Informations- und Kommunikationstechnik

Die quadratische Ergänzung und Parabelfunktion

Liegt die zu bestimmende Unbekannte in der 2. Potenz vor, dann ist eine Gleichung 2. Grades eine quadratische Gleichung zu lösen. Ist der Term mit der Unbekannten ein binomischer Ausdruck oder kann er mithilfe der quadratischen Ergänzung gebildet werden, so wird der Lösungsweg durch Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung recht einfach. Die Wurzel kann nur dann gezogen werden, wenn der Radikand, die Zahl unter der Wurzel, ≥0, also positiv ist. Das Ergebnis einer Wurzel ist folglich immer positiv. Da beim Quadrieren einer positiven oder negativen Zahl das Ergebnis immer positiv ist und die zweite Wurzel aus dem Ergebnis stets positiv ist, muss \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|\) geschrieben werden. Nach dem Ziehen eine Wurzel mit geradem Exponenten muss also geprüft werden, ob die Lösungsmenge positive und negative Werte für die Unbekannte enthalten kann. Dazu ein Beispiel wo der binomische Ausdruck schon vorliegt: \[{(x + 3)^2} = 25\] \[\sqrt {{{(x + 3)}^2}} = \sqrt {25} \] \[(x + 3) = \left| 5 \right|\] \[{x_1} = - 3 + 5 = 2\quad \quad {x_2} = - 3 - 5 = - 8\] Die Ausgangsgleichung wird durch Einsetzen für jedes der beiden Ergebnisse erfüllt.

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

In der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung treten für x die positiven ganzzahligen Potenzen 2, 1 und 0 auf. Die Koeffizienten (Faktoren) a und b sind ungleich null: \(a \cdot {x^2} + b \cdot {x^1} + c \cdot {x^0} = d\). Jeder reelle Wert hoch null hat den Wert 1. Für die Gleichung gilt also: \(a \cdot {x^2} + b \cdot {x^1} + c = d\), wobei c und auch d, die Werte ohne x, als absolute Glieder bezeichnet werden. Wird eine Gleichung n-ten Grades so umgeformt, dass auf einer Seite des Gleichheitszeichens null steht, so wird dies Schreibweise als Nullform und auch als Normalform bezeichnet. \[a \cdot {x^2} + b \cdot x + c - d = 0\quad \Rightarrow a \cdot {x^2} + b \cdot x + e = 0\]

Normalform der quadratischen Gleichung

Für die Normalform einer quadratischen Gleichung gilt eine besondere Umformung mit die Anwendung der später folgenden p-q-Lösungsformel erst möglich ist. Der Koeffizient vor der höchsten Potenz der Unbekannten x muss den Wert +1 haben. Sollte das nicht zutreffen, so ist jedes Glied der Gleichung durch diesen Koeffizienten zu dividieren. Für die folgende Gleichung in der Nullform geschrieben gilt: \[ - a \cdot {x^2} - b \cdot x - e = 0\quad \Rightarrow {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{e}{a} = 0\]

Die quadratische Ergänzung

Mit der quadratischen Ergänzung ist es möglich die linke Seite der Gleichung in einen binomischen Ausdruck umzuwandeln. Der gesuchte Wert errechnet sich aus dem Koeffizienten des linearen Glieds. Er wird halbiert, das Ergebnis quadriert und auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Nur so bleibt der Wert der neuen Schreibweise der Gleichung unverändert. \[{x^2} + \frac{b}{a}x + {\left( {\frac{b}{{2\,a}}} \right)^2} + \frac{e}{a} = {\left( {\frac{b}{{2\,a}}} \right)^2}\] Jetzt werden p und q definiert. Dabei ist p der Koeffizient vor dem linearen Glied und q das absolute Glied ohne Einbeziehen der quadratischen Ergänzung. Die Gleichung mit diesen Definitionen \(p = \frac{b}{a}\) und \(q = \frac{e}{a}\) geschrieben: \[{x^2} + p \cdot x + {\left( {\frac{p}{{2\,}}} \right)^2} + q = {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2}\] Nach Anwenden der binomische Formel links und kurzer Umformung folgt: \[{\left( {x + \frac{p}{{2\,}}} \right)^2} + q = {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2}\quad \Rightarrow {\left( {x + \frac{p}{{2\,}}} \right)^2} = {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} - q\]

