Informations- und Kommunikationstechnik

Fouriertransformation

Mit der Fouriertransformation (FT) kann ein von der Zeit abhängiges periodisches Signal in ein von der Frequenz abhängiges Signal überführt werden. Oft ist es von Interesse ein periodisches Signal hinsichtlich der darin vorkommenden Frequenzen und ihrer Amplituden zu untersuchen. Um zum Beispiel ein Rechteck- oder Sägezahnsignal möglichst verlustfrei zu verarbeiten, muss die Elektronik eine bestimmte Bandbreite haben. Es genügt nicht, nur die Grundfrequenz des zusammengesetzten Signals zu kennen, die aus dem Amplituden-Zeitdiagramm ablesbar ist. Erst das zugehörige Amplituden-Frequenzdiagramm zeigt die anderen im Signal vorhandenen Frequenzen mit ihren Anteilen.

Der Mathematiker Fourier hat herausgefunden, dass jedes periodische Signal durch eine Summe unendlich vieler Sinus- und Cosinusschwingungen und falls notwendig einem zusätzlichen Gleichanteil dargestellt werden kann. Der Grundwert ist die kleinste gemeinsame Periode gleich der niedrigsten Frequenz, die leicht aus dem Zeitdiagramm des Signals bestimmbar ist. Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn sich ihre Funktionswerte nach einer Verschiebung um 2π (2Pi) für alle x-Werte im Definitionsbereich nicht ändern. Für 2Pi-periodische Funktionen gilt f(x) = f(x + 2π). Ist f(x) eine stetige monotone Funktion und im Intervall −π ≤ x ≤ π gleich 0 ≤ x ≤ 2·π integrierbar, so kann die Funktion als unendliche trigonometrische Funktionsreihe, einer Fourierreihe geschrieben werden.

Man findet unterschiedliche Schreibweisen zur allgemeinen Darstellung der trigonometrischen Funktionsreihen, die sich im Startwert der Laufzahl und im Auftreten des absoluten Glieds unterscheiden und letztlich zum gleichen Ergebnis führen.

Fourierreihen

Wird das Zeitdiagramm eines periodischen Signals mithilfe der Fouriertransformation in das Frequenzspektrum überführt, treten im Spektrum nur ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz auf, da sie die Periodizität und damit die Grundfrequenz nicht störend beeinflussen. Ziel der Fourieranalyse ist es die Fourierkoeffizienten a0, an und bn der Funktion f(t) zu bestimmen. Je mehr Koeffizienten bestimmt werden, desto genauer kann die Funktion f(t) durch eine lineare Überlagerung als Addition oder Subtraktion einfacher harmonischer Teilschwingungen rekonstruiert werden. Es ist wichtig, zwischen Sinus- und Cosinusgliedern zu unterscheiden. Ausschlaggebend ist der Startpunkt auf der Zeitachse, die auch ins Negative verlängert werden kann.

Bestimmung der Fourierkoeffizienten

Mit den Fourierkoeffizienten bestimmt man die Amplituden der sich im Signal überlagernden Harmonischen. Zu deren Berechnung wird die Funktion f(t) je einmal mit einer Cosinus- und Sinusfunktion multipliziert. Die Produkte werden über eine Periode in den Grenzen von −π bis +π oder −T/2 bis +T/2 ebenso auch 0 bis 2·π oder 0 bis T integriert. Es sind drei Fälle zu unterscheiden, denn die Laufzahlen können ungleich, gleich aber nicht null und null sein. Das rechte Teilintegral für das Produkt einer Sinus- und Cosinusfunktion ist in allen Fällen null. Der Nachweis wird schrittweise erbracht. Mit dem linken Teilintegral errechnen sich Werte für zwei Fourierkoeffizienten.

Teilintegrale für Fourierkoeffizienten ao und an

Wird die Fourierreihe mit der Sinusfunktion multipliziert, so hat in Analogie zur Herleitung oben das linke Teilintegral immer den Wert null. Die Fallbetrachtungen und Berechnungen erfolgen nur für das rechte Teilintegral. Ein dem a0 entsprechenden Faktor b0 gibt es nicht.

