Informations- und Kommunikationstechnik

Kenndaten periodischer Signale

In der Elektronik gibt es viele periodische Signale, die keinen sinusförmigen Verlauf haben, sich aber eindeutig durch eine Reihe bestimmter Werte beschreiben lassen. Die Signalform ist durch ihren zeit- oder winkelabhängigen Verlauf gekennzeichnet. Einfache Signalformen sind durch ihre Namen gekennzeichnet, wie es die folgenden Beispiele zeigen.

Zeitdiagramme periodischer Signale

Periodendauer

Ein periodischer Signalverlauf wiederholt sich in gleicher zeitlich regelmäßiger Abfolge. Die Periodendauer ist die Zeit einer vollständigen Schwingung, die zur kompletten Signaldarstellung notwendig ist. Sie hat das Formelzeichen T mit der Maßeinheit s für Sekunde.

Frequenz

Die Frequenz eines periodischen Signals errechnet sich aus dem Kehrwert der Periodendauer. Der Formelbuchstabe ist f. Die Maßeinheit das Hertz in Hz = s−1.

Amplitude

Bei periodischen Signalen ist der Momentanwert der Signalamplitude innerhalb einer Periode nicht konstant. Zur Signalbeschreibung wird der Spitze-Tal-Wert, auch als Spitze-Spitze-Wert bekannt, uss oder iss benutzt. Verlaufen die Signale zur Nulllinie symmetrisch, können sie auch durch den einfachen Spitzenwert beschrieben werden. Das Formelzeichen wird mit dem Dachzeichen als û für us oder î anstelle von is gekennzeichnet.

Gleichwert oder arithmetischer Mittelwert

Der arithmetische Mittelwert errechnet sich aus der Summe aller Teilgrößen, dividiert durch die Anzahl der Teilwerte. Soll der Wert grafisch bestimmt werden, so unterteilt man bei periodischen Signalen den Zeitraum einer Periode in möglichst viele Teilabschnitte und bestimmt die zugehörigen Momentanwerte. Die Summe aller Momentanwerte unter Berücksichtigung ihrer Vorzeichen wird durch die Anzahl der Summanden geteilt.

Gleichwert-Formeln

Mathematisch wird die Fläche unter der Kurve für eine Periode durch Integration der Funktionsgleichung in den Grenzen von 0 bis T bestimmt. Das Ergebnis entspricht der DC, Gleichspannung/Gleichstrom-Komponente des Signals.

Sinusspannung

Das Bild zeigt ein zu null symmetrisches Sinussignal, dessen Gleichanteil nach der Summationsmethode für eine halbe Periode bestimmt wurde. Die zweite Halbperiode hat den gleichen aber negativen Summenwert. Ein periodisches, zur Nulllinie symmetrisches Signal hat folglich keinen Gleichanteil.

Nach DIN 40110 liegt eine Wechselgröße vor, wenn der arithmetische Mittelwert gleich null ist.
Ein Mischsignal kann immer in eine Wechselgröße und einen Gleichanteil zerlegt werden.

Gleichrichtwert

Der Gleichrichtwert eines Signals ist sein absoluter arithmetischer Mittelwert. Bei seiner Bestimmung werden nur die absoluten und damit vorzeichenlosen Beträge addiert und durch die Anzahl der Summanden dividiert. Der Gleichrichtwert des Signals steht für seine mittlere Gleichspannung oder den mittleren Gleichstrom. Er wird auch elektrolytischer Mittelwert genannt. Der Gleichrichtwert eines sinusförmigen Strom gibt an, welcher Gleichstromwert dieselbe Ladungsmenge im betrachteten Zeitraum transportiert.

Gleichrichtwert-Formeln

Die folgende Skizze zeigt die Herleitung des Gleichrichtwerts für eine sinusförmige Spannung. Der hellblaue und grüne Flächeninhalt muss identisch sein. Bei der Zweiweggleichrichtung werden beide Sinushalbwellen berücksichtigt. Bei der Einweggleichrichtung wird pro Periode nur der Flächeninhalt einer Halbwelle erfasst. Der Gleichrichtwert ist bei der Einweggleichrichtung einer Sinusgröße ist halb so groß.

Zweiweggleichrichtung mit Formeln

Effektivwert

Der Effektiv- oder RMS-Wert (root mean square) ist der quadratische Mittelwert eines periodischen Signals. Er ist der leistungswirksame Wert eines periodischen Signals und direkt vergleichbar mit den Gleichgrößen von Spannung und Strom, die am ohmschen Widerstand die gleiche elektrische Energie und im zeitlichen Mittel dieselbe elektrische Leistung umsetzen. Als Formelzeichen U oder Ueff, wobei der Index meistens nicht geschrieben wird.

Spannungs- und Leistungskurve

Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung und Strom. Im Zeitdiagramm verläuft die Leistungskurve für symmetrische Sinuskurven von Spannung und Strom nur im positiven Bereich und hat die doppelte Frequenz. Mathematisch errechnet sich der Effektivwert aus der Quadratwurzel des Mittelwerts der Leistungskurve über eine Periode. Der Effektivwert ist vom Scheitelwert und von der Kurvenform abhängig.

Formeln zum Effektivwert

Der Wert kann auch grafisch durch die Methode des Auszählens der Flächen bestimmt werden. Aus dem so bestimmten Wert wird die Quadratwurzel gezogen. Die folgenden Bilder zeigen Beispiele zur Ermittlung des Effektivwertes nichtsinusförmiger periodischer Signale.

