Informations- und Kommunikationstechnik

Ersatzspannungsquelle

Die folgenden Betrachtungen setzen ein lineares Netzwerk mit unabhängigen Quellen und konstanten Betriebswerten voraus. Von Interesse ist das Verhalten des Netzwerks, wenn an seinen Anschlussklemmen unterschiedliche Belastungen auftreten. Bei umfangreichen Netzwerken ist es mühsam, jedes Mal die Berechnung für die gesamte Schaltung durchzuführen. Manchmal ist die Schaltung gar nicht bekannt. Jedes lineare Netzwerk kann bezogen auf zwei Anschlusspunkte in eine äquivalente Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand umgewandelt werden. Der deutsche Physiker H. von Helmholtz erkannte diese Möglichkeit in der Mitte des 19. Jahrhunderts, die viele Jahre danach vom französischen Telegrafeningenieur L. C. Thévenin neu erkannt wurde.

Die gesuchte Ersatzschaltung wird im deutschen Sprachbereich Ersatzspannungsquelle und international Thévenin-Äquivalent genannt. Sie ist ein Werkzeug in der Netzwerkanalyse und dient der Vereinfachung eines komplizierten Netzwerks. Die Umwandlung soll zu einer äquivalenten idealen Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand führen, die sich an den Klemmen ebenso verhält wie das Netzwerk.

Netzwerk zum Thévenin-Äquivalent

Die Grafik zeigt ein lineares Netzwerk mit unterschiedlichen Quellen und den beiden Anschlussklemmen. Die nebenstehende Schaltung stellt die gesuchte Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand dar, die sich an den Klemmen elektrisch ebenso verhalten soll. Zu bestimmen sind die Leerlaufspannung an den Klemmen und der Wert des Innenwiderstands.

Messtechnische Ermittlung der Betriebswerte der Ersatzspannungsquelle

Bei einer unbelasteten Ersatzspannungsquelle im Leerlauf fließt kein Strom und am Innenwiderstand entsteht keine Spannung. Die Klemmenspannung im Leerlauf entspricht der idealen Spannungsquelle U0 und kann praktisch durch stromfreies Messen der Klemmenspannung zwischen 1 und 2 bestimmt werden.

Der Innenwiderstand könnte jetzt praktisch durch eine Strommessung bei einem Kurzschluss zwischen den Klemmen ermittelt werden. Die Klemmenspannung ist dann 0 V und die gesamte Spannung U0 entsteht am Innenwiderstand, der mithilfe des ohmschen Gesetzes direkt berechnet werden kann. Diese Praxis verbietet sich, um dem Netzwerk keinen Schaden zuzufügen.

Eine sichere und bessere Methode ist es, die Klemmen mit einem bekannten Lastwiderstand zu verbinden und die nunmehr kleinere Klemmenspannung zu messen. Der Lastwiderstand bildet mit dem zu bestimmenden Innenwiderstand eine Reihenschaltung. Die ideale Spannung U0 wird proportional geteilt. Der Innenwiderstand ist durch einfache Rechnung bestimmbar. Die interaktive Flash-Simulation veranschaulicht dieses Verfahren. Nach dem Einschalten kann die Spannungsquelle durch den Schiebewiderstand variabel belastet werden.

Bestimmung des Innenwiderstands mittels Leistungsanpassung

Eine nicht allzu niederohmige Quelle wird durch ohmsche Widerstände so lange belastet, bis die Klemmenspannung auf die halbe Leerlaufspannung reduziert ist. Der Wert des Innenwiderstands entspricht ohne Rechnung dem Wert des Lastwiderstands, da sich die Spannung an beiden Widerständen zu gleichen Teilen aufteilt. Dieser Betriebsfall entspricht der Leistungsanpassung, bei der die maximale Leistung von der Quelle abgegeben wird.

Berechnung der Betriebswerte der Ersatzspannungsquelle

Innenwiderstand des Thévenin-Äquivalents

Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist per Definition null Ohm. Die unabhängigen Spannungsquellen im Netzwerk werden durch einen Kurzschluss ersetzt. Die zugehörigen Innenwiderstände bleiben bestehen. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist per Definition unendlich groß. Die unabhängigen Stromquellen im Netzwerk werden entfernt. Parallel liegende Shuntwiderstände bleiben bestehen. Das Beispielnetzwerk vereinfacht sich und wird in Blickrichtung auf die Klemmen analysiert.

Leerlaufspannung des Thévenin-Äquivalents

Nach der Berechnung des Innenwiderstands des Thévenin-Äquivalents werden die Quellen wieder aktiviert. Die Erzeugerpfeilrichtung ist zu beachten und ist in diesem Beispiel, wie in der Skizze eingezeichnet, frei definiert. Der Ausgang an den Klemmen wird kurzgeschlossen. Da jede Quelle ideales Verhalten hat, ist die Spannung am zugehörigen Innenwiderstand gleich dieser Quellenspannung. Die Spannung an den Klemmen der Ersatzspannungsquelle kann für den offenen, unbelasteten Ausgang berechnet werden.

Der Kurzschluss am Ausgang schließt den Widerstand R3 kurz und durch ihn fließt kein Strom. Die Schaltung hat mit A und B zwei unabhängige Stromknoten. Für sie gilt die 1. Kirchhoffsche Regel. Die Zweigströme errechnen sich nach dem ohmschen Gesetz aus den Spannungsquellen und den im Zweig befindlichen Widerständen. Die Werte des Thévenin-Äquivalents sind nunmehr bekannt und das Netzwerkverhalten ist bei variabler Belastung leichter zu berechnen.

Simulation Netzwerk / Thévenin-Äquivalent

Die Schaltung wurde so, wie sie dargestellt ist, in einer Schaltungssimulation untersucht. Der berechnete Kurzschlussstrom und die Leerlaufspannung wurden durch Messwerte bestätigt.