Teilintegrale für Fourierkoeffizient bn

Mit den Teillösungen Gl.(1), Gl.(2) und Gl.(3) kann man die Bestimmungsgleichungen bei den Laufzahlen n = m ≠0 und n = m = 0 für die Fourierkoeffizienten aufstellen.

Fourierkoeffizienten

Die Formel zur Bestimmung von an gilt auch für die Laufzahl n = 0. Das Ergebnis ist ein Ausdruck für a0, mit dem doppelten Wert von A0. Am Anfang dieser Seite stehen mit Gl.(I) und Gl.(II) die beiden ähnlichen Funktionen für die trigonometrische Reihe. Soll nur eine Formel mit gleichem Berechnungsschema für alle Fourierkoeffizienten zur Anwendung kommen, dann erfolgt die Aufsummierung der Sinus-, Cosinusreihe von n = 1 ... ∞. Der Fourierkoeffizient a0 ist mit seinem halben Wert zu addieren.

Fourierkoeffizient ao oder ao/2

In europäischen Veröffentlichungen und Formelsammlungen findet man zur Fourierreihe periodischer Funktionen und der Bestimmung der Fourierkoeffizienten die folgenden Formeln.

Fourierreihe und Koeffizienten

Schließt das Signal im Zeitintervall einer Periode oberhalb der Zeitachse die gleiche Fläche wie unterhalb der Zeitachse ein, so ist der Koeffizient a0 = 0. In der Elektrotechnik handelt es sich dann um ein zu null symmetrisches reines Wechselspannungs- oder Wechselstromsignal ohne Gleichanteil.

Nicht immer werden bei der Signalanalyse nach Fourier die Sinus- oder Cosinusfunktionen angegeben. Das Zeitdiagramm des Signals wird in ein Spektraldiagramm transformiert, das die Fourierkoeffizienten als Funktion der Ordnungszahl der auftretenden Harmonischen zeigt. Mithilfe dieser Fouriertransformation (FT) kann man die notwendige Bandbreite abschätzen, die zur Übertragung eines qualitativ gutes Signal gegeben sein muss. In den Spektraldiagrammen kann man auch erkennen, ob und wie sich mehrere Signale, die gleichzeitig auf einem Kanal übertragen werden, gegenseitig beeinflussen.

Die Signalsynthese nach Fourier

Mit dem folgenden interaktiven Lehrfilm sind Fouriersynthesen bis zur 7. Harmonischen möglich. Für jede Harmonische kann der Sinus- oder Cosinusverlauf gewählt und das Vorzeichen gewechselt werden. Die Summenkurve ist zu- oder abschaltbar. Die Animation unterstützt keinen Gleichanteil und die Amplitude der 1. Harmonischen ist eins.

Die folgende Tabelle zeigt für einige markante Signale die einzustellen Parameter, die zum Erfolg führen. Weitere Beispiele zu Fourierreihen findet man in Formelsammlungen und Fachbüchern.

Harmonische 1 2 3 4 5 6 7 Signal
Amplitude 100 0 33,5 0 20 0 14,5 Rechteck
Vorzeichen + + + +
Funktion sin sin sin sin
Amplitude 100 0 33,5 0 20 0 14,5 Rechteck
Vorzeichen + +
Funktion cos cos cos cos
Amplitude 100 50 33,5 25 20 16,5 14 Sägezahn
Vorzeichen + + + +
Funktion sin sin sin sin sin sin sin
Amplitude 100 50 33,5 25 20 16,5 14 Sägezahn
Vorzeichen + + + + + + +
Funktion sin sin sin sin sin sin sin
Amplitude 100 0 11 0 4 0 2 Dreieck
Vorzeichen + +
Funktion sin sin sin sin
Amplitude 50 33,5 0 6,5 0 3 0 M1 cos-Form
Vorzeichen + + +
Funktion cos cos cos cos
Amplitude 0 0 0 0 0...50 100 0...50 AM-Signal
Vorzeichen + + +
Funktion sin sin sin

Fouriertransformation einfacher periodischer Signale

Das Frequenzspektrum eines Signals experimentell zu ermitteln ist prinzipiell nicht schwer. Die professionellen Messgeräte wie Spektrum-, Frequenzanalysator oder Klirrfaktormessbrücke benötigen eine komplizierte Elektronik und sind demzufolge teuer und stehen selten zur Verfügung. Wird das zu analysierende Signal an einen umschaltbaren und durchstimmbaren Parallelschwingkreis hoher Güte gelegt, dann lassen sich bei allen Harmonischen am Resonanzkreis Spannungsmaxima messen. Die Darstellung der Ausgangsamplituden als Funktion zu den ermittelten Resonanzfrequenzen ergibt das Frequenzspektrum. Die Höhe jeder Frequenzlinie entspricht dem Fourierkoeffizienten der jeweiligen Harmonischen.

