu:

  • ΔQ = I(t) · Δt
    Der Kondensator wird mit ΔQ etwas aufgeladen, wobei sich seine Spannung um ΔU verändert.
  • ΔQ = C · ΔU
    Die Ladungen ΔQ sind gleich, also sind auch die rechten Seiten beider Gleichungen gleich.
  • I(t) · Δt = C · ΔU
    Der Strom kann durch die Spannung und den Vorwiderstandswert ersetzt werden.
  • Δt · U(t) / R = C · ΔU
    Nach R·C aufgelöst, erkennt man, dass dieses Produkt die Dimension der Zeit [s] hat.
  • Δt · U(t) / ΔU = R · C
    R·C ist als Zeitkonstante definiert und erhält den griechischen Buchstaben τ (tau):

Die Zeitkonstante τ = R · C

Die Zeitkonstante τ ist von Strom und Spannung unabhängig und sagt etwas über die Aufladegeschwindigkeit eines Kondensators in der RC-Reihenschaltung aus. Je größer der Widerstandswert ist, desto langsamer wird der Kondensator geladen. Ebenso dauert der Ladevorgang eines größeren Kondensators bei gleichem Widerstandswert länger. Der Lade- und zugehörige Entladevorgang kann im folgenden interaktiven Flashfilm untersucht werden.

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Der Widerstand R begrenzt den Ladestrom. Wird zum Zeitpunkt t = 0 der Stromkreis geschlossen, so ist die gesamte Spannung nur über dem Widerstand messbar. Bei t = 0 hat der Kondensator noch keine Ladung und seine Spannung beträgt somit 0 V. Je mehr Ladung transportiert wird, desto mehr nimmt die Spannung am Kondensator zu. Entsprechend verringert sich die Spannung am Widerstand und nach dem Ohmschen Gesetz nimmt der Strom in der Reihenschaltung ab. Ist die Spannung am Widerstand auf den halben Anfangswert gesunken, so ist auch der Ladestrom nur noch halb so groß. In der Zeit t = t1 hat der Kondensator die Ladung Q1 = C·0,5·U (Gl.1) aufgenommen.

Diagramm

Wird diese Aussage im Strom-Zeit-Diagramm dargestellt, so entspricht die Fläche unter der Kurve der Kondensatorladung. Die graue Fläche ist ein Trapez mit dem Flächeninhalt: Q1 = (1 + 0,5)·0,5·Io·t1 = 0,75·Io·t1
mit Io = U / R und der Gl.1 von oben folgt t1 = 0,667·R·C
Diese Zeit wird Halbwertzeit th des RC-Glieds genannt:
th = 0,7·R·C = 0,7·τ

An einer Konstantspannungsquelle zeigt der Aufladevorgang eines Kondensators nur innerhalb einer Halbwertzeit den oben linear dargestellten Stromverlauf. Genau genommen ist der Ladestrom nicht linear. Der Rundungsfaktor 0,7 ergibt eine sehr gute Näherung zum tatsächlichen Stromverlauf. Das folgende Diagramm stellt den genauen Ladevorgang eines Kondensators dar. Nach rund sieben Halbwertzeiten kann der Kondensator als aufgeladen betrachtet werden. Der exakte Stromendwert von 0% wird nie erreicht. Die Strom- und Spannungskurven nähern sich asymptotisch ihren Endwerten.

Strom- und Spannungs-Ladekurve

Nach Ablauf einer Halbwertzeit th ist der Ladestrom auf 50% des Anfangswertes gefallen. Die Spannung am Kondensator ist auf 50% des Endwertes gestiegen. Nach Ablauf einer weiteren Halbwertzeit ist der Ladestrom auf 25% gefallen und die Kondensatorspannung hat 75% ihres Endwerts erreicht. Die nach der ersten Halbwertzeit verbliebenen 50% haben sich erneut halbiert. Für jede weitere Halbierung der verbleibenden Prozente vergeht stets eine Halbwertzeit. Nach sieben Halbwertzeiten ist der Ladestrom praktisch auf Null gefallen und der Kondensator hat seine endgültige Spannung erreicht.

Kurvenzüge mit gleich großen Halbwertzeiten werden als natürliche Funktionen oder Exponentialfunktionen, abgekürzt e-Funktionen, bezeichnet. Viele Naturvorgänge lassen sich mit e-Funktionen beschreiben. Sehr bekannte Beispiele sind der radioaktive Zerfall oder Erwärmungs- und Abkühlungsprozesse.

