Informations- und Kommunikationstechnik

Der Parallelschwingkreis

Ein Stromkreis mit zwei sich gegenseitig ergänzenden Energiespeichern und Energiewandlern kann nach einmaliger Energiezufuhr Eigenschwingungen ausführen. Im Kapitel Einführungen zum Schwingkreis ist der Vorgang anschaulich dargestellt worden. Ein elektrischer Schwingkreis ist mit den beiden passiven Bauteilen Kondensator und Spule aufgebaut. Dem Kondensator kann ideales Verhalten zugeschrieben werden, wohingegen der ohmsche Drahtwiderstand der Spule nicht immer vernachlässigt werden kann. Durch einmalige Energiezufuhr angestoßen, führt der Schwingkreis daher in der Amplitude abnehmende, gedämpfte Schwingungen mit seiner Eigenfrequenz aus.

Der Schwingkreis kann auch von einer angeschlossenen Signalquelle mit Energie versorgt werden. Er schwingt dann auf der durch die Quelle eingeprägten Frequenz und zeigt bei seiner eigenen Resonanzfrequenz eine ausgeprägte Amplitude. Im Parallelschwingkreis bilden der Kondensator und die Spule eine Parallelschaltung. Der ohmsche Spulenwiderstand ist in einen dazu äquivalenten Parallelwiderstand umzurechnen. Die entsprechende Reihenschaltung von R, L und C ist im Kapitel Reihenschwingkreis ausführlich beschrieben worden.

Die Eigenschaften des Parallelschwingkreises werden für den Fall der Fremdanregung untersucht. Er ist dazu über einen hochohmigen Vorwiderstand entkoppelt mit einem durchstimmbaren niederohmigen Sinusgenerator verbunden. Mit dem Vorwiderstand verhält sich der Generator als Konstantstromquelle und belastet den Schwingkreis fast nicht. Die Energieverluste im Schwingkreis sind dem ohmschen Widerstand der Spule zuzuschreiben. Die Schaltungssimulation liefert den im Bild dargestellten Amplituden- und Phasenfrequenzgang des Parallelschwingkreises.

Parallelschwingkreis mit Bodediagramm

Bei konstanter Generatorspannung wird die Frequenz geändert. Die Spannung am Schwingkreis nimmt bis zu einer charakteristischen Frequenz f0, der Resonanzfrequenz zu und danach wieder ab. Auf das Eingangssignal bezogen durchläuft die Phasenverschiebung der Schwingkreisspannung den Bereich von φ = +90° zu φ = −90° mit φ = 0° im Spannungsmaximum. Über einen großen Frequenzbereich betrachtet ist der Kurvenverlauf zu beiden Seiten der Resonanzfrequenz nicht symmetrisch. Oftmals wird nur der wichtigere Bereich um das Maximum herum aufgenommen, wo der Kurvenverlauf symmetrisch erscheint.

äquivalenter Parallelschwingkreis

Die Schaltung links zeigt den realen Parallelschwingkreis als Mischschaltung. Die Reihenschaltung aus Induktivität und Verlustwiderstand wird für die Resonanzfrequenz in eine äquivalente Parallelschaltung umgerechnet. Die Formeln vereinfachen sich, wenn der Wert des ohmschen Spulenwiderstands sehr klein gegenüber dem Blindwiderstand bei Resonanz ist, oder die Spulengüte größer als 10 beträgt. Das Ergebnis ist eine mit Zeigerdiagrammen gut zu beschreibende und zu berechnende Parallelschaltung aus zwei Blindwiderständen und einem Wirkwiderstand.

Bei einer Parallelschaltung ist die Phasenlage der an allen Bauteilen gleichen Spannung die Bezugsgröße. Strom und Spannung am ohmschen Widerstand weisen keine Phasenverschiebung auf. Der Strom im Kondensatorzweig eilt um 90° voraus und durch die Spule läuft er um 90° nach. Die Zweigströme sind direkt proportional zu den Leitwerten, mit denen das Zeigerdiagramm erstellt wird.