Berechnung der Fourierkoeffizienten für ein Sinussignal

Die Fouriertransformation wird nachfolgend am trivialen Beispiel eines reinen Sinussignals schrittweise durchgeführt. Die trigonometrische Reihe einer Sinusschwingung darf nur ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz enthalten. Die höheren Harmonischen müssen sich am Anfang und Ende jeder Periode gleichartig verhalten, da sie sonst in der Summe die Periodizität des Signals stören würden. Für die Sinusfunktion der Amplitude y = 1 und der Frequenz ω werden die Fourierkoeffizienten hergeleitet. Die Sinuskurve umschließt innerhalb einer Periodendauer eine gleichgroße positive wie negative Fläche. Der erste Fourierkoeffizient sollte daher den Wert null haben. Die Sinusspannung ist ein reines Wechselspannungssignal ohne Gleichspannungsanteile.

ao-Fourierkoeffizient einer Sinusfunktion

Die nächsten zu bestimmenden Fourierkoeffizienten sind an mit ganzzahligem n ≥1. Die Integration erfolgt immer über eine Periode. Integriert wird das Produkt der Funktion mit der Cosinusfunktion der n-fachen Frequenz. Da die Sinusfunktion unsymmetrisch zur y-Achse ist, treten keine Cosinuskomponenten auf und alle an Fourierkoeffizienten sollten null sein. Zum Beweis wird für den Koeffizienten a1 mit n = 1 wird die Berechnung ausführlich dargestellt. Die notwendigen Stammfunktionen findet man in mathematischen Formelsammlungen. Für die höheren n muss die Zeitachse in Negative verlängert werden. Man erkennt, dass die Cosinuswerte für t = 0 und den Vielfachen der Periodendauer T immer den Wert 1 haben. Für das bestimmte Integral in den Grenzen 0 bis T ergibt die Stammfunktion in allgemeiner Berechnung für alle an folglich den Wert null.

an-Fourierkoeffizient einer Sinusfunktion

Zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten bn wird die Funktion mit ganzzahligen Vielfachen der Sinusfunktion multipliziert. Die Integration erfolgt wieder über eine volle Periode. Aus Erfahrung weiß man, dass nur eine Frequenzlinie auftreten kann, deren Höhe der maximalen Amplitude des Signals entspricht. Bei n = 1 ist die Stammfunktion für das Quadrat der Sinusfunktion zu verwenden. Für alle weiteren n findet man in Formelsammlungen ebenfalls die notwendige Stammfunktion. Man erkennt, dass die Klammerausdrücke (a + b) und (a − b) ganze Zahlen sind. Folglich haben für n > 1 die Sinuswerte an den Stellen t = 0 und den Vielfachen der Periodendauer T stets den Wert null. Das Frequenzspektrum der einfachen Sinusfunktion zeigt keine Oberwellen und wie zu erwarten nur die Grundfrequenz mit der vorgegebenen maximalen Amplitude.

an-Fourierkoeffizient einer Sinusfunktion

Fouriertransformation eines Rechtecksignals

Mit Simulationsprogrammen für elektronische Schaltungen lassen sich unterschiedliche periodische Signale recht einfach auf ihren Oberwellenanteil hin untersuchen. Wichtig ist dabei die korrekte Angabe der Analyseparameter, hier insbesondere der Periodendauer des Signals und die Zahl der zu ermittelnden Oberwellen. Die Programme können auch die Phasenlagen der Harmonischen zueinander analysieren. Das EWB/Multisim-Programm gibt nicht immer verlässliche Werte aus und eine DC-Komponente wird nur als Tabellenwert angezeigt.

