Gleichwertige Reihen- und Parallelschaltung

Die rechnerische Bestimmung des Gesamtwiderstands einer gemischten Reihen- und Parallelschaltung, die mit ohmschen Widerständen aufgebaut ist, erfolgt schrittweise über Ersatzschaltungen. Das Verhalten der Ersatzschaltung entspricht in Bezug auf Strom, Spannung und dem Gesamtwiderstand dem anfänglichen Widerstandsnetzwerk. Im Kapitel einfache Widerstandsnetzwerke wird die Umwandlung beispielhaft ausgeführt.

Im Wechselstromkreis können Wirk- und Blindwiderstände zusammen in gemischten Reihen- und Parallelschaltungen auftreten. Zur Berechnung ist auch hier das Netzwerk auf einen Schaltungstyp zu reduzieren. Für jede gegebene Frequenz ist es möglich, Wechselstrom Reihenschaltungen in gleichwertige Parallelschaltungen und umgekehrt umzurechnen. Die Schaltungen sind nur dann gleichwertig oder äquivalent, wenn sowohl ihre Impedanz, der Gesamtwiderstandswert im Wechselstromkreis, als auch die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gleich bleibt.

In diesem Abschnitt werden die Berechnungen mithilfe der Zeigerdiagramme im rechtwinkligen, kartesischen Koordinatenkreuz vorgenommen. An anderer Stelle wird die komplexe Widerstandsberechnung einfacher und gemischter Wechselstromnetzwerke sowie äquivalenter Schaltungen unter Anwendung des Polarkoordinatensystems und der Gaußschen Zahlenebene erklärt.

Umrechnung einer RC-Reihenschaltung in ihre äquivalente Parallelschaltung.

In einer Reihenschaltung ist der Strom mit φ=0° die Bezugsgröße. Am ohmschen Widerstand gibt es keine Phasenverschiebung und der Spannungszeiger weist in Richtung des Stromzeigers. Die Spannung am Kondensator ist um φ=−90° nachlaufend zum Strom phasenverschoben. Spannungen sind direkt proportional zu den entsprechenden Widerständen, folglich können im Zeigerdiagramm die Spannungszeiger durch die entsprechenden Widerstandszeiger ersetzt werden.

Die an der Reihenschaltung anliegende Wechselspannung ist über dem Gesamtwiderstand, der Impedanz Z, messbar. Sie bildet mit dem in der Schaltung fließenden Strom einen von der Frequenz abhängigen Phasenwinkel φ. Der linke Bildteil zeigt die qualitative Zeigerdarstellung für die Widerstände.

qualitative Reihen- und Parallel-Zeigerdiagramme

In einer Parallelschaltung ist die Spannung an allen Komponenten konstant und wird als Bezugsgröße mit φ=0° gesetzt. Der Strom durch den ohmschen Widerstand ist in Phase zur Spannung. Der Strom im Kondensatorzweig eilt um φ=+90° vor. Während in einer Reihenschaltung bevorzugt mit Widerstandswerten gerechnet wird, verwendet man in der Parallelschaltung eher die Leitwerte. Der Leitwert ist der mathematische Kehrwert des Widerstands. Der Scheinleitwert oder Gesamtleitwert bildet mit dem Spannungszeiger den Phasenwinkel φ. Das zugehörige Zeigerdiagramm ist im rechten Bildteil zu sehen. Die Zeigerlängen sind nicht maßstabgerecht zu den nebenstehenden Widerstandszeigern gezeichnet. Für jede gewählte Frequenz besteht zu einer RC-Reihenschaltung eine gleichwertige RC-Parallelschaltung, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt werden:

  • Der Gesamtwiderstandswert Z, die Impedanz, beider Schaltungen ist gleich.
  • Der Phasenwinkel φ zwischen Strom und Spannung ist gleich.

Die Herleitung der Umrechnungsgleichungen für äquivalente Schaltungen wird grafisch und rechnerisch gezeigt. Das Zeigerdiagramm der Leitwerte wird an der Horizontalen gespiegelt. Beim Übereinanderlegen beider Zeigerdiagramme kommen die Widerstands- und Leitwertzeiger zur Deckung. Ebenso liegen die Zeiger der Impedanz Z und des Scheinleitwerts Y aufeinander. Der Phasenwinkel φ ist in beiden Schaltungen gleich.

