Die Winkelfunktionen des rechtwinkligen Dreiecks

In der Wechselstrom- und Nachrichtentechnik werden Signale mathematisch oftmals durch Winkelfunktionen beschrieben. Die Wechselstromkurve mit sinusförmigem Verlauf entsteht bei der Rotation einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld. Die Berechnung von Wechselstromgrößen gemischter Schaltungen ist nur mit Winkelfunktionen möglich. Werden Zeiger oder die komplexe Zahlenebene benutzt, so sind auch dort die Winkelfunktionen ein fester Bestandteil.

Der Teil der Mathematik, der die Berechnung ebener Dreiecke mithilfe von Winkelfunktionen durchführt, wird Trigonometrie genannt. Die Grundlage aller Berechnungen ist dabei das rechtwinklige Dreieck. Die schiefwinkligen Dreiecke lassen sich durch das Fällen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Alle Winkelfunktionen haben keinen algebraischen Charakter, sie werden als transzendente Funktionen bezeichnet. Diese Seite umfasst folgende Thematik:

Stimmen zwei rechtwinklige Dreiecke in einem ihrer spitzen Winkel überein, so sind sie einander ähnlich. Das Verhältnis zweier entsprechender Seiten ist konstant und nur vom Winkel abhängig, es ist also eine Winkelfunktion. Die festgelegten Bezeichnungen lassen sich aus der Skizze entnehmen.

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Um Funktionen im rechtwinkligen Achsenkreuz darzustellen, geht man am besten vom Einheitskreis aus, dessen Radius die Länge r=1 hat. Der nach rechts weisende waagerechte Radius, die mathematische x-Achse, wird als Bezugs- oder Nullrichtung festgelegt. Für die Sinus- und Cosinusfunktion dreht man diesen Radius entgegen dem Uhrzeigersinn um einen Winkel φ. Für jeden Drehwinkel erhält man einen Punkt P auf der Kreislinie. Das Lot von diesem Punkt auf die Nullrichtung ist die Gegenkathete b zum Drehwinkel. Die Projektion des gedrehten Radius auf die Nullrichtung ist die Ankathete a des Winkels. Da der Radius als Hypotenuse festgelegt die Länge 1 hat, ist die Maßzahl der Gegenkathete gleich dem Sinus des Winkels und die Maßzahl der Ankathete gleich dem Cosinus dieses Winkels. Auf der y-Achse des Koordinatensystems werden die Maßzahlen abgetragen. Die Teilung der x-Achse kann im Winkelmaß oder im Bogenmaß erfolgen, wobei 2·π = 360° entsprechen.

Winkelfunktionen im Kreis- und Liniendiagramm dargestellt

Zur Konstruktion der Tangensfunktion aus dem Einheitskreis zeichnet man im Endpunkt des Radius in seiner Nullrichtung die Tangente an den Kreis. Der Radius wird um den Winkel φ aus der Nullrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Der gedrehte Radius wird über den Punkt P hinaus bis zum Schnittpunkt mit der Tangente verlängert. Im gelben rechtwinkligen Dreieck ist der dabei entstandene Tangentenabschnitt b die Gegenkathete zum Drehwinkel. Da der Radius in Nullrichtung als Ankathete die Länge 1 hat, entspricht die Maßzahl des Tangentenabschnitts dem Tangens des Winkels.

Zur Konstruktion der Cotangensfunktion wird parallel zur Nullrichtung die Tangente an den Einheitskreis gelegt. Der um den Winkel φ gedrehte Radius wird über P hinaus bis zum Schnittpunkt mit dieser Tangente verlängert. Im grauen rechtwinkligen Dreieck ist der Tangentenabschnitt a die Ankathete zum Drehwinkel, während der zur Nullrichtung senkrecht stehende Radius die Gegenkathete mit der Länge 1 ist. Damit entspricht die Maßzahl dieses Tangentenabschnitts dem Cotangens des Winkels.

