Informations- und Kommunikationstechnik

Widerstände im Wechselstromkreis

Der Wirkwiderstand

Von den drei passiven Bauteilen Widerstand, Kondensator und Spule verhält sich nur der ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis wie im Gleichstromkreis. Abweichungen sind nur im sehr hohen Frequenzbereich zu beachten. Durch den ohmschen Wirkwiderstand fließt zeitgleich ein zur Spannung proportionaler Strom. Zu jedem Zeitpunkt ist der Quotient aus Spannung dividiert durch Strom der konstante Widerstandswert. Unabhängig vom zeitlichen Verlauf der Spannung am Widerstand ist das Produkt aus Spannung und Strom immer positiv. Am ohmschen Widerstand wird Leistung umgesetzt. Er wird warm und bei einer Glühlampe wird zusätzlich Lichtenergie abgestrahlt. Abweichendes Verhalten ist beim induktiven Blindwiderstand und beim kapazitiven Blindwiderstand zu beobachten, die nachfolgend näher beschrieben werden.

Am ohmschen Widerstand besteht zwischen Strom und Spannung keine Phasenverschiebung.
Am Wirkwiderstand sehen die Liniendiagramme von Strom und Spannung immer gleich aus.
Am Wirkwiderstand wird kontinuierlich Verlustleistung umgesetzt.
Ohmsche Widerstände verhalten sich im Gleich- und Wechselstromkreis identisch.

Induktiver Blindwiderstand

Die Spule im Gleichstromkreis

Wird eine Spule, eine Induktivität L im Gleichstromkreis betrieben, so fließt nach dem Schließen des Stromkreises erst nach einiger Zeit ein konstanter Strom. Bis sich dieser Fall, auch eingeschwungener Zustand genannt, eingestellt hat, nimmt der Strom nach einer e-Funktion zu. Das Kapitel: Die Spule im Gleichstromkreis liefert dazu eine ausführliche Darstellung. An Gleichspannung betrieben fließt durch die Spule ein Gleichstrom, der vom ohmschen Widerstand des Spulendrahts bestimmt wird. An diesem Wirkwiderstand wird Verlustleistung umgesetzt. Ganz anders verhält sich die Spule an Wechselspannung.

Die Spule im Wechselstromkreis

Zur grundlegenden Betrachtung soll der Verlustwiderstand der Spule vernachlässigbar klein sein. An diese ideale Spule oder Induktivität L wird eine sinusförmige Wechselspannung gelegt. Der Sinusgenerator soll sich ebenfalls ideal verhalten und keinen Innenwiderstand haben. Es zeigt sich, dass durch die Spule sinusförmiger Wechselstrom fließt. Der sich periodisch ändernde Stromfluss erzeugt in der Spule ein ebenfalls periodisch wechselndes Magnetfeld. Das sich auf- und abbauende Magnetfeld hat einen Induktionsstrom zur Folge, der nach der Lenzschen Regel seiner Ursache entgegen gerichtet wirkt.

Die Ursache eines elektrischen Stroms ist das Vorhandensein einer Spannung. Das magnetische Wechselfeld erzeugt an den Anschlüssen der Spule die Selbstinduktionsspannung. Sie ist der angelegten Wechselspannung entgegengerichtet. Die parallel zur Spule messbare Spannung wird induktiver Spannungsfall genannt und ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit des Spulenstroms.

Beim sinusförmigen Strom sind im Nulldurchgang die Steigung der Stromkurve und somit die Änderungsgeschwindigkeit am größten. Mathematisch ergibt sich die Spannungskurve aus der ersten Ableitung der Stromfunktion nach der Zeit. Das Ergebnis ist im Liniendiagramm dargestellt und zeigt, dass Strom und Spannung an der Spule um 90° zueinander phasenverschoben sind. Betrachtet man die Spule nach dem Verbraucherpfeilsystem, dann eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus oder der Strom läuft um diesen Winkel nach. Merksatz: Bei Induktivitäten die Ströme sich verspäten.

Phasenverschiebung bei idealer Induktivität

Das ohmsche Gesetz ist allgemeingültig. Für die Spule kann daher aus Spannungs- und Strommesswerten ein Widerstandswert errechnet werden. Bildet man den Quotienten aus der Effektivspannung an der Spule und dem Effektivstrom, der durch die Spule fließt, erhält man den Wechselstromwiderstandswert. Er ist größer als der Wirkwiderstand oder Gleichstromwiderstandswert der Spule. Mit einem Ohmmeter kann nur der Wirkwiderstand nicht aber der Wechselstromwiderstandswert gemessen werden.