Die p-q-Formel

Wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen und nach x aufgelöst, so ist das Ergebnis die in den mathematischen Formelwerken zu findende p-q-Formel. Sie ist wohl am bekanntesten, da sie leichter merkbar ist. Ergebnisse für x gibt es nur, wenn der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante (Unterscheidungswert) positiv ist: \[{x_{1,2}} = - \frac{p}{{2\,}} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}^2} - q} \]

Die allgemeine Lösungsformel

Eine allgemeine quadratische Gleichung wird so sortiert, dass die Potenzen von x links des Gleichheitszeichens und rechts die Komponenten ohne x stehen. Der nächsten Schritt stellt sicher, dass x² den Koeffizient +1 hat. Die Gleichung wird mit der quadratischen Ergänzung erweitert. Auf der linken Seite wird der binomische Lehrsatz angewendet, danach kann auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden. \[a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\quad \Rightarrow a \cdot {x^2} + b \cdot x = - c\] \[{x^2} + \frac{b}{a} \cdot x = - \frac{c}{a}\] \[{x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{c}{a}\] \[{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{c}{a}\] \[\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{c}{a}} \] Mit weiteren Umformungen wird nach x aufgelöst. Der Quotienten wird mit dem Hauptnenner umgeformt. Die Wurzel aus einem Quotienten ist gleich der Wurzel aus dem Zähler dividiert durch die Wurzel des Nenners. Die Wurzel des Nenners kann gezogen werden und ergibt 2·a als gemeinsamen Nenner. Das Ergebnis ist die in den Formelwerken angegebene allgemeine Lösungsformel. \[x + \frac{b}{{2a}} = \sqrt {{{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{c}{a}} \] \[{x_{1,2}} = - \frac{b}{{2\,a}} \pm \sqrt {\frac{{{b^2} - 4\,a\,c}}{{4\,{a^2}}}} \] \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4\,a\,c} }}{{2\,a}}\]

Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante. Ist ihr Wert positiv, dann hat die quadratische Gleichung zwei unterschiedliche reelle Lösungen. Ist ihr Wert 0, so ist das Ergebnis eine gleiche reelle Doppellösung. Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine reellen, aber zwei verschiedene konjugiert komplexe Lösungen.

Scheitelpunktform einer Parabel

Das Funktionsbild einer allgemeinen quadratischen Gleichung im rechtwinkligen Koordinatensystem ist eine Parabel. Die Punkte mit dem Funktionswert y = f(x) = 0 werden Nullstellen genannt. Das sind Schnitt- oder Berührungspunkte der Funktion mit der x-Achse. Ein absolutes Glied verschiebt die Lage der Parabel in y-Richtung. Der Koeffizient von x² bestimmt die Streckung, die für Werte größer 1 einen steileren und für Werte kleiner 1 einen flacheren Kurvenverlauf ergeben. Jede Parabel hat einen Extrem- oder Scheitelpunkt. Für eine allgemeine Parabel kann die Scheitelpunktform geschrieben werden als: \(f(x) = a \cdot {(x - {x_s})^2} + {y_s}\). Die Koordinaten des Scheitelpunkts werden durch \(S({x_s},{y_s})\) oder \(S({x_s}/{y_s})\) angegeben. Mit den gegebenen Koordinaten des Scheitelpunkts S und des Streckungsfaktors a kann die Funktionsgleichung der Parabel erstellt werden.

Ist das quadratische Glied ein binomischer Term, dann ist die Parabel entlang der x-Richtung verschoben. Die Parabel \(f(x) = {(x + 1)^2}\) hat die reelle Doppelnullstelle bei x = −1 mit N(−1/0). Das ist gleichzeitig die x-Koordinate ihres Scheitelpunkts S(−1/0). Steht im binomischen Ausdruck ein Minuszeichen wie bei \(f(x) = {(x - 1)^2}\), dann ist der Scheitelpunkt zur positiven x-Achsenrichtung verschoben. Das im Klammerausdruck zur Abszisse x zusätzliche lineare Glied ergibt mit −1 multipliziert die x-Koordinate für den Scheitelpunkt der Parabel. Somit ist für \(f(x) = {(x + {x_s})^2}\) die Lage des Scheitelpunkts bei S(−xs,0).

Der folgende Videoclip zeigt Beispiele und Berechnungen der Parabelfunktion nach den Scheitelpunktkoordinaten. Eine individuelle Steuerung ist nur mithilfe der einblendbaren Controlleiste möglich.