Im Diagramm oben ist auf der Zeitachse auch die Zeitkonstante τ des RC-Glieds eingetragen. Nach Ablauf von 1τ ist der Ladestrom auf 37% seines Anfangswertes gefallen und die Ladespannung auf 63% ihres Endwertes gestiegen. Nach Ablauf von 5τ Zeitkonstanten oder 7th Halbwertzeiten gilt der Ladevorgang als beendet. Diese Zeit wird auch als Einschaltzeit des RC-Glieds bezeichnet.

Bei der Entladung folgt der Kurvenverlauf des Entladestroms und der Kondensatorspannung ebenfalls einer e-Funktion. Nach 5τ sind die Kurven auf unter 1% ihres Anfangswertes gefallen. Diese Zeit wird Ausschaltzeit des RC-Glieds genannt. Beim Entladen fließt der Strom in entgegengesetzter Richtung durch den Widerstand.

Das Diagramm zeigt, dass sich der ungeladene Kondensator im Einschaltmoment wie ein Kurzschluss oder Widerstand mit Null Ohm verhält. Es fließt der maximale Strom und am Kondensator fällt keine Spannung ab. Nach Ablauf der Einschaltzeit ist der Kondensator aufgeladen und es fließt praktisch kein Strom mehr. Im Gleichstromkreis entspricht der Kondensator dann einem Widerstand mit unendlich hohem Wert entsprechend einer Unterbrechung. Für den Wechselstromwiderstand eines Kondensators gibt es ein eigenes Kapitel.

  • Im Einschaltmoment verhalten sich ungeladene Kondensatoren wie ein Kurzschluss.
  • Im Gleichstromkreis verhalten sich vollständig aufgeladene Kondensatoren wie eine Unterbrechung.
    Ihr Widerstandswert ist extrem groß.
  • Innerhalb der Zeitkonstante 1·τ eines RC-Glieds wird ein Kondensator auf
    63% seines Endwertes aufgeladen oder auf 37% seines Anfangswertes entladen.
  • Nach 5·τ gilt ein Kondensator als praktisch vollständig auf- bzw. entladen.
    Diese Zeit wird auch als Einschalt- oder Ausschaltzeit des RC-Glieds bezeichnet.
  • Der Lade- und Entladevorgang wird durch eine e-Funktion beschrieben.
    Die Halbwertzeit beträgt th = 0,7·τ

e-Funktionen der Ladevorgänge am Kondensator

Das Widerstandsverhalten

Der einfachste Kondensator besteht aus zwei parallel angeordneten Metallflächen, die gegeneinander isoliert sind. Dieser Aufbau entspricht im Stromkreis einer Unterbrechung mit einem extrem hohen Widerstandswert. Ist ein entladener Kondensator am Ohmmeter angeschlossen, so zeigt das Messgerät einen extrem großen Wert oder Unterbrechung an.

Während der Ladeprozesse ändern sich die Strom- und Spannungswerte. Zu jedem Zeitpunkt der Umladung kann mithilfe des ohmschen Gesetzes aus den ablesbaren Strom- und Spannungswerten der zugehörige Widerstandswert errechnet werden. Innerhalb der Ladezeiten ist der Widerstand eines Kondensators zeitabhängig und nicht konstant. Die Tabelle zeigt für die ersten fünf Halbwertzeiten die nach dem ohmschen Gesetz errechenbaren Widerstandsfaktoren.

tH 0 1 2 3 4 5
U(t) 0 0,5 0,75 0,875 0,9375 0,96875
I(t) 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125
R(t) 0 1 3 7 15 31

Im Umschaltmoment zum Zeitpunkt t = 0 ist der Widerstandsfaktor R(t) = 0 Ω. Der Kondensator verhält sich wie ein Kurzschluss. Mit zunehmender Zeit nimmt der Widerstandswert exponentiell zu und strebt gegen einen sehr hohen Wert. Da nach der Umladung der praktische Stromwert I(t) = 0 ist, geht R(t) gegen Unendlich. Aus den Zeitfunktionen für Strom und Spannung kann die Zeitfunktion des Widerstands selbstverständlich auch rechnerisch hergeleitet werden.

R-Zeitfunktion, Halbwertzeit

Mit der hergeleiteten Zeitfunktion für R(t) lassen sich die Tabellenwerte ebenso errechnen. Der anfangs erwähnte Faktor zwischen der Halbwertzeit tH und der Zeitkonstanten τ errechnet sich hier mit ln(2) zum genauen Wert.