Bei niedrigen Frequenzen bestimmen die induktiven Blindleitwerte das Verhalten der Schaltung. Bei hohen Frequenzen sind die kapazitiven Blindleitwerte bestimmend. Bei genau einer Frequenz, der Resonanzfrequenz fo sind beide Blindleitwerte gleich. Mit ihrer gegensätzlichen Phasenverschiebung heben sie sich in ihrer Wirkung nach außen hin auf. Im Resonanzfall hat der Parallelschwingkreis die Eigenschaften eines ohmschen Widerstands. Der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung beträgt φ = 0°.

Parallelschwingkreis mit Zeigerdiagramme

Die Resonanzfrequenz ist mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung bestimmbar. Sie leitet sich für den Fall der idealen Kapazität und Induktivität durch Gleichsetzen ihrer Blindwiderstände oder Leitwerte bei Resonanzfrequenz her. In der oben dargestellten Durchlasskurve sind zwei weitere Frequenzen bei φ = ±45° eingezeichnet. Wie bei Hoch- und Tiefpass-Schaltungen lassen sich auch für den Schwingkreis Grenzfrequenzen definieren. Der Parallelschwingkreis verhält sich unterhalb der Resonanzfrequenz mehr induktiv und oberhalb der Resonanz mehr kapazitiv. Bei den Grenzfrequenzen hat die Amplitude der Resonanzkurve mit −3 dB noch 70,7% ihres Maximalwertes. Die Differenz zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz wird als Bandbreite bezeichnet.

Thomsonsche Resonanzformel

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Bandbreite, Güte und Resonanzimpedanz

Die Bandbreite

Der oben im Amplituden-Frequenzgang gekennzeichnete gelbe Bereich zwischen den Grenzfrequenzen wird als absolute Bandbreite Δf bezeichnet. Sie hat derzeit das Formelzeichen B, ehemals b. Die mathematische Bestimmungsgleichung der Bandbreite lautet:

B = Δf = fgo − fgu

Die Bandbreite des Schwingkreises bei vorgegebenen C- und L-Werten ist durch den ohmschen Parallelwiderstand beeinflussbar. Das Zeigerdiagramm zeigt deutlich, dass bei kleineren Leitwerten G die Phasenwinkel φ von −90° ... 0° ... +90° sehr viel schneller durchlaufen werden. Ein kleiner Leitwert oder großer Widerstandswert belastet den Schwingkreis wenig und die Resonanzkurve ist schmaler und steiler. Der hier betrachtete Leitwert hat seinen Ursprung im äquivalenten ohmschen Drahtwiderstand der Spule.

Die relative Bandbreite

Neben der absoluten Bandbreite B = Δf kann eine auf die Resonanzfrequenz f0 bezogene relative Bandbreite Brel definiert werden. Sie ist ein benennungsloser Zahlenwert und wird oft in Prozent angegeben.

Relative Bandbreite  Brel = Δf / f0

Die Schwingkreisgüte

Je länger in einem einmal angestoßenen Schwingkreis die Energie pendelt oder je weniger Energie zur Aufrechterhaltung einer konstanten Schwingamplitude zugeführt werden muss, desto idealer ist sein Verhalten. Diese Eigenschaft wird als Schwingkreisgüte bezeichnet. Für den Energieverlust in Form von Wärme ist der ohmsche Widerstand verantwortlich. Ohne weitere Beschaltung bestimmt der Spulenwiderstand die Kreisgüte. Sie ist definiert als Verhältnis des Blindwiderstands zum Wirkwiderstand. In einer Parallelschaltung wird mit den reziproken Leitwerten gerechnet. Eine genaue Berechnung der Güte kann bei Kenntnis der einzelnen Kreisströme vorgenommen werden.

Güteformeln

Bei gleichen Bauteilen C und L kann die Kreisgüte durch Verändern des Parallelwiderstands beeinflusst werden. Dieser Widerstand bestimmt wie oben beschrieben die absolute Bandbreite. Es lässt sich eine Beziehung zwischen Güte, Bandbreite und Resonanzfrequenz aufstellen: Q = f0 / Δf

Der Resonanzwiderstand

Auch der reale Schwingkreis verhält sich im Resonanzfall nach außen wie ein ohmscher Widerstand. Ohne zusätzliche Dämpfung wird der Resonanzwiderstand Zo durch den Verlustwiderstand der Spule bestimmt. Für genauere Berechnungen ist er zu berücksichtigen und muss dazu in seinen äquivalenten Parallelwiderstand umgewandelt werden.