Der Koeffizient a vor x² oder dem binomischen Term wirkt sich nur auf die Streckung Parabel und nicht auf die Lage des Scheitelpunktes aus. Die Parabelfunktion \(f(x) = a \cdot {(x + {x_a})^2}\) hat eine Doppelnullstelle bei xn = −xa. Das ist durch Ausrechnen des binomischen Ausdrucks und der nachfolgenden Anwendung der p-q–Formel leicht beweisbar. Schneller wird das Ergebnis erhalten, wenn für f(x) = 0 durch a dividiert und dann die Wurzel gezogen wird.

Ein absolutes Glied beeinflusst die Lage des Scheitelpunkts und die Koordinaten der möglichen Nullstellen. Mithilfe der quadratischen Ergänzung können für jede Parabelgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts hergeleitet werden. Ist der Koeffizient des quadratischen Glieds ungleich 1, wird er vor dem Erstellen des binomischen Terms ausgeklammert. \[f(x) = a\,{x^2} + b\,x + c\quad \Rightarrow f(x) = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c\] Es wird mit der quadratischen Ergänzung erweitert und der binomische Ausdruck gebildet: \[f(x) = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + {{\left( {\frac{b}{{2\,a}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{b}{{2\,a}}} \right)}^2}} \right) + c\] \[f(x) = a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2\,a}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{b}{{2\,a}}} \right)}^2}} \right] + c\] Damit kann die Scheitelpunktform der Parabel geschrieben werden: \[f(x) = a{\left( {x + \frac{b}{{2\,a}}} \right)^2} + c - \frac{{{b^2}}}{{4\,a}}\] Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten: \[S\left( { - \frac{b}{{2\,a}}\,,\,\frac{{4\,a\,c - {b^2}}}{{4\,a}}} \right)\]

Die Koordinaten des Scheitelpunkts nach diesem Verfahren zu bestimmen, wird für alle umständlich erscheinen, die mit dem Differenzieren (Ableiten) von Funktionen vertraut sind. Sie würden den Extrempunkt mithilfe der 1. Ableitung, der Tangentensteigungsfunktion berechnen. Im Extrempunkt hat die Tangentensteigung den Wert null. Die 1. Ableitung wird null gesetzt und der x-Wert berechnet. Das Ergebnis ist die xs-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel. \[f(x) = a\,{x^2} + b\,x + c\quad \Rightarrow f'(x) = 2\,a\,x + b\] \[f'(x) = 0 = 2\,a\,x + b\quad \Rightarrow {x_s} = - \frac{b}{{2\,a}}\] Mit diesem Wert xs in die Parabelfunktion eingesetzt wird die ys-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet. \[{y_s} = a{\left( { - \frac{b}{{2\,a}}} \right)^2} + b\left( { - \frac{b}{{2\,a}}} \right) + c\quad \Rightarrow {y_s} = \frac{{4\,a\,c - {b^2}}}{{4\,a}}\]

Rekonstruktion einer Parabel für gegebene Punktkoordinaten

In den folgenden Beispielen sind die gegebenen Punkte Elemente einer Parabel und die Punktkoordinaten erfüllen die Funktionsgleichung einer Parabel. Sind die drei Punkte nicht durch besondere Eigenschaften wie z. B. Nullstelle oder Scheitelpunkt ausgezeichnet, dann erfolgt die Bestimmung der gesuchten Parabelfunktion mithilfe der allgemeinen Parabelfunktion. Mit den drei Punktkoordinaten werden drei Gleichungen aufgestellt. Als unbekannte Größen haben sie den Steigungskoeffizienten, eine mögliche Verschiebung in x-Richtung und einen Schnittpunkt mit der y-Achse. Das Gleichungssystem ist für die drei Unbekannten lösbar. Gesucht ist die Parabelfunktion für die Punkte P1(−2/2), P2(−2/-3) und P3(−6/4). \[f(x) = y = a\,{x^2} + b\,x + c\] \[\begin{array}{l} (1)\quad {y_1} = a\,x_1^2 + b\,{x_1} + c\quad \Rightarrow 4\,a - 2\,b + c = 2\\ (2)\quad {y_2} = a\,x_2^2 + b\,{x_2} + c\quad \Rightarrow 4\,a + 2\,b + c = - 3\\ (3)\quad {y_3} = a\,x_3^2 + b\,{x_3} + c\quad \Rightarrow 36\,a + 6\,b + c = 4 \end{array}\] Mit den Gleichungen (2) − (1) errechnet sich b zu: \[(2) - (1)\quad 4\,b = - 5\quad \Rightarrow b = - \frac{5}{4}\] Mit den Gleichungen (3) − (2) und Einsetzen von b errechnet sich a zu: \[(3) - (2)\quad 32\,a + 4\,b = 7\quad \Rightarrow 32\,a = 7 + \frac{{20}}{4}\quad \Rightarrow a = \frac{3}{8}\] Mit dem Einsetzen von a und b in Gleichung (1) wird c errechnet: \[4\,a - 2\,b + c = 2\quad \Rightarrow \frac{{4 \cdot 3}}{8} - \frac{{2 \cdot ( - 5)}}{4} + c = 2\quad \Rightarrow c = - 2\] Die gesuchte Parabelfunktion lautet je nach Schreibweise der Koeffizienten: \[f(x) = \frac{3}{8}{x^2} - \frac{5}{4}x - 2\quad \quad f(x) = 0,375\,{x^2} - 1,25\,x - 2\]