Werden diese Operationen für alle Winkel von 0° ... 360° vorgenommen, so ergeben sich die Kurvenzüge der vier wichtigen Winkelfunktionen. Da bei ähnlichen Dreiecken immer das Verhältnis zweier entsprechender Strecken gleich ist, kann die Tangens- und Cotangensfunktion auch aus einem Verhältnis der Sinus- und Cosinusfunktion hergeleitet werden.

Winkelbeziehungen

Für Winkelwerte von 0° bis 90° ist das Ergebnis der Winkelfunktionen immer positiv. Werden alle Winkel des Vollkreises durchlaufen, so können sich die Vorzeichen für den jeweiligen Quadranten ändern. Nach 360° ist eine volle Periode durchlaufen und der Vorgang wiederholt sich. Winkelfunktionen beliebig großer Winkel berechnen sich aus dem Restwinkelwert, der nach Abzug eines ganzzahligen Vielfachen von 360° bleibt.

Qu. Winkelbereich Sinus Cosinus Tangens Cotangens
I.    0° ... 90° pos pos pos pos
II.  >90° ... 180° pos neg neg neg
III. >180° ... 270° neg neg pos pos
IV. >270° ... 360° neg pos neg neg

Der Komplementwinkel

Die Winkelsumme beträgt in jedem Dreieck 180°. Im rechtwinkligen Dreieck ist einer davon immer 90°. Zieht man von einem Dreieckswinkel den 90° Winkel ab, so erhält man den Komplementwinkel. Wechselt man von einem Winkel zum Komplementwinkel, so muss man von der Winkelfunktion zur Cofunktion wechseln. Die Namen Cosinus und Cotangens leiten sich von 'complementi sinus (tangens)' ab.

Komplementwinkel

Ergebnistabelle spezieller Winkelwerte

Einfach zu merkende Funktionswerte

Zum schnellen Zeichnen des Kurvenverlaufs der Winkelfunktionen sind die nebenstehenden fünf Funktionsergebnisse hilfreich. Sie leiten sich aus einem gleichschenklig, rechtwinkligen Dreieck für den Winkel von 45° sowie aus einem gleichseitigen Dreieck für die Winkel 30° sowie 60° her. Dazu kommen noch die Werte für die Winkel 0° und 90°. Die Herleitung der Ergebnisse ist aus der folgenden Skizze ersichtlich.

Herleitung der einfachen Winkelfunktionswerte

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Beziehungen zwischen den Funktionen desselben Winkels

Hat die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks die Längeneinheit 1, so lassen sich die Kathetenlängen durch die Maßzahlen des Winkels ersetzen. Der Satz des Pythagoras kann dann für die Sinus- und Cosinusfunktion in der nachstehenden Form geschrieben werden. Mit den oben gezeigten Verhältnissen der Tangens- und Cotangensfunktion leiten sich die anderen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen her.

Winkelbeziehungen untereinander

Diese Winkelbeziehungen lassen sich übersichtlich darstellen. Bei Winkelwerten über 90° sind die Vorzeichen der Winkelfunktionen für die einzelnen Quadranten zu beachten.

Gegenseitige Winkelbeziehungen

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Additionstheoreme - Funktionen zusammengesetzter Winkel

In der Nachrichtentechnik setzen sich die Signale aus vielen sinusförmigen Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen und Amplituden zusammen, die zueinander noch phasenverschoben sein können. Die Einzelsignale können sich additiv oder subtraktiv zum Gesamtsignal überlagern. Das Ergebnis kann ein Schwebungston, Musik oder Sprache sein. Bei der multiplikativen Signalüberlagerung erhält man Modulationsprodukte mit ganz anderen Eigenschaften. Zur mathematischen Herleitung dieser Vorgänge benötigt man bei der Zusammenfassung und Umstellung der Funktionsgleichungen die Additionstheoreme der Winkelfunktionen.
  • Das nebenstehende Ausklammern oder Ausmultiplizieren ist verboten:    sinα + sinβ ≠ sin(α + β)

Das Bild zeigt die grafische Herleitung für zwei Additionstheoreme. Durch geeignetes Ersetzen und Umstellen der Gleichungen lassen sich die anderen Beziehungen daraus herleiten. So gilt: (α−β)=(α+(−β)) sowie sin(−β)=−sinβ und cos(−β)=cosβ. Die Tangens- und Cotangensfunktionen werden durch die Verhältnisgleichungen mit Sinus und Cosinus beschrieben.

