Informations- und Kommunikationstechnik

Der Reihenschwingkreis

Eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand R, Kondensator C und Spule L besitzt mit C und L zwei sich gegenseitig ergänzende Energiespeicher. Der Kondensator speichert elektrische und die Spule magnetische Energie, die sich im gemeinsamen Stromkreis gegenseitig umwandeln können. Bei Blindwiderständen sind Strom und Spannung gegeneinander um 90° phasenverschoben. Im Strommaximum ist der Kondensator entladen und das Magnetfeld der Spule hat die maximale Feldstärke erreicht. Es baut sich im weiteren Verlauf ab und lässt den elektrischen Strom in gleicher Richtung durch die Schaltung fließen. Dieser Strom lädt den Kondensator in umgekehrter Polarität neu auf. Der Prozess setzt sich umgekehrt fort. Die Schaltung führt freie Schwingungen aus, bis die einmal zugeführte Energie am Wirkwiderstand als Wärmeleistung abgegeben worden ist.

Der Reihenschwingkreis funktioniert somit nach dem gleichen Prinzip wie der Parallelschwingkreis. Die Thomsonsche Schwingungsformel hat auch hier ihre Gültigkeit. Bei gleich dimensionierten Bauteilen wird die gleiche Resonanzfrequenz gemessen. Wird der Reihenschwingkreis an einer Konstantspannungsquelle variabler Frequenz betrieben, kann der Amplituden- und Phasenfrequenzgang messtechnisch aufgenommen werden. Die Impedanz des Schwingkreises ist von der anliegenden Signalfrequenz abhängig und beeinflusst den Kreisstrom.

Reihenschwingkreis mit Bodediagramm

Der Widerstand ist als Stromäquivalent beim Messen mit einem Oszilloskop notwendig, da dieses ein Spannungsmessgerät ist. Im realen Schwingkreis bildet er mit der Induktivität den Drahtwiderstand der Spule. Die folgende Grafik zeigt den Einfluss des ohmschen Widerstands auf die Eigenschaften des Schwingkreises. Je kleiner sein Wert ist, desto ausgeprägter und steiler ist der Kurvenverlauf im Bereich der Resonanzfrequenz. Die Kreisgüte Q ist das Verhältnis aus Blindwiderstand zu Wirkwiderstand und nimmt zu, je kleiner der ohmsche Widerstand im Kreis ist. Der Wert der Resonanzfrequenz ist von der Güte unabhängig. Für R = 100 Ω ist die absolute Bandbreite B zwischen φ = ±45° mit eingezeichnet. Mit zunehmender Güte nimmt die Bandbreite ab.

Einfluss des Reihenwiderstands auf Güte und Bandbreite

In einer Reihenschaltung ist der durch alle Bauteile gleich große Strom die Bezugsgröße. Ihm wird der Phasenwinkel φ = 0° zugeordnet. Strom und Spannung am ohmschen Widerstand sind mit φ = 0° in Phase. Die Spannung am Kondensator ist um φ = −90° und an der Induktivität um φ = +90° zum Strom phasenverschoben. Damit kann das Zeigerdiagramm der RLC-Reihenschaltung gezeichnet und untersucht werden. Nur die beiden Blindwiderstände sind von der Frequenz abhängig. Alle Teilspannungen sind direkt proportional zu den Widerstandswerten der Bauteile.

Reihenschwingkreis Diagramme

Im weiter oben gezeigten Phasendiagramm kann bei der Resonanzfrequenz der Winkel φ = 0° abgelesen werden. Die Schaltung verhält sich wie ein ohmscher Widerstand. Das bedeutet, im Resonanzfall haben beide Blindwiderstände den gleichen Wert. Im Zeigerdiagramm bilden sie zueinander den Winkel von 180° und heben sich nach außen hin in ihrer Wirkung gegenseitig auf. Unterhalb der Resonanzfrequenz ist der kapazitive Blindwiderstandswert größer als der induktive Blindwiderstand. Der Reihenschwingkreis entspricht dort mehr einer RC-Reihenschaltung und zeigt kapazitives Verhalten. Oberhalb der Resonanzfrequenz mit überwiegendem induktiven Blindwiderstand entspricht er eher einer RL-Reihenschaltung mit induktiven Verhalten. Im Resonanzfall wird die Impedanz nur durch den normalerweise sehr niederohmigen ohmschen Spulenwiderstand bestimmt und durch die Schaltung fließt der maximale Resonanzstrom.