Im zweiten Beispiel sind zwei unterschiedliche Nullstellen und der Koeffizient a ≠0 (Streckungsfaktor) gegeben. Die gegebenen Werte sind N1(1/0) und N2(9/0) sowie a = 0,5. Diese Werte in die allgemeine Parabelfunktion eingesetzt ergeben zwei Bestimmungsgleichungen für die noch unbekannten Größen b und c. \[\begin{array}{l} (1)\quad 0 = 0,5 \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c\quad \Rightarrow b + c = - 0,5\\ (2)\quad 0 = 0,5 \cdot {9^2} + b \cdot 9 + c\quad \Rightarrow 9\,b + c = - 40,5 \end{array}\] Mit den Gleichungen (2) − (1) wird b errechnet. Mit dem Einsetzen dieses Werts in Gleichung (1) wird c errechnet. \[(2) - (1)\quad 9 \cdot b - b = - 40,5 + - 0,5\quad \Rightarrow b = - 5\quad \] \[ - 5 + c = - 0,5\quad \Rightarrow c = 4,5\] Für die rekonstruierte Parabelfunktion ergibt sich somit: \[f(x) = 0,5\,{x^2} - 5\,x + 4,5\]

Für das letzte Beispiel sind die Nullstellen mit N1(2/0) und N2(-5/0) gegebenen und als weitere Größe muss der Streckungsfaktor oder der y-Achsenabschnitt bekannt sein. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat die Koordinaten S(0/4). Ein Polynom 2. Grades mit Linearfaktoren geschrieben hat die Form: \[f(x) = y = a\,(x - {x_{N1}})(x - {x_{N2}})\] Die Koordinaten von S erfüllen die Funktionsgleichung. Mit dem Einsetzen von x = 0 und y = 4 wird der noch fehlende Streckungsfaktor a berechnet: \[4 = a\,(0 - 2)(0 - ( - 5))\quad \Rightarrow a = - 0,4\] Nach dem Einsetzen aller bekannten Werte in die Ausgangsgleichung und Auflösen der Klammern ergibt sich die gesuchte Parabelfunktion: \[\begin{array}{l} f(x) = - 0,4\,(x - 2)(x + 5) = - 0,4\,({x^2} + 3x - 10)\\ f(x) = - 0,4\,{x^2} - 1,2\,x + 4 \end{array}\]

Ist für die Rekonstruktion einer Parabel nur der Scheitelpunkt bekannt, kann mithilfe der Scheitelpunktsform die Funktionsgleichung für den Streckungsfaktor a = 1 erstellt werden. Alle anderen Parabeln mit gleichem Scheitelpunkt benötigen die Angabe des Koeffizienten für das quadratische Glied.

Parabolspiegel

In der kommerziellen Empfangs- und Sendetechnik werden oft Parabolantennen verwendet. Die Form der heimischen Empfangsantenne, als Satellitenschüssel bezeichnet, kann durch eine Parabelgleichung beschrieben werden, auch wenn es nicht direkt zu erkennen ist. Eine im rechtwinkligen Achsenkreuz abgebildeten Parabelfunktion hat in ihrem Scheitelpunkt eine vertikale Symmetrieachse. Bei der Rotation um diese Achse entsteht im Raum das Rotationsparaboloid der Parabel. Die zur Rotationsachse parallel ausgerichteten violetten Strahlen, die auf die Innenfläche des Paraboloids auftreffen, werden zum Brennpunkt reflektiert.

Brennpunkt einer Parabel mit Leitstrahl

Geometrisch kann die Parabel als die Menge aller Punkte beschrieben werden, die von einer gegebenen Leitgeraden (grün) und dem Brennpunkt F gleich weit entfernt sind. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt mittig zwischen der Leitgeraden und dem Brennpunkt. Die Tangente am Parabelpunkt P halbiert den Winkel zwischen dem Lot der Tangente von P auf die Leitlinie und der Strecke von P nach F. Die Lage des Brennpunkts oder Brennweite ist von der Streckung der Parabel abhängig.