Flächen im symmetrischen Rechtecksignal

Für ein zur Nullachse symmetrisches Rechtecksignal erhält man das Ergebnis auch durch folgende Überlegung. Der Signalverlauf der ersten Halbperiode ist vergleichbar mit einer Gleichspannung der Größe +û. Die zweite Halbperiode entspricht einer Gleichspannung mit dem Wert −û. Für die am Wirkwiderstand umgesetzte Leistung ist die Polarität der Spannung und des daraus resultierenden Stromes gleichgültig. Bei diesem Rechtecksignal liegt immer der absolute Spannungswert û an. Dieser Wert ist gleich dem hergeleiteten Effektivwert.

Das folgende Beispiel einer Rechteck-Mischspannung liefert den gleichen Effektivwert wie eine zur Nullachse symmetrische Sinusspannung. Ein Multimeter im AC-Messbereich zeigt einen abweichenden Wert an, da die Skalen der meisten Messgeräte nur für Effektivwerte sinusförmiger Signale geeicht sind.

Flächen im digitalen Rechtecksignal

Ein dreieckförmiges Signal kann in einzelne Funktionsabschnitte mit positiver und negativer Steigung unterteilt werden. Beim zeitsymmetrischen Dreieck sind die einzelnen Flächenteile gleich. Das ist aus dem Kurvenverlauf erkennbar, kann aber auch durch die bestimmten Integrale gezeigt werden. Zur Berechnung des Effektivwerts genügt es daher über den ersten Kurvenabschnitt zu integrieren und mit 4 zu multiplizieren.

Dreiecksignal mit Formeln

Die folgenden Herleitungen zeigen, dass die Effektivspannung für Sägezahnsignale identisch mit der für Dreiecksignale ist.

Sägezahnsignal mit Formeln

Scheitelfaktor oder Crestfaktor

Scheitelfaktor

Das Verhältnis des Spitzenwerts zum Effektivwert wird als Scheitelfaktor oder Crestfaktor bezeichnet. Er wird durch das Formelzeichen ξ (xi, griechischer Kleinbuchstabe) bezeichnet. Bei sinusförmigen Signalen hat der Scheitelfaktor den Wert √2 = 1,414.

Formfaktor

Dreheisenmessgeräte zeigen stets den richtigen Effektivwert einer Wechselgröße an, sind aber nur für niedrige Frequenzen geeignet. Drehspulmessgeräte mit Messgleichrichter wurden ursprünglich für die Anzeige des Effektivwerts rein sinusförmiger Größen geeicht. Sie erfassen den Gleichrichtwert oder Betragsmittelwert des Signals und beziehen einen Formfaktor mit ein. Der Formfaktor ist von der Kurvenform abhängig und das Messgerät kann nur die Kurvenform richtig anzeigen, auf die es geeicht ist.

Formfaktor

Der Formfaktor F ist das Verhältnis zwischen Effektivwert und Gleichrichtwert. Der Wert für Sinusgrößen beträgt F = 1,11. Beim symmetrischen Rechtecksignal ist F = 1 und das Signal einer Sinus-Einweggleichrichtung liefert F = 1,571. Messgeräte mit elektronischen Rechenschaltungen können aus unterschiedlichen Signalen den Effektivwert ermitteln und somit den Messwert signalunabhängig richtig anzeigen.

Impulsgrößen

Rechtecksignale und andere Impulse mit steilen Flanken erreichen ihre Maximalwerte nicht sogleich. Die Flankenanstiege verlaufen nicht rechtwinklig zur Zeitachse. Es vergehen bestimmte Zeiten, die am Oszilloskop bei geeigneter Dehnung der Zeitachse darstellbar sind. Einige Parameter sind genormt und werden besonders benannt. Die folgende Skizze zeigt alle wichtigen Benennungen.

Kenndaten eines Impuls
Impulsdach
Als Impulsdach wird der Bereich zwischen (90 ... 100)% der Maximalamplitude bezeichnet.
Anstiegzeit
Rise time tr ist die Zeitdifferenz der Vorderflanke zwischen 10% bis 90% der Maximalamplitude.
Abfallzeit
Fall time tf ist die Zeitdifferenz der Rückflanke zwischen 90% bis 10% der Maximalamplitude.
Impulsdauer
Pulszeit ti ist die Zeit zwischen Vorder- und Rückflanke bei 50% der Maximalamplitude.
Tastgrad g
Nach DIN IEC 469 ist es das Verhältnis von Impulsdauer ti zur Pulsperiodendauer T.
Tastverhältnis V
Es ist der Kehrwert des Tastgrads g und somit die Pulsperiodendauer dividiert durch Impulsdauer.
Impulspausendauer
Pausenzeit tp ist die Pulsperiodendauer abzüglich der Impulsdauer bei 50% der Maximalamplitude.
Flankensteilheit S
Sie ist das Verhältnis der Amplitudenänderung innerhalb einer Zeitspanne. Bei einem nichtlinearen Flankenverlauf werden die Bestimmungswerte zwischen 10% und 90% der Signalamplitude abgelesen. Ein positiver Wert bezeichnet die Vorderflanke. Eine negative Flankensteilheit steht für die Rückflanke.