Invertierender Operationsverstärker

Die sehr hohe Leerlaufverstärkung eines Operationsverstärkers (OPV) kann mit wenigen Ohm'schen Widerständen sehr einfach angepasst werden. Beim invertierenden OPV wird das Eingangssignal über einen Widerstand an den E− oder N-Eingang des OPVs gelegt. Das Ausgangssignal ist um 180° phasengedreht und wird über einen weiteren Widerstand direkt auf den N-Eingang zurückgekoppelt. Der E+ Eingang des OPV wird mit der Schaltungsmasse direkt verbunden. Dieser gegengekoppelte Verstärker wird als invertierender Verstärker oder Umkehrverstärker bezeichnet.

Normalerweise werden die DC-Betriebsspannungen für den OPV nicht extra eingezeichnet. Rechts ist die Ersatzschaltung gezeigt, die im Moment des Zuschaltens der Eingangsspannung die Spannungsverteilung an den Widerständen darstellt. In diesem Augenblick soll die Ausgangsspannung noch 0 V betragen. Für die Spannung am invertierenden Eingang E− gilt: \[{U_{E - }} = {U_e}\frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\] Die Arbeitsweise des Invertierers soll schrittweise nachvollzogen werden. Am Eingangswiderstand liegt eine positive Eingangsspannung Ue = 1 V und die Ausgangsspannung beträgt noch Ua = 0 V. Die Widerstände der Ersatzschaltung sind mit 10 kΩ gleich groß. Bei anliegender Eingangsspannung fließt vereinbart praktisch kein Strom in den OPV Eingang hinein. Er fließt durch R1 und weiter durch R2.

Die Ersatzschaltung wird per Simulation untersucht. Die Spannungen an den Widerständen werden in Richtung der Spannungspfeile gemessen. Die Eingangsspannung bleibt konstant und die Ausgangsspannung des invertierende OPV wird pro Schritt um Ua = −0,1 V verändert. Alle Spannungen werden gegen Masse gemessen. Nach dem ersten Schritt errechnet sich die Spannung über beide Widerstände aus der Differenz der Einzelpotenziale zu: \({U_{R1,2}} = {U_e} - {U_a} = 1\,V - ( - 0,1)\,V = 1,1\,V\). Sie wird an den gleich großen Widerständen der Ersatzschaltung zu je 0,55 V aufgeteilt. ein.

Die Tabelle zeigt die ermittelten Spannungen an. Nach einigen Durchläufen beträgt die Spannung am invertierenden Eingang gegen Masse UE−≈0 V und hat das Potenzial des nicht invertierende E+ Eingangs. Der stabile oder eingeschwungene Zustand ist erreicht. Der direkte Eingang am OPV wird als virtuelle Masse bezeichnet. Ein Operationsverstärker hat einen so hohen Eingangswiderstand, dass in guter Näherung die Eingangsströme in den OPV vernachlässigbar klein sind. Wegen der sehr hohen Differenzverstärkung ist die Differenzspannung zwischen beiden Eingängen vernachlässigbar klein. In der Simulationsmessung wurden UD = 50 μV gemessen. Alle Ströme fließen durch die Widerstände der äußeren Schaltung. Der Ausgang des OPVs kann als ideale Spannungsquelle gesehen werden.

Kenngrößen eines Invertierers

Zur Herleitung der Verstärkungsformel eines OPVs, der im Gegenkoppelzweig nur Wirkwiderständen hat, haben sich folgende Bedingungen als nützlich erwiesen:

• Die Leerlaufverstärkung des nicht beschalteten OPVs ist sehr hoch.
• Der Eingangswiderstand des OPVs ist mit einigen Megaohm sehr hoch.
• Der Eingangsstrom in den OPV ist vernachlässigbar klein.
• Der Innenwiderstand des OPVs ist sehr klein.
• Der OPV-Ausgang hat die Eigenschaft einer idealen Spannungsquelle.

