Informations- und Kommunikationstechnik

Quadratische Ergänzung

Eine Gleichung 2. Grades ist besonders einfach lösbar, wenn sie als binomischen Ausdrucks mit dem Exponenten n = 2 geschrieben vorliegt. Das Ziehen der Quadratwurzel führt nach einfachem Umstellen direkt zum Ergebnis. Beim Quadrieren eines positiven oder negativen Ausdrucks ist das Ergebnis immer positiv. In der Umkehrung muss das Ziehen der Quadratwurzel aus einem positiven Ausdruck ein doppeltes Ergebnis mit positivem und negativem gleichen Wert ergeben. Das ±-Zeichen vor der Quadratwurzel sollte stets geschrieben werden.

quadratische Gleichung

Der ausführliche Rechenweg zeigt, dass es insgesamt nur zwei unterschiedliche Ergebnisse gibt. Es reicht somit aus, beim Ziehen der Wurzel zu beiden Seiten der Gleichung das ± Vorzeichen nur vor eine Wurzel zu schreiben. Eine quadratische Gleichung hat maximal 2 unterschiedliche Ergebnisse oder eine gleiche Doppellösung.

In einer gemischt quadratischen Gleichung treten beide Potenzen von x auf. Mit ein wenig Vorarbeit kommt man mit dem soeben gezeigten Lösungsverfahren ebenfalls ans Ziel. Jede Gleichung n-ten Grades kann in ihre Normalform geschrieben werden, wo auf einer Seite des Gleichheitszeichens die Null steht. Die Normalform wird umsortiert, sodass auf der linken Seite alle Potenzen von x stehen und der Koeffizient des quadratischen Glieds +1 ist. Falls notwendig dividiert man dazu alle Glieder der Gleichung durch den Faktor von x². Im nächsten Schritt sortiert man die Gleichung so, dass links vom Gleichheitszeichen alle Potenzen von x und rechts die Werte ohne x stehen. Links wird die quadratische Ergänzung gesucht und die gesamte Gleichung damit erweitert.

Die quadratische Ergänzung ist ein Wert ohne x, der es ermöglicht die linke Seite der Gleichung in einen binomischen Ausdruck umzuwandeln. Der gesuchte Wert errechnet sich aus dem Koeffizienten des linearen Glieds. Der Faktor vor x wird halbiert und das Ergebnis quadriert. Diese Bildungsregel erschließt sich einem beim Vergleich beider Seiten der binomischen Gleichung in der Normalform.

quadratische Ergänzung

Die p-q–Formel und eine allgemeine Lösungsformel

Ausgehend von einer allgemeinen gemischt quadratischen Gleichung, die in der Normalform geschrieben steht, kann mithilfe der quadratischen Ergänzung ein Lösungsansatz gefunden werden. Er ist in Formelwerken als p-q-Formel oder in einer allgemeineren Form unter Verwendung der Ausgangskoeffizienten zu finden. Beide Lösungsformeln sind zur Berechnung gleich gut geeignet.

Herleitung der pq-Formel

Bei Verwendung der p-q–Formel muss zuvor das quadratische Glied durch Division mit dem Koeffizienten freigestellt werden. Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante, der Unterscheidungswert. Ist ihr Wert positiv, dann hat die quadratische Gleichung zwei unterschiedliche reelle Lösungen. Ist der Wert 0, so liegt eine reelle Doppellösung vor. Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine reellen, aber zwei verschiedene konjugiert komplexe Lösungen.

Scheitelpunktform einer Parabel

Die Normalparabel f(x) = x² hat für x = 0 eine reelle Doppelnullstelle. Sie ist für die nach oben offene Parabel der Minimal- und Scheitelpunkt und bildet einen Extrempunkt im Kurvenverlauf. Wird die Parabel in x-Richtung verschoben, so ändert sich die Nullstelle und der Scheitelpunkt verschiebt sich. Für die Parabel f(x) = (x + 1)² errechnet sich eine reelle Doppelnullstelle bei x=−1. Dort liegt auch die x-Koordinate ihres Scheitelpunkts. Steht in der Klammer ein Minuszeichen, dann verschiebt sich der Scheitelpunkt in die positive x-Achsenrichtung. Das zur Abszisse x zusätzliche lineare Glied im Klammerausdruck gibt die mit −1 zu multiplizierende x-Koordinate der Scheitelpunktlage der Parabel an. Somit folgt für f(x) = (x + xs)² die Lage des Scheitelpunkts bei S(−x/ 0).

Der Koeffizienten vor x² bestimmt die Dehnung der Normalparabel. Werte größer 1 ergeben einen steileren Verlauf der Kurvenäste. Werte kleiner 1 führen zum flacheren Kurvenverlauf mit kleineren Steigungswerten. Ein zusätzlicher Faktor a in der oben benutzten Scheitelpunktform bestimmt den Anstieg der Parabeläste. f(x) = a·(x + xa)² hat eine Doppelnullstelle bei xn = −xa. Das ist mit dem Ausrechnen des binomischen Ausdrucks und der nachfolgenden Anwendung der p-q–Formel leicht beweisbar.

Mit einem zusätzlichen absoluten Glied wird die Parabel im Achsenkreuz in der y-Richtung verschoben. Ein positiver Zahlenwert verschiebt den Scheitelpunkt nach oben, ein negativer Wert versetzt den Kurvenverlauf nach unten. Mit dem absoluten Glied verändern sich mit der Lage des Scheitelpunkts auch die Koordinaten der Nullstellen. Mit der quadratischen Ergänzung können für jede Parabelgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts hergeleitet werden.

Herleitung der Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktkoordinaten nach diesem Verfahren zu bestimmen, wird dem in der Differenzialrechnung geschulten Leser umständlich erscheinen. Er errechnet die Extremalpunkte der Stammfunktion mithilfe den Nullstellenkoordinaten der Tangentensteigungsfunktion. In den Extrempunkten ist der Wert der Tangentensteigungen Null, somit wird die 1. Ableitung der Stammfunktion null gesetzt. Die x-Koordinaten der Nullstellen sind gleich den x-Koordinaten der Extrempunkte. Sie werden in die Stammfunktion eingesetzt und ergeben die zugehörigen y-Koordinaten der Scheitelpunkte. Die folgende Herleitung zeigt diesen Rechenweg für die allgemeine Polynomfunktion 2. Ordnung.

Herleitung der Scheitelkoordinaten