Sicherheitshinweise

Ein aufgeladener Kondensator ist ein Energiespeicher und hat die Eigenschaften einer Spannungsquelle. Da im ersten Moment der Entladung der Maximalstrom fließt, verhält sich zu diesem Zeitpunkt der Kondensator wie eine ideale Spannungsquelle. Die Entladung durch Kurzschluss sollte daher vermieden werden. Kondensatoren großer Kapazität erzeugen bei Kurzschluss einen Stromimpuls mit einigen Tausend Ampere, der zur Zerstörung des Bauteils führen kann. Folgende Sicherheitsvorkehrungen sind zu beachten:

Kondensatoren hoher Kapazität sollten über einem Widerstand strombegrenzt aufgeladen werden.
Aufgeladene Kondensatoren sollten nicht frei berührbar liegen gelassen werden.
Kondensatoren sind vor dem Ein- oder Ausbau in Schaltungen zu entladen.
Kondensatoren großer Kapazität sollten über einen Lastwiderstand strombegrenzt entladen werden.

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Die Reihenschaltung von Kondensatoren

Werden Kondensatoren gleicher Bauart in Reihe geschaltet, so kann man sich einen Ersatzkondensator vorstellen, dessen Platten- oder Belagabstand gleich der Summe der Einzelbelagabstände ist. Die Kapazität verhält sich umgekehrt proportional zum Belagabstand. Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität kleiner als die Einzelkapazität.

C-Reihenschaltung

Werden im Gleichstromkreis unterschiedliche Kondensatoren in Reihe geschaltet, so erhalten alle Kondensatoren eine gleiche Ladungsmenge. Ist der Kondensator mit der kleinsten Kapazität vollständig aufgeladen, so fließt kein Ladestrom mehr, da dieser Kondensator keine weitere Ladung mehr aufnehmen kann. Der Ladevorgang aller Kondensatoren ist beendet und für die Gesamtladung gilt:

Q = U1 · C1            Q = U2 · C2            Q = U3 · C3

Die an die Reihenschaltung gelegte Spannung U ist gleich der Summe der Teilspannungen. Die gesuchte Gesamtkapazität wird an der Gesamtspannung U auf die Ladung Q aufgeladen.

Q = C · U      mit      U = U1 + U2 + U3

Durch Einsetzen und entsprechendes Umformen erhält man für die Gesamtkapazität beliebiger in Reihe geschalteter Kondensatoren:

Formeln zur Kondensator-Reihenschaltung

Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten gleich dem Kehrwert der Gesamtkapazität.
Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität stets kleiner als die kleinste Einzelkapazität.

In der Wechselstromtechnik hat die Reihenschaltung von Kondensatoren ein anderes Verhalten. Eine besondere Bedeutung kommt dem kapazitiver Spannungsteiler zu, der in einem eigenen Kapitel beschrieben wird.

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Die Parallelschaltung von Kondensatoren

Werden zwei Kondensatoren gleicher Bauart parallel geschaltet, so addieren sich nur die Belagflächen. Der Plattenabstand und das Dielektrikum bleiben gleich. Die Kapazität ist direkt proportional zur Belagfläche. Die Gesamtkapazität errechnet sich durch Addition der Einzelkapazitätswerte. Die Skizze verdeutlicht diese Aussage.

parallele Plattenkondensatoren

Werden unterschiedliche Kondensatoren parallel geschaltet, so liegen sie alle an der gleichen Spannung. Jeder Kondensator nimmt die seiner Kapazität entsprechende Ladung auf.

Q1 = C1 · U            Q2 = C2 · U            Q3 = C3 · U

Die aufgenommene Gesamtladung entspricht der Summe der Einzelladungen. Diese Ladung muss ein Kondensator mit der gesuchten Gesamtkapazität bei der angelegten Spannung aufnehmen.

Q = Q1 + Q2 + Q3           mit           Q = C · U

Durch Einsetzen und Umformen der Gleichungen erhält man die Gesamtkapazität aus der Summe der Einzelkapazitätswerte. Diese Aussage gilt für eine beliebige Anzahl parallel geschalteter Kondensatoren.

C = C1 + C2 + C3  + ... + Cn

Die Gesamtkapazität parallel geschalteter Kondensatoren ist die Summe der Einzelkapazitäten.

Die Eigenschaften von Kondensatoren im Wechselstromkreis werden an an verschiedenen Stellen in diesem Webprojekt behandelt. Der Wechselstromwiderstand eines idealen Kondensators wird in einem Kapitel beschrieben. Im Bereich Analogtechnik werden für den Wechselstrombereich viele RC- und RCL-Schaltungskombinationen eingehender behandelt.