Das Zeigerdiagramm der RC-Reihenschaltung bleibt unverändert. Die dazu gleichwertige Parallelschaltung hat einen ohmschen Widerstand und einen dazu parallel liegenden kapazitiven Blindwiderstand. Sie bilden das blau umrandete rechtwinklige Dreieck. Die Länge der Dreiecksgrundlinie, der Hypotenuse, ist gleich der Wurzel aus der Summe der Kathetenquadrate. Die Impedanz Z steht darauf senkrecht und entspricht der Höhe dieses Dreiecks.

qualitativ gleichwertige Reihen- und Parallel-Zeigerdiagramme

Die große blau umrandete Dreiecksfläche kann auf zwei Arten berechnet werden. Es ist zum einen die Flächensumme des grünen und gelben rechtwinkligen Dreiecks. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Hypotenuse und der darauf senkrecht stehenden Höhe. Zum anderen entspricht die Fläche des blau umrandeten Dreiecks auch der halben Fläche des Rechtecks, das von den Widerstandszeigern Rpar und XCpar aufgespannt wird. Beide Flächenbeziehungen werden gleichgesetzt und liefern den Ausdruck (1) für die Impedanz Z.

Flächenformeln aus den Zeigerdiagrammen

Die senkrechten Projektionen der Impedanz Z auf die Dreieckskatheten Rpar und XCpar des großen Dreiecks, dargestellt durch die grauen Linien, ergeben die Widerstandszeiger der RC-Reihenschaltung. Somit kann über Z die Umrechnung der Reihenschaltung in die gleichwertige Parallelschaltung erfolgen. Das Umrechnungsverfahren ist gleichermaßen für RC- und RL-Schaltungen gültig.

Der Impedanzzeiger Z ist die gemeinsame Kathete des grünen und des gelben Dreiecks. Nach dem Kathetensatz des Euklid ist in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse. Die Hypotenuse des grünen Dreiecks ist XCpar und die Projektion der Kathete Z ist Xreih. Beim gelben Dreieck ist die Hypotenuse Rpar und die Projektion der Kathete Z darauf ist Rreih. Somit lassen sich die folgenden Beziehungen schreiben:

Umrechnungsformeln für Äquivalentwiderstände

Praktisches Beispiel

An einer gemischten Wechselstromschaltung mit Parallel- und Reihenkomponenten soll die Richtigkeit der Umrechnungsformeln rechnerisch und messtechnisch nachgewiesen werden. Ein ohmscher Widerstand mit 4,7 kΩ bildet mit einer verlustfreien Spule von 100 mH eine Parallelschaltung. In Reihe dazu liegt ein 4,7 nF Kondensator. Die Betriebsfrequenz beträgt 5 kHz. Die angelegte Sinus-Wechselspannung hat 10 V. Gesucht werden der Gesamtstrom und der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung.

Der Gesamtstrom kann errechnet werden, wenn der Gesamtwiderstand Z bekannt ist. Für die gegebene Frequenz sind die jeweiligen Blindwiderstände von L und C berechenbar. Wird die Parallelschaltung in eine äquivalente Reihenschaltung umgerechnet, dann kann auch Z errechnet werden.

Beispielrechnung

Das Ergebnis kann durch eine Simulationsschaltung bestätigt werden. Der in der Schaltung zusätzliche 1Ω Widerstand dient zur indirekten Strommessung mit dem Oszilloskop (Spannungsäquivalent). Der Gesamtstrom wird vom Multimeter angezeigt. Das Oszilloskop wurde auf die Stromkurve getriggert, um den Phasenwinkel mit richtigem Vorzeichen darzustellen. Wird die gemischte Schaltung durch die gleichwertige Reihenschaltung ersetzt, so bleiben die Werte für i und φ gleich.

animierte Äquivalentschaltung mit Diagramm