\[\begin{array}{l} {I_e} + {I_a} - {I_E} = 0\quad mit\quad {I_E} \approx 0\quad \Rightarrow {I_e} = - {I_a}\\ {I_e} = \frac{{{U_e}}}{{{R_1}}}\quad und\quad {I_a} = \frac{{{U_a}}}{{{R_2}}}\\ {V_u} = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = - \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} \end{array}\] In der dargestellten Schaltung ist der Knotenpunkt K die virtuelle Masse. Wird für K die Stromsumme nach der Kirchhoff'schen Regel aufgestellt, dann ist mit den gegebenen Annahmen die Eingangsspannung über dem Widerstand R1 und die Ausgangsspannung über dem Rückkopplungswiderstand R2 messbar. Die Spannungsverstärkung ist das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsspannung und nur von den Widerstandswerten der äußeren Schaltung abhängig. Das negative Vorzeichen kennzeichnet den invertierenden Verstärker.

Die Herleitung kann ebenso mit dem Maschensatz für die Eingangs- und Ausgangsmasche erfolgen. Die Ausgangsspannung Ua ist das Produkt der Differenzspannung UeD und der Leerlaufverstärkung V0. Für die Eingangs- und Ausgangsmasche gelten: \[{U_{R1}} + {U_{eD}} - {U_e} = 0\quad \quad {U_a} - {U_{eD}} + {U_{R2}} = 0\] Für die Betriebs- und Leerlaufverstärkung gilt: \[{V_u} = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}}\quad \quad {V_0} = \frac{{{U_a}}}{{{U_{eD}}}}\] Für die Betriebsverstärkung des invertiernden OPV gilt: \[\begin{array}{l} {V_u} = - \frac{{ - {U_{R2}} + {U_{eD}}}}{{{U_{R1}} + {U_{eD}}}} = \frac{{ - {U_{R2}} + \frac{{{U_a}}}{{{V_0}}}}}{{{U_{R1}} + \frac{{{U_a}}}{{{V_0}}}}}\\ {V_0} \to \infty \quad \Rightarrow \quad \frac{{{U_a}}}{{{V_0}}} \to 0\\ {V_u} = \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = - \frac{{{U_{R2}}}}{{{U_{R1}}}}\quad \quad {V_u} = - - \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} \end{array}\] Für den nicht übersteuerten Arbeitszustand des OPVs stellt sich die Ausgangsspannung stets so ein, dass die Spannungsdifferenz zwischen UN und UP null ergibt. Die Betriebsverstärkung wird nur vom Verhältnis des Rückkoppelwiderstands zum Eingangswiderstand der äußeren Beschaltung bestimmt.

Eingangswiderstand

Aus Spannung und Strom am Eingang errechnet sich der Eingangswiderstand des beschalteten, rückgekoppelten OPVs. Der Widerstand R1 bestimmt den Eingangsstrom, belastet die angeschlossene Signalquelle und bildet somit den wirksamen Eingangswiderstand des OPVs.

Ausgangswiderstand

Im nicht übersteuerten Betriebsfall ist die Ausgangsspannung gleich dem Spannungsfall am Rückkoppelwiderstand R2. Eine Belastung der Ausgangsspannung würde die Eingangsdifferenzspannung UeD verändern. Der OPV gleicht die Änderung durch den Rückkoppelstrom I + ILast aus und hält mit seiner Leerlaufverstärkung die Eingangsdifferenzspannung auf 0 V. Diese Regelschleife funktioniert, solange der Grenzwert einen maximalen Strom nicht überschreitet. Der zulässige Laststrom liegt zwischen 20 ... 50 mA und ist im Datenblatt angegeben. Der invertierende OPV hat am Ausgang die Eigenschaft einer Spannungsquelle mit sehr kleinem Innenwiderstand.

