Reihenschaltung realer Wirkwiderstände

Die elektrische Spannung verursacht im geschlossenen Stromkreis einen elektrischen Strom. Bei gegebener Spannung ist der maximale Stromfluss, die Stromstärke von der Eigenschaft der angeschlossenen Baugruppe (Verbraucher) abhängig. Diese Eigenschaft wird als Widerstand oder Leitfähigkeit bezeichnet. Beide Größen stehen zueinander im umgekehrten, reziproken Verhältnis. Ein großer Leitwert entspricht einem kleinen Widerstandswert.

Bei konstanter Spannung ist die Stromstärke umgekehrt proportional zum Widerstandswert.
Bei konstanter Spannung ist die Stromstärke proportional zur Leitfähigkeit.

Wird ein langer Widerstandsdraht gedanklich oder praktisch in einzelne Teilstücke geteilt, die sehr gut leitend hintereinander wieder verbunden werden, so entsteht eine Reihenschaltung von Widerständen. Ist diese Reihenschaltung an eine Spannungsquelle angeschlossen, so fließt elektrischer Strom der vom Gesamtwiderstandswert der Schaltung bestimmt ist. Wird der Strom zwischen den Teilwiderständen gemessen, so ist er an allen Stellen gleich. Die Teilspannungen verhalten sich proportional zu den Werten der Teilwiderstände. Die Summe aller Teilspannungen ist gleich der angelegten Spannung.

Im folgenden Beispiel lassen sich die Werte von drei in Reihe geschalteten Widerständen umschalten. Angezeigt werden der Strom zwischen den Verbindungen und die Spannungen an den Widerständen. Es zeigt sich, dass der Strom überall gleich bleibt und die Teilspannungen sich proportional mit den Widerstandswerten ändern.
1. Beispiel 2. Beispiel 3. Beispiel

Die Teilspannungen errechnen sich für jeden Widerstand mithilfe des ohmschen Gesetzes: \[{U_1} = {R_1} \cdot I\quad {U_2} = {R_2} \cdot I\quad {U_3} = {R_3} \cdot I\] Die Summe aller Teilspannungen ist gleich der anliegenden Gesamtspannung: \[U = {U_1} + {U_2} + {U_3} = I\,({R_1} + {R_2} + {R_3})\] Die Verhältnisse der Teilspannungen entsprechen denen der zugehörigen Teilwiderstände, da sich der Strom herauskürzt: \[\frac{{{U_1}}}{{{U_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\quad \frac{{{U_1}}}{{{U_3}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_3}}}\quad \frac{{{U_2}}}{{{U_3}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_3}}}\]

Zusammenfassend kann jede Reihenschaltung durch die folgenden Punkte beschrieben werden. Der erste Punkt steht vereinfacht für die zweite Kirchhoffsche Regel, die als Maschenregel bezeichnet wird.

In einer Reihenschaltung ist die Summe der Teilspannungen gleich der angelegten Spannung.
Widerstände liegen dann in Reihe, wenn sie vom gleichen Strom durchflossen werden.
In einer Reihenschaltung errechnet sich der Wert des Gesamtwiderstands als Summe der Teilwiderstandswerte.
Das Verhältnis der Teilspannungen ist gleich dem Verhältnis der entsprechenden Widerstandswerte.

Kennliniendiagramm linearer ohmscher Widerstände

Am realen Wirkwiderstand, auch als Schaltwiderstand bezeichnet, wird in Abhängigkeit der angelegten Spannung der Strom gemessen. Die Messwerte werden grafisch in ein Strom-Spannungsdiagramm eingetragen. Die Darstellung entspricht der allgemeinen mathematischen linearen Funktion \(y = m \cdot x\), wobei x hier die Spannung U und die davon abhängige Größe y den Strom I darstellt.

Die Funktionsgleichung \(f(U) = I = G \cdot U\) ist eine Gerade, deren Steigung dem Leitwert G entspricht. Je größer die Steigung und damit der Leitwert, desto mehr Strom kann bei gegebener Spannung fließen. Leitwert und Widerstand sind reziprok zueinander. Je flacher die Kennlinie verläuft, desto größer ist der Widerstand im Stromkreis.

\[\begin{array}{l} {G_1} = \frac{{\Delta {I_1}}}{{\Delta {U_1}}}\quad {G_2} = \frac{{\Delta {I_2}}}{{\Delta {U_2}}}\\ U = {U_1} + {U_2} = I\,\left( {\frac{1}{{{G_1}}} + \frac{1}{{{G_2}}}} \right) = I\,({R_1} + {R_2})\\ R = \frac{U}{I} = {R_1} + {R_2} \end{array}\] Aus dem Kennliniendiagramm mehrerer Widerstände kann der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung grafisch bestimmt werden. Da in einer Reihenschaltung der Strom konstant ist, sind die Spannungswerte der einzelnen Kennlinien für den gewählten Strom zu addieren. Der dazu gehörende Wert der Gesamtspannung ergibt einen neuen Kurvenpunkt, der auf der (roten) Kennlinie des Gesamtleitwerts liegt. Der Kehrwert der Steigung in diesem Punkt ist der gesuchte Wert des Gesamtwiderstands.