Die erste Analyse zeigt das Frequenzspektrum eines symmetrischen 1:1 Rechtecksignals. Die ersten Glieder der Fourierreihe findet man in Formelsammlungen. Das Spektrum ist normiert, wobei die Amplitude der 1. Harmonischen den Wert 1 hat. Das Tastverhältnis beträgt V = 2 und somit fehlt jede 2. Harmonische. Das Signal hat keine DC-Komponente, da während einer Periode die Flächensumme im Positiven und Negativen gleich ist und sich zu null ausgleicht.

Fourieranalyse eines symmetrischen Rechtecksignals

Das im Bild rechts dargestellte Zeitdiagramm des Rechtecksignals soll nun mathematisch durch die Fouriertransformation in das Spektrum überführt werden. Das Signal ist zur y-Achse unsymmetrisch, also werden alle Fourierkoeffizienten an = 0 sein. Es ist zur Zeitachse symmetrisch und umschließt während einer Periode gleichgroße positive wie negative Flächeneinheiten. Das Rechteck hat keine DC-Komponente und der erste Fourierkoeffizient sollte ao = 0 betragen. Das Signal hat bei der halben Periode eine Sprungstelle. Für den Bereich 0 bis T/2 oder π (Pi) entspricht der Signalverlauf einer positiven Konstanten und danach von T/2 bis T einer negativen Konstanten. Zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten ist über die gesamte Periode zu integrieren.

Fourierkoeffizient ao eines symmetrischen Rechtecksignals

Die Fourierkoeffizienten an haben für alle n den Wert null. Die Integration erfolgt für die Produkte der Teilfunktionen mit den Cosinusfunktionen aller ganzzahligen Vielfachen der Periode. Die Stammfunktion eines Cosinusintegrals ist eine Sinusfunktion die an den Integrationsgrenzen 0, T/2 und T und deren ganzzahligen Vielfachen immer null ergibt. Zu ermitteln bleiben die Fourierkoeffizienten bn für die Produkte der Teilfunktionen mit den Sinusfunktionen und deren ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz. Die Stammfunktion ist in mathematischen Formelsammlungen zu finden.

Fourierkoeffizient bn eines symmetrischen Rechtecksignals

Die Berechnungen zeigen, dass im Frequenzspektrum des symmetrischen Rechecksignals nur alle ungeraden Harmonischen vorkommen, so wie es das Simulationsergebnis darstellt. Es folgt die Berechnung der Amplituden der auftretenden Harmonischen, die aus der allgemeinen Formel für bn erkennbar, mit zunehmender Frequenz kontinuierlich abnehmen. Sowohl die Formelsammlungen als auch das Simulationsprogramm notiert die Amplituden als normierte Werte bezogen auf die Amplitude der Grundfrequenz.

n 1 3 5 7 9
bn 1,273 0,424 0,255 0,182 0,141
normiert 1 0,333 = 1/3 0,200 = 1/5 0,143 = 1/7 0,111 = 1/9

Fouriertransformation eines Sägezahnsignals

Im Simulationsprogramm wurde zur Frequenzanalyse das Tastverhältnis V = 1 eingestellt, sodass bei jeder 100. Harmonische eine Nullstelle auftritt. Dieses Sägezahnsignal entspricht im Bereich einer Periode idealisiert der Funktion einer Geraden mit negativer Steigung (blauer Kurvenzug). Ein Sägezahn mit V = 99 kann idealisiert durch die gleiche Gerade mit positiver Steigung (grün) dargestellt werden. Die Simulation liefert für beide ein identisches Frequenzspektrum. Mathematisch ändert sich nur das Vorzeichen für die Fourierkoeffizienten bn.

Fourieranalyse eines Sägezahnsignals

Der Signalverlauf ist zur Amplitudenachse unsymmetrisch, es treten daher keine Cosinusfunktionen mit den Fourierfaktoren an auf. Berechnet werden müssen die Integrale für ao und bn aus dem Produkt der Funktion mit der Sinusfunktion für n ≥ 1.

