Informations- und Kommunikationstechnik

Das Dezibel

In der Elektronik und Übertragungstechnik werden Verstärkungs- und Dämpfungsfaktoren vielfach im logarithmischen Maß, dem Dezibel (dB), angegeben. Es handelt sich dabei um keine echte Einheit wie Volt oder Ampere. Das Dezibel ist eine Pseudoeinheit und weist darauf hin, dass der Zahlenwert aus dem Logarithmus eines Verhältnisses errechnet wurde. Diese Seite erklärt neben dem Dezibel die Begriffe Pegel und Dämpfungsmaß auch das Pegeldiagramm.

Das Rechnen mit Verstärkungen und Dämpfungen unterschiedlicher Größenordnungen vereinfacht sich durch den Einsatz von Logarithmen. Das Gesamtergebnis, das sich zuvor durch Multiplikations- und Divisionsschritte errechnete, reduziert sich durch die Logarithmenrechnung auf einfache Addition- und Subtraktionsschritte. Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Rechenregeln:

Logarithmenformel

Die Logarithmen gibt es mit verschiedenen Basiszahlen. Im Elektronikbereich wird mit der Basiszahl 10 gerechnet. Das ist der dekadische oder Briggsche Logarithmus. Er ist besonders vorteilhaft, da der Logarithmus einer Zehnerpotenz gleich dem Exponenten ist. Auf physikalische Vorgänge der Natur wird meistens der natürliche Logarithmus zur Basis e angewendet.

An einem Zweitor (Vierpol) soll nun die Herleitung der Dezibel- und Pegelrechnung erfolgen. Die Eingangs- und Ausgangsimpedanz ist gleich dem angeschlossenen ohmschen Lastwiderstand. Die Eingangsgrößen wie Spannung und Leistung führen zu entsprechenden Ausgangsgrößen, wobei nur Wirkleistung umgesetzt werden soll. Ist das Verhältnis von Ausgangsleistung zur Eingangsleistung größer als 1, so entspricht das einem Gewinn G, gleichbedeutend mit einer Verstärkung V. Ist das Verhältnis kleiner 1, so handelt es sich um eine Dämpfung a. Sie wird neu definiert als das Verhältnis der Eingangsgröße zur Ausgangsgröße und ist somit der Kehrwert der Verstärkung.

Verhältnisse am Zweitor

Der Zehnerlogarithmus der oben definierten Verstärkungs- oder Dämpfungsfaktoren gibt das Verstärkungs- oder Dämpfungsmaß an. Das Ergebnis bekommt die Pseudoeinheit Bel zu Ehren des amerikanischen Wissenschaftlers Graham Bell. Bei der Umrechnung ergeben sich oft Dezimalzahlen mit nur einer Vorkommastelle. Damit man bei schnellen Überschlagsrechnungen ohne großen Fehler auf Nachkommastellen verzichten kann, wurde das Ergebnis mit 10 multipliziert und als Dezibel dB bezeichnet.

Definition des Leistungs-Pegelmaß

Bei einem auf Leistung angepassten System mit Z = R2 können die Leistungen durch die Quadrate der Eingangs- und Ausgangsspannungen ersetzt werden. Wird ein Exponentialausdruck logarithmiert, so vereinfacht sich die Rechnung auf eine Multiplikation des Logarithmus der Basis mit dem Exponenten.

Definition des Spannungs-Pegelmaß

Die Herleitungen zeigen, dass für ein bestimmtes System mit gleichen Impedanzen dasselbe Dämpfungs- oder Verstärkungsmaß errechnet. Dabei ist es egal, ob das Leistungs- oder Spannungsverhältnis eingesetzt wird. Sind die Ein- und Ausgangsimpedanzen eines Zweitors unterschiedlich, so werden weiterhin die oben hergeleiteten Formeln benutzt. Die direkte Beziehung der Verhältnisse zwischen Spannung, Strom oder Leistung ist dann nicht mehr gegeben.

Mit der Umkehrfunktion des Logarithmus können aus den jeweiligen dB Werten die Verstärkungs- oder Dämpfungsfaktoren errechnet werden. Der dekadische Logarithmus wird mithilfe der Zehnerpotenz aufgelöst. Das folgende Beispiel zeigt die Berechnung der Spannungsverstärkung, wenn der Verstärker ein Eingangssignal um 40 dB verstärkt.

Auflösen der logarithmischen Gleichung

Für die Dämpfung wird allgemein die Bezeichnung a verwendet. Teilweise ist D als Dämpfungsfaktor zu finden. Bei der Verstärkung sind die Bezeichnungen V mit entsprechendem Index oder G für Gain gleich Gewinn üblich. Nach DIN 40148 kann der Verstärkungsfaktor, auch Übertragungsfaktor genannt, mit A bezeichnet werden.

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Pegel und Dämpfungsmaß

Das Dezibel ist eine dimensionslose Verhältnisgröße. Wird das logarithmische Verhältnis mit einer definierten Bezugsgröße gebildet, dann spricht man von einem Pegel. Pegel sind folglich dimensionsbehaftete Größen. In der Übertragungstechnik ist die Leistung von 1 mW an 600 Ω als Bezugswert festgelegt. Daraus lässt sich eine Bezugsspannung von 775 mV errechnen. Eine weitere Bezugsspannung ist 1 V. In der Antennentechnik ist die Spannung 1 μV der definierte Bezug. Der diesen Werten zugeordnete Pegel hat den Wert 0 dB mit der entsprechenden Benennung, wie es die folgende Tabelle zeigt.

Bezeichnung Formelzeichen Kurzzeichen Bezugswert
Leistungspegel an 600 Ω LP, nP, p dBm 1 mW
absoluter Spannungspegel LU, nU, pu dBu 0,775 V
Spannungspegel LU, nU dBv 1 V
Antennenpegel an 75 Ω LU, nU dBμV 1 μV
relativer Pegel Lr, nr, prel dBr freier Bezugswert

Die Bezeichnungen können sehr freizügig gewählt werden. So wird für Pegel der Buchstabe L wie Level oder n wie Niveau ebenso wie p mit dem entsprechenden Index als Pegel für Spannung, Leistung usw. benutzt. Zur Veranschaulichung folgen einige Berechnungsbeispiele:

Beispiel einer Pegelrechnung

Bei bekannten Impedanzen lassen sich die Spannungspegel in die entsprechenden Leistungspegel umrechnen. Die Antennenbezugsspannung von 1 μV an 75 Ω gleich 0 dBμV wird in ihren Leistungspegel umgerechnet. Mit diesem Wert hat man dann die Möglichkeit an der gleichen Antennenimpedanz zu jedem Antennenspannungspegel direkt den Leistungspegel zu berechnen. Im Beispiel werden 60 dBμV umgerechnet.

Antennenpegelumrechnung

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Pegeldiagramm

Die einzelnen Glieder einer Übertragungskette werden ein Eingangssignal entweder verstärken oder abschwächen. Die Gesamtverstärkung errechnet sich durch die Multiplikation der Einzelwerte. Dabei weisen Verstärkungen Werte größer 1 und Abschwächungen Werte kleiner 1 auf. Die Rechnung vereinfacht sich beim Gebrauch der Pegelwerte. Sie werden addiert, wobei Verstärkungen einen positiven und Abschwächungen einen negativen Pegelwert erhalten. Zur weiteren Vereinfachung bekommt es bei der Addition der Dezibelwerte, wo auf unterschiedliche Impedanzen nicht geachtet wird und fast immer nur relative Werte in Rechnung gehen. Das Diagramm stellt eine angepasste Übertragungsstrecke dar.

Pegeldiagramm