Informations- und Kommunikationstechnik

Die Gerade – Polynomfunktion 1. Ordnung

Im Elektroniklabor wird das Verhalten ohmscher Widerstände hinsichtlich ihrer Leitfähigkeit für den elektrischen Strom bei unterschiedlichen Spannungen untersucht. Die Auswertung der Messergebnisse erfolgt rein mathematisch und oft durch eine grafische Darstellung der Messpunkte im rechtwinkligen Achsenkreuz. Unter Berücksichtigung möglicher Messungenauigkeiten, der stets vorhandenen Messfehler, liegen alle Messpunkte entlang einer Ausgleichsgeraden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in der Ebene wird als Gerade bezeichnet.

Bei der grafischen Darstellung des Widerstandsversuchs werden die frei gewählten Spannungswerte auf der horizontalen Achse, der mathematischen x-Achse, abgetragen. Die sich einstellenden Stromwerte werden auf der dazu senkrecht stehenden Achse, der mathematischen y-Achse, eingezeichnet. Für einen definierten Widerstand stellen sich die Stromwerte als Funktionswerte der angelegten Spannungen dar. Der durch den Widerstand fließende Strom ist eine Funktion der am Widerstand angelegten Spannung. Das Funktionsbild für einen ohmschen Widerstand ist eine Gerade und zeigt einen linearen, proportionalen Zusammenhang zwischen Strom und Spannung.

Man ist bestrebt, die in der Praxis ermittelten Beobachtungsergebnisse durch den Einsatz theoretisch mathematischer Gesetzmäßigkeiten zu beschreiben. Die Elektronik als Teilbereich der Naturwissenschaften ist eng mit der Mathematik verbunden.

Achsenabschnittsform einer Geraden

Sind im rechtwinkligen Achsenkreuz die beiden Achsenabschnitte a und b bekannt, wobei einer auf der x-Achse, der andere auf der y-Achse liegt, dann liegen die Endpunkte A und B auf einer Geraden. Jeder andere Punkt P auf der Geraden mit den Koordinaten P(x;y) erfüllt immer dann die Achsenabschnittsform, wenn a≠0 und b≠0 sind. Aus der Achsenabschnittsform kann die Funktionsgleichung der Geraden hergeleitet werden.

Achsenabschnittsform mit Formeln

Eine allgemeine Form der Geradengleichung ist A·x + B·y + C = 0, für A ≠ 0 und B ≠ 0. Die Achsenabschnitte lassen sich durch das Einsetzen von entweder x = 0 oder y = 0 sehr leicht bestimmen. Die Gerade schneidet die x-Achse bei a = − C / A und die y-Achse bei b = − C / B.

Die Zweipunkteform einer Geraden

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten P1 und P2 ist eine Gerade. Mit den Koordinaten dieser Punkte ist die Funktionsgleichung der Geraden eindeutig bestimmt. Jeder weitere beliebige Punkt P(x/y) auf dieser Geraden ist zu den beiden ebenfalls linear und eindeutig berechenbar. Nach dem Strahlensatz sind die Streckenverhältnisse jedes Punktepaares zueinander gleich.

Zweipunkteform mit Formeln

Durch Umformen der Zweipunktegleichung erhält man für die y-Koordinate eines beliebigen Punktes auf der Geraden eine Funktion f(x). Sie besteht aus einem linearen Glied mit x in der 1.Potenz und einem absoluten Glied ohne x. Der Faktor vor x entspricht der Steigung der Geraden.

Der folgende interaktive Lehrfilm bietet die Möglichkeit eine Gerade als Schnittlinie für zwei einstellbare Punkte darzustellen. Im vorgegebenen Wertebereich -15 <= x, y <= +15 werden dazu die aktuelle Funktionsgleichung und die Steigung der gezeichneten Geraden angezeigt.