Betriebsverstärkung

Die Betriebsverstärkung des Invertierers ist durch das äußere Widerstandsverhältnis des Rückkoppelwiderstands zum Eingangswiderstand bestimmt. Der Widerstand am invertierenden Eingang wirkt als Eingangswiderstand auf die Signalquelle und kann sie ungünstig belasten. Eine große Betriebsverstärkung kann entweder durch einen großen Widerstandswert in der Rückkopplung und oder durch einen kleinen Widerstandswert am Eingang erreicht werden. Beide Extreme sind nicht optimal. Hohe Widerstandswerte gelten als thermische Stromrauschquelle und sind empfindlicher gegen einwirkende elektrische Störungen.

Bei einer geforderten Betriebsverstärkung von V = 115 und dem Eingangswiderstand R1 = 10 kΩ muss der Rückkoppelwiderstand den Wert R2 = 1,15 MΩ haben. Die gleiche Verstärkung kann durch eine Widerstands-T-Schaltung mit kleineren Widerstandswerten erreicht werden.

Der mathematische Hintergrund wird mithilfe der Knoten- und Maschengleichungen hergeleitet. Dabei ist zu beachtet, dass der Eingangsstrom nur von einem der Zweigströme der Parallelschaltung kompensiert wird. Der andere Zweigstrom des Ausgangsstroms fließt durch den T-Zweig direkt nach Masse. Für die beiden Knoten A und B gelten die Stromsummen: \[{I_1} + {I_2} = 0\quad \quad {I_4} = {I_2} + {I_3}\] Für die Ausgangsspannung kann geschrieben werden: \[{U_a} = {I_4}\,{R_4} + {I_3}\,{R_3}\] R2 und R3 liegen zueinander parallel an der Knotenpunktspannung UB0. Es gilt folglich: \[{U_{B0}} = {I_3}\,{R_3} = {I_2}\,{R_2}\quad \Rightarrow \quad {I_3} = {I_2}\frac{{{R_2}}}{{{R_3}}}\] Für die Übertragungsfunktion gilt: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{{I_4}\,{R_4} + {I_3}\,{R_3}}}{{{I_1}\,{R_1}}}\] Durch Ersetzen der Ströme aus den Teilgleichungen, Ausmultiplizieren der Klammerausdrücke und weiteren Umformungen folgt: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = - \frac{{{R_4} + \frac{{{R_2}}}{{{R_3}}}({R_3} + {R_4})}}{{{R_1}}}\] \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = - \frac{{{R_2}\,({R_3} + {R_4}) + {R_3}\,{R_4}}}{{{R_1}\,{R_3}}}\]

Frequenzgang

In der Verstärkertechnik ist das Produkt aus Bandbreite und Verstärkungsfaktor eine charakteristische Konstante. Ausgehend von der Transitfrequenz beim Verstärkungsfaktor 1 nimmt mit zunehmender Verstärkung die Bandbreite kontinuierlich ab. Das Diagramm zeigt entsprechende Messwerte für einen Umkehrverstärker mit einer von der Frequenz unabhängigen Gegenkopplung durch rein ohmsche Widerstände. Die Transitfrequenz des OPVs hat den Wert fT = 1,5 MHz, das entspricht seiner Bandbreite bei der Spannungsverstärkung Vu = 1. Mit zunehmender Verstärkung verringert sich die Bandbreite, wobei das Bandbreite-Verstärkungsprodukt konstant ist.

Für den unbelasteten Leerlauffall gibt es eine Grenzfrequenz fg0, die bei 70,7% entsprechend −3 dB der Gleichstromverstärkung gemessen wird. Durch Beschaltung mit RC-Gliedern, manchmal sind sie im OPV integriert, wird der Frequenzgang so eingestellt, dass sich eine Verstärkungsabnahme von 6 dB/Oktave entsprechend 20 dB/Dekade einstellt. Diese Maßnahme unterdrückt ein freies Schwingen des Verstärkers.