Informations- und Kommunikationstechnik

Logische Verknüpfungsglieder

In Digitalschaltungen werden logische Steuersignale zusammengeführt und nach festgelegten Gesetzen der Booleschen Algebra ausgewertet. George Boole entwickelte um 1850 eine Algebra, die mit zwei Konstanten 0 und 1 und den Operatoren UND, ODER sowie NICHT auskommt. Jede Variable kann nur zwischen den Werten 0 und 1 wechseln. Das Ergebnis ist ebenfalls als Variable zu betrachten und kann daher auch nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Die Schreibweise der Operatorsymbole ist nicht immer einheitlich.

Boolesche Operatoren

Die Grundglieder der Digitaltechnik werden nachfolgend nur als Blockdigramme dargestellt. Die interne elektronische Schaltung, die aus bipolaren Transistoren, MOSFET Transistoren, Dioden und Widerständen bestehen kann, soll an dieser Stelle nicht weiter interessieren. Bei den Blockschaltbildern der Verknüpfungsglieder werden nur die Ein- und Ausgänge gezeichnet. Die logischen Eingangswerte werden nach den mathematischen Gesetzen der booleschen Algebra ausgewertet und ergeben einen logischen Ergebniswert. Die Gesetzmäßigkeiten der Funktionsgleichungen werden oft in Pegel- und Wahrheits- oder Funktionstabellen erfasst.

UND-Verknüpfung – Konjunktion

Für eine UND-Verknüpfung, im englischen Sprachgebrauch AND, sind mindestens zwei Eingangsvariable (n=2) notwendig. Die Funktion liefert als Ergebnis eine Ausgangsvariable. Bei binären (2) Zuständen am Eingang sind 2n = 4 unterschiedliche Kombinationen möglich. Sie werden nach Eingangsvariablen getrennt in einer Arbeitstabelle mit Low und High oder Wahrheitstabelle mit 0 und 1 erfasst. In der letzten Spalte ist das Funktionsergebnis notiert.

Bei einem logischen UND (AND) müssen alle Eingangswerte wahr oder 1 sein, damit das Ergebnis wahr oder 1 ergibt. Stellt man sich die Eingangsvariablen als in Reihe liegende Schalter vor, so kann bei anliegender Spannung nur dann Strom fließen, wenn in diesem Beispiel beide Schalter gleichzeitig geschlossen sind.

UND-Glied

Die Reihenfolge der Eingangszustände in der Tabelle ist freigestellt. Ein reihenweise von rechts nach links im Sinn zunehmender Dualzahlen eingetragener Wechsel der Eingangspegel hat sich als besonders übersichtlich erwiesen.

Das Ergebnis einer UND Funktion wird true, wenn alle Eingangsvariablen true sind.
Der Ausgangzustand eines UND-Glieds liefert 1, wenn alle Eingangszustände 1 sind.

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ODER-Verknüpfung – Disjunktion

Für eine ODER-Verknüpfung, im englischen Sprachgebrauch OR, sind mindestens zwei Eingangsvariable notwendig. Die Funktion liefert als Ergebnis eine Ausgangsvariable. Es gibt ebenso viele unterschiedliche Eingangskombinationen wie beim UND-Gatter. Die Ausgangsvariable ist immer dann wahr oder 1, wenn mindestens eine Eingangsvariable wahr oder 1 ist. Im elektromechanischen Schaltprinzip kann das Verhalten durch zwei im Stromkreis parallel angeordnete Schalterelemente erreicht werden. Bei anliegender Spannung fließt Strom, wenn einer der Schalter geschlossen ist.

ODER-Glied

Das Ergebnis einer ODER Funktion wird true, wenn eine Eingangsvariable true ist.
Der Ausgangzustand eines ODER-Glieds liefert 1, wenn mindestens ein Eingangszustand 1 ist.

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NICHT-Verknüpfung – Negation

Die dritte Grundverknüpfung ist die Negation. Für ein NICHT-Gatter, im englischen Sprachgebrauch NOT, ist nur eine Eingangsvariable notwendig. Das Ausgangssignal kehrt den Eingangszustand um. Das NICHT-Gatter funktioniert als Inverter. Im elektromechanischen Schaltprinzip liegt im Stromkreis ein Öffner, der ein genormtes Schaltzeichen hat.

NICHT-Glied

Das Ergebnis einer NICHT-Funktion wird true (false), wenn die Eingangsvariable false (true) ist.
Der Ausgangszustand eines NICHT-Glieds ist entgegengesetzt (invers) zum Eingangszustand.