Im folgenden Flashfilm kann ein Reihenschwingkreis mit variierbaren Bauteilen interaktiv untersucht werden. Beim Verstellen des Frequenzschiebers werden die Parameter und das Zeigerdiagramm für die eingestellte Frequenz angezeigt. Im Resonanzpunkt wird der Phasenwinkel Null. Sehr gut erkennbar ist der Einfluss des Verlustwiderstandes. Je kleiner sein Wert ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf im Bereich der Resonanzstelle, wobei die Bandbreite geringer und die Schwingkreisgüte besser wird. Zusätzlich bestimmt auch das Verhältnis von L und C die Kreisgüte. Zu einer festgelegten Resonanzfrequenz lassen sich unterschiedliche L/C-Kombinationen finden. Die Z-Kurve ist bei größerem L und kleinerem C schmaler und die Kreisgüte besser.

Im Resonanzfall sind die Werte beider Blindwiderstände gleich groß und wesentlich größer als der nach außen hin wirksame ohmsche Spulenwiderstand. Bei maximalem Resonanzstrom sind an den einzelnen Blindwiderständen folglich viel höhere Spannungen messbar. Ein Reihenschwingkreis zeichnet sich bei Resonanz durch Spannungsüberhöhung an L und C aus. Bei der Dimensionierung einer praktischen Schaltung ist auf eine ausreichende Spannungsfestigkeit dieser Bauteile zu achten.

Spannungsüberhöhung am Reihenschwingkreis

Diese Spannungsresonanz kann in der Signalverarbeitung genutzt werden. Die am Blindwiderstand angeschlossene Folgestufe darf allerdings die Resonanzspannungsquelle nicht belasten und muss daher eine sehr hohe Eingangsimpedanz haben. Als Folgestufe eignet sich ein nicht invertierender Operationsverstärker oder eine Transistorstufe in der Kollektorgrundschaltung.

Spannungsmaxima am Reihenschwingkreis

Das Simulationsergebnis zeigt, dass bei einem Schwingkreis geringerer Güte Q ≈ 3 das Spannungsmaximum am Blindwiderstand nicht genau bei der Resonanzfrequenz und dem Phasenwinkel φ = 0° auftritt. Bei einem Schwingkreis ausreichend hoher Güte ist der Unterschied zur Betragsresonanz an L und C vernachlässigbar gering.

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Impedanzgleichung mithilfe der normierten Frequenz

Für den Schwingkreis ist die Resonanzfrequenz ein charakteristischer Wert. In vielen wissenschaftlichen Veröffentlichungen wird bei Frequenzabhängigkeiten und Diagrammen auf diesen Wert normiert. Für einen Schwingkreis definiert man die normierte Kreisfrequenz Ω, indem die aktuelle Kreisfrequenz durch den Wert der Resonanzkreisfrequenz dividiert wird. Die Herleitung erfolgt mit komplexer Rechnung. Für die idealisierte Schwingbedingung gilt weiterhin, dass beide Blindwiderstände den gleichen Wert haben.

Impedanzformel, komplex mit normierter Frequenz

Bei Resonanz ist Ω = 1 und die Kreisimpedanz wird mit Z = R reel, mit dem gleichen Ergebnis wie bei der herkömmlichen Herleitung. Unterhalb der Resonanzfrequenz wird Ω kleiner. Im Klammerausdruck wird davon der Kehrwert subtrahiert, wodurch das Ergebnis immer größere negative Werte annimmt. Der Schwingkreis zeigt kapazitives Verhalten. Oberhalb der Resonanzfrequenz wird Ω größer, der Klammerausdruck bleibt positiv und strebt den Grenzwert Ω an. Der Schwingkreis zeigt induktives Verhalten.