In einer kleinen Versuchsreihe wurden drei Spulen unterschiedlicher Induktivität L mit vernachlässigbar kleinen Verlustwiderständen an einen Sinusgenerator angeschlossen. Die Spannung betrug 10 Veff. Für verschiedene Frequenzen f wurde der sich einstellende Strom ieff gemessen. Die Tabelle zeigt die einem Simulationsprogramm ermittelten Ergebnisse.

Induktivität L 50 mH 100 mH 200 mH
f / Hz ieff / mA ueff / ieff in Ω ieff / mA ueff / ieff in Ω ieff / mA ueff / ieff in Ω
50 628 15,9 314 31,8 157 63,6
100 314 31,8 157 63,6 78,5 127,3
200 157 63,6 78,5 127,3 39,3 254,5
400 78,5 127,3 39,3 254,4 19,64 509
800 39,3 254,4 19,64 509 9,82 1018
1600 19,64 509 9,82 1018 4,91 2036
3200 9,82 1018 4,91 2036 2,455 4073
6400 4,91 2036 2,455 4073 1,228 8143

Diese Messreihe an drei ohmschen Widerständen durchgeführt, würde bei allen Frequenzen den gleichen Widerstandswert ergeben. Ohmsche Widerstände verhalten sich im Gleich- und Wechselstromkreis identisch. Bei den Spulen zeigt die Auswertung der Messergebnisse, dass für jede Induktivität eine direkte Proportionalität zwischen der Frequenz und dem Widerstandswert besteht. Bei Verdoppelung der Frequenz verdoppelt sich der Widerstandswert der Spule.

Eine weitere Proportionalität ist bei konstanter Frequenz ablesbar. Wird der Induktivitätswert verdoppelt, so nimmt der Widerstandswert ebenfalls um den Faktor 2 zu. Mit dem Proportionalitätsfaktor konst erhält man die Gleichung. Der Widerstandswert bekommt das Formelzeichen XL und wird induktiver Blindwiderstand genannt. Sein Kehrwert ist der induktive Blindleitwert mit dem Formelzeichen BL. Exakt gelten die Gleichungen nur für kernlose Spulen. Ihr induktiver Blindwiderstand hat bei konstanter Frequenz ein lineares Verhalten.

Formeln des induktiven Blindwiderstands und Leitwerts

Die Gleichungen für XL und BL gelten nur bei sinusförmigen Signalgrößen.

Strom und Spannung sind zueinander um 90° phasenverschoben. Bildet man im Liniendiagramm zu jedem Zeitpunkt das Produkt aus Strom und Spannung, so ist das Ergebnis eine zu null symmetrische sinusförmige Leistungskurve. In jeder Periode pendelt die Energie zwischen dem Sinusgenerator und der Induktivität zweimal hin und her. Eine ideale Spule gibt im zeitlichen Mittel keine Leistung ab. Das Produkt aus Spannung und Strom wird induktive Blindleistung genannt und hat das Formelzeichen QL mit der Maßeinheit var = V·A. Das Var steht für Volt Ampère réactif und ist eine in der Elektrotechnik gesetzliche Einheit der Blindleistung.

Am idealen induktiven Blindwiderstand eilt bei einem sinusförmigen Strom die Spannung um 90° vor.
Der induktive Blindwiderstand ist direkt proportional zur Frequenz und zur Induktivität.
An einer idealen Spule wird keine Wirkleistung abgegeben.
Die induktive Blindleistung pendelt verlustfrei zwischen Generator und Induktivität.

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Kapazitiver Blindwiderstand

Der Kondensator im Gleichstromkreis

Wird ein Kondensator, eine Kapazität C an Gleichspannung angeschlossen, so fließt nur im Einschaltmoment Strom, der nach einer e-Funktion abnimmt. Im eingeschwungenen Zustand beim aufgeladenen Kondensator ist praktisch kein Stromfluss messbar. Ausführlichere Informationen liefert das Kapitel: Der Kondensator im Gleichstromkreis. An Gleichspannung betrieben verhält sich ein Kondensator wie eine Unterbrechung mit extrem hohem Widerstandswert. Im Wechselstromkreis verhält sich der Kondensator anders.

Der Kondensator im Wechselstromkreis

Ein idealer Kondensator, der Isolationswiderstand des Dielektrikums ist unendlich groß und der Anschlusswiderstand der Drähte ist null, wird an einen Sinusgenerator angeschlossen. Im Stromkreis ist ein dauerhafter Wechselstrom messbar, obwohl es keine elektrisch leitende Verbindung über und durch das Dielektrikum gibt. Die Elektronen fließen auch nicht durch den Kondensator durch. Sie pendeln zwischen dem Generator und den Kondensatorbelägen hin und her. Im Wechselstromkreis wird der Kondensator periodisch geladen und entladen oder stetig umgeladen.