Fourierkoeffizienten eines Sägezahnsignals

Das Signal verläuft nur im Positiven und hat somit eine DC-Komponente. Sie entspricht dem Flächeninhalt, den die Kurve mit der Zeitachse einschließt. Es ist die halbe Rechteckfläche, als Produkt der maximalen Spannung mit der Periodendauer bezogen auf eine Periode und damit identisch mit dem Fourierfaktor ao/2. Die Tabelle zeigt die Fourierfaktoren der ersten 7 Frequenzlinien und deren normierte Werte.

n 1 2 3 4 5 6 7
bn 0,3183 0,1592 0,1061 0,0796 0,0637 0,0531 0,0455
normiert 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

In der animierten Fouriersynthese verlaufen die Sägezahnsignale symmetrisch zur Zeitachse, wobei es zum kontinuierlichen Vorzeichenwechsel bei den Koeffizienten kommen kann. Diese Signale haben entweder eine Sprungstelle bei der halben Periode oder kreuzen die Zeitachse. In beiden Fällen wechselt das Vorzeichen der Amplitude. Das Frequenzspektrum ändert sich nicht, da alle Linien nach Vereinbarung im Positiven dargestellt werden. Die Integration zur Berechnung der Fourierkoeffizienten muss als Summe der Teilintegrale von 0 bis T/2 und T/2 bis T mit der dazu passenden Funktionsgleichung durchgeführt werden.

Fouriertransformation eines periodischen Rechteckpuls

Die Fourieranalyse eines Rechtecksignals mit dem Tastverhältnis V = 5 bei gleich großen positiven wie negativen Amplituden zeigt im Spektrum das Fehlen jeder 5. Harmonischen. Die Flächenverteilung über eine Periode lässt eine DC-Komponente erwarten, die im Simulationsergebnis nur tabellarisch angezeigt wird. Da das Signal weder symmetrisch noch unsymmetrisch ist, treten bei der Fouriertransformation beide Koeffizienten an und bn auf. Das im Simulationsprogramm zur Zeitachse symmetrische Signal hat die Grundfrequenz 100 Hz und die Spannung U = 10 V.

Fourieranalyse eines 1:5 Rechtecksignals

Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten ist über eine Periodendauer T zu integrieren, wobei die Summe der Teilintegrale für die Funktion f(t) = +U in den Grenzen 0 bis T/5 und f(t) = −U in den Grenzen T/5 bis T zu bilden ist. Die Bestimmung der DC-Komponente kann ebenso einfach auch ohne Integration als Mittelwert nach der angegeben Formel errechnet werden.

Fourierkoeffizienten für ein 1:5 Rechteckpuls

Beide Fourierkoeffizienten an und bn haben bei den Vielfachen von n = 5 den Wert null. Im Frequenzspektrum fehlt, so wie es das Simulationsergebnis zeigt, jede 5. Harmonische. Mit den Koeffizienten kann die Fourierreihe für den periodischen Recheckpuls geschrieben werden. Die Amplituden der Harmonischen lassen sich noch nicht wie in den vorangegangenen Beispielen direkt mit den Koeffizienten vergleichen. In der trigonometrischen Reihe wird an mit der Cosinusfunktion und bn mit der Sinusfunktion multipliziert und die Summe gebildet. In umfangreichen Formelsammlungen findet man eine vereinfachende Lösung.

Fourierreihe für ein 1:5 Rechteckpuls

In der Tabelle sind die Amplituden der ersten 10 Harmonischen berechnet und stimmen mit den Ergebnissen der Simulation überein. Der aus dem Arcustangens folgende Phasenwinkel beträgt für dieses Beispiel 36° und ist der halbe Wert, der sich aus dem Winkelverhältnis φ1 = ti / T = 72° ergibt.

n an bn √(an2+bn2) normiert
1 0,6055 0,4399 0,7484 1
2 0,1871 0,5758 0,6054 0,8100
3 -0,1247 0,3839 0,4036 0,5393
4 -0,1514 0,1100 0,1871 0,2501
5 0 0 0 0
6 0,1009 0,0733 0,1247 0,1666
7 0,0535 0,1645 0,1730 0,2311
8 -0,0468 0,1440 0,1514 0,2023
9 -0,0673 0,0489 0,0832 0,1112
10 0 0 0 0