Die Normalform einer Geraden

Die bekannteste mathematische Schreibweise einer Geradengleichung ist y = f(x) = m·x + n, wobei m und n reelle Zahlen sind. Der Faktor m steht für die Steigung der Geraden und n ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, wenn x = 0 gesetzt wird. Mit n = 0 verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung und wird als Ursprungsgerade bezeichnet. Für eine parallel zur y-Achse verlaufenden Geraden sind einem einzigen Wert von x viele y-Werte zugeordnet. Das widerspricht der Definition einer Funktion.

Normalform mit Formel

Die Punktsteigungsform einer Geraden

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse verläuft, ist durch einen auf ihr liegenden Punkt und ihre Steigung eindeutig bestimmbar. Die Herleitung erfolgt mit der Normalform und einer zweiten Gleichung durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die Normalform. Beide Gleichungen werden voneinander subtrahiert.

Herleitung der Punkt-Steigungsform

Die Steigung einer Geraden

Formel der Geradensteigung

Vergleicht man die Normalform mit der nach y umgestellten Zweipunkteform, ist die Steigung m durch den Faktor des linearen Glieds, einem Differenzenquotienten bestimmt. Die Steigung ist eine auf die x-Achse bezogene Neigung der Geraden. Das im zweiten Bild dieser Seite farbige rechtwinklige Dreieck wird als Steigungsdreieck bezeichnet. Die Steigung ist durch den Tangens des Winkels bestimmt, den die Gerade im gewählten Punkt, hier P1, mit der Horizontalen, der Parallelen zur x-Achse, bildet. Zur Berechnung der Steigung ist es egal, ob man die Koordinaten P1 von P2 oder umgekehrt subtrahiert. Wichtig ist, dass im Zähler und Nenner die gleiche Reihenfolge eingehalten wird.

Der folgende interaktive Lehrfilm stellt Geraden nach der Punktsteigungsform dar. Nach Eingabe der Werte für die Steigung und den Achsenabschnitt wird mit der Schaltfläche <Zeichnen> die entsprechende Funktionsgleichung angezeigt und die Gerade gezeichnet.

Hessesche Normalform – HNF

Mithilfe der HNF kann relativ einfach der direkte Abstand eines Punktes oberhalb oder unterhalb einer Geraden bestimmt werden. Auch in der Vektorgeometrie hat die HNF einen besonderen Platz. Der kürzeste Abstand zwischen einer Geraden und dem Koordinatenursprung ist eine auf ihr senkrecht stehende Gerade, die Normale. Sie bildet mit der x-Achse einen Winkel φ. Sind die Länge der Normalen p und der Winkel bekannt, kann die Hessesche Normalform wie folgt geschrieben werden:
x·cos(φ) + y·sin(φ) = p. Mit dem Winkel φ sind die Punktkoordinaten auf der Geraden und die Geradensteigung bekannt. Mit der Punkt-Steigungs-Form kann die HNF aufgestellt werden.

Hessesche Normalform

Die Gerade ist eindeutig bestimmbar, wenn die Länge der Normalen p bekannt ist. Die allgemeine Form der Geradengleichung A·x + B·y + C = 0 kann in die Hessesche Normalform umgewandelt werden. Die linke Seite ist durch die Wurzel aus der Summe der Quadrate von A und B zu dividieren. Nur für das neue absolute Glied p muss das Vorzeichen der Wurzel entgegengesetzt zum Vorzeichen des absoluten Glieds C sein. Das absolute Glied dividiert durch den Wurzelausdruck gibt die Länge der Normalen als kürzesten Abstand der Geraden zum Koordinatenursprung an. Diese Strecke steht senkrecht auf der Geraden.

HNF und allgem. Geradengleichung

Mithilfe der zugehörigen Grafik oben kann man sich von den Übereinstimmungen zwischen der allgemeinen Form der Geradengleichung und ihrer daraus herleitbaren HNF überzeugen. Die Geradengleichung in allgemeiner Form lautet: 0,5·x + y − 4 = 0, und als Hessesche Normalform: x·cos(φ) + y·sin(φ) + 3,578 = 0