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Bandbreite, Güte und Resonanzwiderstand

Dort, wo beim Reihenschwingkreis die Stromamplitude 70,7% ihres Maximalwerts erreicht, liegen die beiden Grenzfrequenzen. Die absolute Bandbreite errechnet sich aus der Differenz zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz: Δf = fgo − fgu

Ohne zusätzliche Bauteile entspricht die Resonanzimpedanz dem ohmschen Widerstand Rv der Spule. Er bestimmt die Güte der Induktivität und somit auch die Güte des Reihenschwingkreises. Das Verhalten der Kapazität kann im Vergleich zur Induktivität als ideal angesehen werden. Mit dem Resonanzwiderstand Z0 = Rv folgt für die Schwingkreisgüte Q = fo / Δf mit Q = XL / Rv. Universeller ist es, die Kreisgüte mithilfe der folgenden Rechnung zu bestimmen.

Kreisgüte beim Reihenschwingkreis

Die Schwingkreisgüte hängt nicht nur vom Verlustwiderstand der Spule oder von einem zusätzlichen Reihenwiderstand zur Dämpfung abhängig. Theoretisch lassen sich für eine bestimmte Resonanzfrequenz viele Variationen von L und C finden, die nach der Thomsonschen Schwingungsgleichung diese Resonanzfrequenz ergeben. Schwingkreise mit praktisch verwendbarer Güte ergeben sich bei gleichen Verlustwiderständen nur aus Kombinationen hoher Induktivität und kleiner Kapazität.

Wird das Signal parallel zum Reihenschwingkreise als neues Quellensignal genutzt, dann arbeitet der Schwingkreis als Frequenzfalle, Traps oder Kerbfilter genannt. In einem engen Frequenzband um die Resonanzfrequenz herum ist er niederohmig mit geringer Ausgangsspannung und filtert so diesen Frequenzbereich aus. Ist der Schwingkreis mit der Folgestufe in Reihe geschaltet, so arbeitet er als Saugkreis und lässt als Eintor niedriger Impedanz bevorzugt nur den schmalbandigen Frequenzbereich durch. In Abstimmkreisen kann auch die Spannungsüberhöhung an C oder L direkt ausgewertet werden. Es folgt eine Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften der Reihenschwingkreise:

Bei Resonanz wirkt ein Reihenschwingkreis wie ein ohmscher Widerstand.
Die Impedanz des Reihenkreises hat bei Resonanz ihren kleinsten Wert.
Bei Resonanzfrequenz ist der in und durch den Kreis fließenden Strom maximal.
Durch Resonanzüberhöhung sind an den Blindwiderständen die Spannungen viel höher als die anliegende Kreisspannung.
Ohne zusätzliche Beschaltung wird die Kreisgüte vom Verlustwiderstand der Spule bestimmt.
Die Bandbreite ist umgekehrt proportional zur Kreisgüte.
Die Resonanzfrequenz ist unabhängig vom Verlustwiderstand.

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Herleitung der Grenzfrequenzgleichungen

Neben der Resonanzfrequenz sind die Grenzfrequenzen charakteristische Werte eines Schwingkreises. Sie sind experimentell recht einfach zu bestimmen, können aber ebenso berechnet werden. Bei Grenzfrequenz ist per Definition der absolute Phasenwinkel φ = 45° und der Wert des Blindwiderstands gleich dem des ohmschen Widerstands. Das Vorzeichen wird durch den mehr induktiven oder kapazitiven Charakter der Schaltung bestimmt. Mit diesem Ansatz lassen sich die Bestimmungsgleichungen der Grenzfrequenzen herleiten.

Herleitung der Grenzfrequenzen

Bei der Phasenresonanz ist die Bandbreite von der Güte des Schwingkreises abhängig, wie es die folgende mathematische Herleitung zeigt. Ohne einen zusätzlich in Reihe geschalteten Dämpfungswiderstand ist die Güte in erster Linie nur von der verwendeten Spule bestimmt.

Herleitung für Bandbreite und Güte

Beim Reihenschwingkreis liegen die Grenzfrequenzen nahezu symmetrisch zur Resonanzfrequenz. Die Resonanzfrequenz kann aus dem geometrischen Mittel beider Grenzfrequenzen errechnet werden. Bei einer Güte Q ≥ 10 ist in der Grenzfrequenzformel der Wert unter der Wurzel nahezu 1 und die Grenzfrequenzen lassen sich in guter Näherung durch die folgenden Beziehungen berechnen: fgo = fo+d/2 und fgu = fo−d/2. Ebenso kann die Schwingkreisgüte aus der Differenz beider Grenzfrequenzformeln bestimmt werden: Q = fo / Δf