Mit diesen drei Logikgattern lassen sich alle denkbaren logischen Funktionen darstellen. Sie werden daher als Grundgatter bezeichnet. Zur Verkleinerung des Schaltungsaufwands wurden weitere zusammengesetzte Gatter entwickelt, die nachfolgend vorgestellt werden.

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NAND-Verknüpfung – negiertes UND

Eine Kombination aus einem UND-Gatter mit nachfolgendem NICHT-Gatter ergibt ein NAND-Gatter. Die Ausgangsvariable Z des UND-Gatters wird durch das NICHT-Gatter negiert und erzeugt die Ausgangsvariable X des NAND-Glieds. Viele logische Funktionen lassen sich durch den Einsatz von NAND-Gattern lösen. Oft steigt dadurch die Anzahl der notwendigen Gatter, mit dem wirtschaftlichen Vorteil nur einen Gattertyp zu verwenden.

NAND-Glied

Der Ausgangszustand eines NAND-Glieds ergibt 1, wenn nicht alle Eingangszustände 1 sind.

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NOR-Verknüpfung – negiertes ODER

Eine Kombination aus einem ODER-Gatter mit nachfolgendem NICHT-Gatter ergibt ein NOR-Gatter. Die Ausgangsvariable Z des ODER-Gatters wird durch das NICHT-Gatter negiert und erzeugt die Ausgangsvariable X des NOR-Glieds. NOR-Glieder haben in logischen Schaltungen die gleiche wichtige Bedeutung wie NAND-Glieder.

NOR-Glied

Der Ausgangszustand eines NOR-Glieds ergibt 1, wenn alle Eingangszustände 0 sind.

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XOR-Verknüpfung – Exklusiv ODER – Antivalenz

Die logische Verknüpfung des XOR-Gatters mit zwei Eingangsvariablen kann mit einem 'entweder - oder' umschrieben werden. Die Ausgangsvariable wird immer dann 'true' liefern, wenn die Eingangsvariablen unterschiedliche Zustände haben. Die Wahrheitstabelle des XOR-Gatters entspricht dem ODER-Gatter mit dem Ausschluss gleicher Eingangszustände, also exklusiv der Äquivalenz. Dieses Verhalten wird als Antivalenz bezeichnet. Es gibt ein nach IEC 60617-12 genormtes Schaltzeichen.

Wird in der Funktionsgleichung für die ODER Verknüpfung das v als Zeichen verwendet, kann die XOR Verknüpfung durch ein unterstrichenes v gekennzeichnet werden. Bei Verwendung des + Zeichens für ODER kennzeichnet ein Plus im Kreis ⊕ für die XOR-Verknüpfung.

XOR-Glied

Die Funktion kann durch eine Schaltung mit vier NAND-Gattern erreicht werden. Die folgende interaktive Simulation zeigt den Sigalfluss für die vier Eingangszustände. Eine ebenfalls mögliche Kombination mehrerer NICHT-, UND- sowie ODER-Gattern ist unwirtschaftlich und wird in Logikschaltungen nicht angewendet.

Der Ausgangszustand eines XOR-Glieds ergibt 1, wenn eine ungerade Zahl der Eingangzustände 1
und alle anderen Eingangszustände 0 sind.

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XNOR-Verknüpfung – Äquivalenz

Die Bezeichnung Äquivalenz bedeutet Gleichwertigkeit. Beim XNOR-Gatter mit zwei Eingangsvariablen ist der Zustand der Ausgangsvariable 1, wenn beide Eingangsvariablen den gleichen Zustand 0 oder 1 haben. Die Funktion kann durch eine Schaltung mit vier NOR-Gattern erreicht werden. Es sind zwei unterschiedliche Schaltzeichen zu finden. Nach IEC 60617-12 gilt das links dargestellte genormte Schaltzeichen des XOR-Gatters mit negiertem Ausgang.

XNOR-Glied

Der Ausgangszustand eines XNOR-Glieds ergibt 1, wenn eine gerade Zahl der Eingangzustände 1
und alle anderen Eingangszustände 0 aufweisen oder alle 0 sind.

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Interaktive Simulation

In der folgenden interaktiven Simulation können für die beschriebenen Gatter mit zwei Eingangsvariablen die Schaltzustände anhand der Wahrheitstabellen untersucht werden. Zusätzlich lassen sich die jeweiligen Impulszeitdiagramme mit einer Laufzeit von 20 Sekunden wiederholt starten.