Berechnung des Resonanzwiderstands

Diese Formel für den Resonanzwiderstand ist identisch mit der Thomsonschen Resonanzformel des Reihenschwingkreises. Die Resonanzfrequenz scheint unabhängig von der Spulengüte oder einem entsprechenden Dämpfungswiderstand zu sein. Das findet man in der Praxis auch bestätigt für Spulen hoher Güte und gering gedämpfte schmalbandige Parallelschwingkreise. Die genaue Berechnung zeigt eine kleine Abhängigkeit der Resonanzfrequenz vom Spulenwiderstand. Wird durch Hinzuschalten eines ohmschen Widerstands die Bandbreite eines Parallelschwingkreises vergrößert, so verringert sich auch die Resonanzfrequenz etwas. Die folgende Herleitung zur Resonanzdrift zeigt es:

Resonanzdrift

Bei einem Parallelschwingkreis aus C = 100 nF und L = 10 mH wurde die Spulengüte durch in Reihe geschaltete Widerstände verschlechtert. Die Tabelle zeigt eine geringe Verschiebung der Resonanzfrequenz zu niedrigeren Werten. Da Schwingkreise mit Kreisgütewerten kleiner 10 praktisch nicht sinnvoll sind, ist die Frequenzdrift vernachlässigbar gering.

Rv 5 10 50 100 150
QL 63 32 6,3 3,2 2
f0/kHz 5,033 5,030 4,970 4,775 4,431

Parallelschwingkreise werden vielfach im Tuner als Abstimmkreise zur Senderwahl, als Arbeitswiderstand im Resonanzverstärker, bei Oszillatoren sowie als Sperrkreis zum Ausfiltern eng begrenzter Frequenzbereiche eingesetzt. Es folgt eine Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften eines Parallelschwingkreises:

Bei Resonanz verhält sich ein Parallelschwingkreis wie ein ohmscher Widerstand.
Die Impedanz des Parallelkreises hat bei Resonanz ihren größten Wert.
Bei Resonanz ist der in den Kreis fließende Gesamtstrom am kleinsten.
Durch Resonanzüberhöhung sind die Blindströme im Kreis größer als der Gesamtstrom.
Die Kreisgüte wird ohne zusätzliche Beschaltung vom ohmschen Widerstand der Spule bestimmt.
Die Bandbreite ist umgekehrt proportional zur Kreisgüte.
Die Resonanzfrequenz wird mit zunehmender Kreisdämpfung etwas niedriger.

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Herleitung der Grenzfrequenzgleichungen

Die charakteristischen Frequenzen eines Schwingkreises sind seine Resonanzfrequenz und die beiden Grenzfrequenzen, mit der die Bandbreite bestimmt werden kann. Sie lassen sich experimentell recht einfach ermitteln und können auch mathematisch hergeleitet werden. Per Definition hat der Phasenwinkel bei den Grenzfrequenzen den Wert φ = ±45°, wobei das Vorzeichen den mehr induktiven oder kapazitiven Charakter der Schaltung anzeigt. Der Phasenwinkel von |45°| ist genau dann gegeben, wenn der Blindleitwert, beim Schwingkreis die Differenz der Blindleitwerte für Spule und Kondensator, gleich dem Wirkleitwert ist.

Grenzfreqenzformeln

Die Bandbreite bei Resonanz hängt von der Schwingkreisgüte ab und ist definiert als Differenz zwischen der oberen und unteren Grenzfrequenz. Ohne Zusatzdämpfung wird die Kreisgüte des Parallelschwingkreises nur von der Güte der Spule bestimmt, da der Kondensator vergleichsweise als ideales Bauteil gelten kann.

Grenzfreqenzformeln

Beim Parallelschwingkreis liegen die Grenzfrequenzen nahezu symmetrisch zur Resonanzfrequenz. Diese Aussage gilt ebenso für den Reihenschwingkreis.