Die Lade- oder Entladestromstärke ist proportional zur Änderungsgeschwindigkeit der Spannung. Sie ist beim ungeladenen Kondensator am höchsten und bei voller Aufladung gleich null. Die sinusförmige Generatorspannung hat im Nulldurchgang die größte Steilheit und damit ihre höchste Änderungsgeschwindigkeit. Die Stromkurve muss also gerade dort ihren Maximalwert haben. Im Spannungsmaximum ist der Steigungswinkel der Kurve gleich null, folglich geht die Stromkurve dort durch null. Mathematisch betrachtet ist die Stromkurve das Ergebnis der ersten Ableitung der Spannungsfunktion nach der Zeit. Der ideale Kondensator zeigt eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung von 90°, wobei der Strom der Spannung vorauseilt oder die Spannung um diesen Winkelbetrag nachläuft. Merksatz: Beim Kondensator, der Strom eilt vor.

Phasenverschiebung bei idealer Kapazität

Die folgende Tabelle zeigt die Simulationsmessreihe für drei Kapazitätswerte. Die Spannung aller Messungen war konstant 10 Veff. Für unterschiedliche Frequenzen f wurde der sich einstellende Strom ieff gemessen. Der Quotient aus den Effektivwerten von der Spannung am Kondensator und dem Umladestrom liefert den kapazitiven Blindwiderstandswert. Auch er ist mit einem Ohmmeter nicht messbar.

Kapazität C 50 nF 100 nF 200 nF
f / Hz ieff / mA ueff / ieff in kΩ ieff / mA ueff / ieff in kΩ ieff / mA ueff / ieff in kΩ
50 0,159 62,893 0,318 31,446 0,636 15,723
100 0,318 31,446 0,636 15,723 1,273 7,855
200 0,636 15,723 1,273 7,855 2,546 3,927
400 1,273 7,855 2,546 3,927 5,092 1,963
800 2,546 3,927 5,092 1,963 10,18 0,982
1600 5,092 1,963 10,10 0,982 20,37 0,491
3200 10,18 0,982 20,37 0,491 40,73 0,245
6400 20,37 0,491 40,73 0,245 81,48 0,123

Die Auswertung der Tabelle zeigt, dass sich bei einer Frequenzverdopplung der Widerstandswert halbiert. Wird bei konstanter Frequenz der Kapazitätswert verdoppelt, so halbiert sich auch hier der Widerstandswert. Beides entspricht einer umgekehrten Proportionalität. Der Widerstandswert erhält das Formelzeichen XC und wird kapazitiver Blindwiderstand genannt. Sein Kehrwert mit dem Formelzeichen BC ist der kapazitive Blindleitwert. Die Widerstandsgleichung zeigt, dass bei konstanter Frequenz der kapazitive Blindwiderstand lineares Verhalten hat.

Formeln des kapazitiven Blindwiderstands und Leitwerts

Die Gleichungen für XC und BC gelten nur bei sinusförmigen Signalgrößen.

Der kapazitive Blindwiderstand

Bei Kenntnis von Strom und Spannung ist unter Anwendung des ohmschen Gesetzes die Herleitung des Blindwiderstands des idealen Kondensators ebenso leicht möglich. Liegt am Kondensator eine sinusförmige Wechselspannung an, so fließt ein um φ = 90° in der Phase verschobener Umladestrom. Die Ladung auf dem Kondensator ist proportional zur Kapazität. Der Umladestrom ist gleich der Ladungsänderung pro Zeit.

mathematische Herleitung des kapazitiven Blindwiderstands

Kapazitive Blindleistung

Bildet man im Liniendiagramm zu jedem Zeitpunkt das Produkt aus Spannung und Strom, so ist das Ergebnis eine zu null symmetrische sinusförmige Leistungskurve. In jeder Periode pendelt die Energie zwischen Generator und Kondensator zweimal hin und her. Im zeitlichen Mittel wird bei idealer Kapazität keine Leistung abgegeben. Die kapazitive Blindleistung hat das Formelzeichen QC und die Maßeinheit var = V·A reaktiv. Im Kapitel Wechselstromleistung gibt es dazu weitere Informationen.

Am idealen kapazitiven Blindwiderstand eilt bei sinusförmiger Spannung der Strom um 90° vor.
Der kapazitive Blindwiderstand ist umgekehrt proportional zur Frequenz und zur Kapazität.
Am idealen Kondensator wird keine Wirkleistung abgegeben.
Die kapazitive Blindleistung pendelt verlustfrei zwischen Generator und Kondensator.