Additionstheoreme grafisch dargestellt

Formeln der Additionstheoreme

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Trigonometrische Funktionen des doppelten Winkels

Wird die Sinusfunktion des einfachen Winkels f(φ)=sinφ als Grundwelle bezeichnet, dann hat die Sinusfunktion des doppelten Winkels g(φ)=sin2φ die doppelte Frequenz und ist somit die erste Oberwelle. Die Funktionen lassen sich recht einfach aus den Additionstheoremen herleiten, wobei dann für die Winkel α=β gesetzt wird.

Funktionen des doppelten Winkels

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Summen und Differenzen einiger Winkelfunktionen

In den Additionstheoremen kommen Summen und Differenzen verschiedener Winkelfunktionen vor. Mit ihrer Hilfe lassen sich die Summen und Differenzen gleicher Winkelfunktionen herleiten. Das wird an einem Beispiel gezeigt, während für einige andere Sinus- und Cosinusfunktionen nur das Ergebnis angegeben wird. Die Tangens- und Cotangensfunktionen sind in der Elektronik nicht so interessant und erscheinen daher hier nicht.

Summe und Differenz von Winkelfunktionen

Additionstheorem mit unterschiedlichen Amplituden der Winkelfunktionen

In den mathematischen Formelsammlungen sind die Amplituden der Ausgangswinkelfunktionen stets 1. In der Praxis kommt das seltener vor. Sucht man eine Gesamtformel nach dem Additionstheorem für zwei Winkelfunktionen mit unterschiedlichen Amplituden, so kommt man mit einem mathematischen Trick ans Ziel. Das Ergebnis einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man sie um einen Ausdruck additiv erweitert, der sogleich subtrahiert wird. Beide Ausdrücke werden notiert, dann wird die so erweiterte Gleichung umgeformt.

Additionstheorem bei unterschiedlichen Amplituden

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Die Produkte einiger Winkelfunktionen

In den Summenformeln sind Produkte der Winkelfunktionen enthalten. Zum gewünschten Ergebnis kommt man auch hier durch geeignetes Ersetzen und Umformen. Ein Lösungsweg wird vorgestellt, einige weitere Ergebnisse werden nur aufgeführt.

Produkte von Winkelfunktionen

Dieses Kapitel scheint sehr theoretisch und in der Praxis unnötig zu sein. Bei bekannten Winkelwerten kann man sehr leicht mit einem Taschenrechner für jeden konkreten Fall die Summe, Differenz oder das Produkt direkt ermitteln. Die vorgestellten Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen sind hilfreich bei der Umformung und Vereinfachung von Gleichungen mit Winkelfunktionen.

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Funktionsreihen

Funktionsreihen der Sinus-Ersatzfunktionen
Die transzendenten Funktionen, hier die dargestellten Winkelfunktionen, lassen sich mathematisch auch durch ganze rationale Funktionen beschreiben. Das soll hier nur exemplarisch vorgestellt werden. Betrachtet man den Kurvenverlauf der Sinusfunktion, so stellt man fest, dass sich der Bereich des Nulldurchgangs durch eine lineare Ersatzfunktion beschreiben lässt. Ein Teil der folgenden Krümmung entspricht einer Funktionsgleichung der dritten Potenz. Mit einer weiteren Ersatzfunktion noch höherer Potenzen kann die Sinuskurve bis zum Winkel von 90° sehr genau beschreiben werden.

Die Winkelfunktionen lassen sich durch numerische Reihen beschreiben, in denen der x-Wert in immer höheren Potenzen auftritt. Diese Reihen werden als Potenzreihen bezeichnet. Sind in elektronischen Rechenmaschinen die Funktionswerte der transzendenten Funktionen nicht im ROM-Speicher abgelegt, so werden die Ergebnisse nach diesen Potenzreihen ermittelt.

Potenzreihen