In der Skizze hat die Parabel die Funktionsgleichung \(f(x) = a\,{x^2}\). Die Tangente im Punkt P(x,y) hat die Funktionsgleichung \(t(x) = m\,x + n\). Die Steigung in P beträgt m = 1. Der Punkt P erfüllt mit seinen Koordinaten beide Funktionsgleichungen: \(f(x) = t(x)\quad \Rightarrow a\,{x^2} = x + n\). Für die quadratische Gleichung kann mithilfe der p-q-Formel x berechnet werden: \[{x^2} - \frac{1}{a}x - \frac{n}{a} = 0\] \[{x_{1,2}} = \frac{1}{{2\,a}} \pm \sqrt {\frac{1}{{4\,{a^2}}} + \frac{n}{a}} \] Wird für den Wurzelterm null gesetzt, dann gibt es für x1 nur eine Lösung, die in die Parabelfunktion eingesetzt mit y1 die Koordinaten des Brennpunkts F liefert: \[{x_1} = \frac{1}{{2\,a}}\quad {y_1} = a{\left( {\frac{1}{{2\,a}}} \right)^2}\quad \Rightarrow F\left( {0\,,\,\frac{1}{{4\,a}}} \right)\] Mit dem null gesetzten Wurzelterm kann n berechnet werden: \[\sqrt {\frac{1}{{4\,{a^2}}} + \frac{n}{a}} = 0\quad \frac{1}{{4\,{a^2}}} + \frac{n}{a} = 0\quad \Rightarrow n = - \frac{1}{{4\,a}}\]

Die Skizze zeigt, dass der parallel zur Symmetrieachse einfallende violette Strahl auf die Parabel im Punkt P waagerecht zum Brennpunkt reflektiert wird. Dort hat die Tangente die Steigung m = 1. Der y-Achsenabschnitt der Tangente ist n und liegt ebenso weit vom Scheitelpunkt der Parabel entfernt wie der Brennpunkt. Die Brennweite der Parabel ist \(f = \frac{1}{{4\,a}}\).

Offsetantenne

Die Ausschnittsfläche aus einem Paraboloid kann als Offsetantenne bezeichnet werden. Die Verbindungskurve zwischen zwei gegenüberliegenden Außenpunkten durch den tiefsten Punkt der Form erfüllt eine Parabelfunktion. Lichtstrahlen, akustische Wellen und elektromagnetische Funkwellen weit entfernter Quellen verlaufen bezogen auf die Öffnung der Parabolantenne nahezu parallel zueinander. Ist die Symmetrieachse dieser Antenne auf den Sender ausgerichtet, dann fokussiert die Antenne die Signale in ihrem Brennpunkt auf den dort angebrachten Empfangskopf.

Die heimischen TV-Satellitenantennen sind Ausschnitte einer Parabolantenne und werden als Offsetantenne bezeichnet. Die Ausrichtung der Antenne zur Sendequelle hat einen Offsetwinkel um 25 Grad und der LNB-Empfangskopf ist mit diesem Winkel eher außerhalb zur Ausschnittsfläche montiert. Er liegt somit im Brennpunkt aber nicht im auswertbaren Strahlenbereich. Die Ausrichtung der Antenne zur Sendequelle ist weniger steil. Die Grafik zeigt die prinzipiellen Verhältnisse für eine Offsetantenne und eine Beispielrechnung für die Lage des LNB oberhalb des Scheitelpunktes.

Offsetantenne als Parabolsegment

Die Offsetantenne soll einen Durchmesser von 0,8 m haben. Der Abstand vom oberen Rand zum tiefsten Punkt, dem Scheitelpunkt der Parabel beträgt 0,16 m. Der Streckungsfaktor a kann mit den Punktkoordinaten P(0,4 / 0,16) berechnet werden: \(f(x) = a\,{x^2}\quad a = \frac{{0,16}}{{{{0,4}^2}}}{m^{ - 1}}\quad a = 1\,{m^{ - 1}}\). Mit diesem Wert, eingesetzt in die Formel zur Brennweite f, wird der Abstand des LNB-Empfangsmoduls oberhalb des Scheitelpunkts bekannt: \(f = \frac{1}{{4\,a}}\quad f = \frac{1}{4} = 0,25\,m\).