Informations- und Kommunikationstechnik

Gleichwertige Reihen- und Parallelschaltung

Besteht ein Widerstandsnetzwerk nur aus ohmschen Widerständen in gemischten Reihen- und Parallelschaltungen, so kann es schrittweise in reine Reihen- oder Parallelschaltungen umgerechnet werden, um letztlich den Gesamtwiderstand zu bestimmen. Das Verhalten einer Ersatzschaltung entspricht bezogen auf Strom, Spannung und Gesamtwiderstand immer dem Ausgangsnetzwerk. Im Kapitel einfache Widerstandsnetzwerke wird die Umwandlung durch mehrfaches Umzeichnen beispielhaft dargestellt.

Ein Netzwerk im Wechselstromkreis mit Wirk- und Blindwiderständen in gemischten Reihen- und Parallelschaltungen kann auch auf einen Schaltungstyp umgerechnet werden. Jede Äquivalentschaltung gilt nur für eine bestimmte Frequenz. Die Schaltungen sind nur dann gleichwertig oder äquivalent, wenn sowohl ihre Impedanz als auch die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gleich bleiben.

In diesem Abschnitt werden die Umrechnungen mithilfe der Zeigerdiagramme im rechtwinkligen, kartesischen Koordinatenkreuz vorgenommen. Später wird die komplexe Widerstandsberechnung einfacher und gemischter Wechselstromnetzwerke sowie äquivalenter Schaltungen unter Anwendung des Polarkoordinatensystems und der Gaußschen Zahlenebene erklärt.

Äquivalente RC-Reihen- und Parallelschaltung

Für jede Reihenschaltung ist der Strom mit φ = 0° die Bezugsgröße. Am ohmschen Widerstand gibt es keine Phasenverschiebung und der Spannungszeiger weist in Richtung des Stromzeigers. Die Spannung am Kondensator ist um φ = −90° nachlaufend zum Strom phasenverschoben. Spannungen sind direkt proportional zu den entsprechenden Widerständen, folglich können im Zeigerdiagramm die Spannungszeiger durch die entsprechenden Widerstandszeiger ersetzt werden.

qualitative Reihen- und Parallel-Zeigerdiagramme

Die an der Reihenschaltung anliegende Wechselspannung ist über dem Gesamtwiderstand, der Impedanz Z, messbar. Sie bildet mit dem in der Schaltung fließenden Strom einen von der Frequenz abhängigen Phasenwinkel φ. Der linke Bildteil zeigt die qualitative Zeigerdarstellung für die Widerstände.

In jeder Parallelschaltung ist die an allen Komponenten konstant Spannung die Bezugsgröße mit φ = 0°. Am ohmschen Widerstand ist der Strom gleichphasig zur Spannung. Im Kondensatorzweig eilt der Strom um φ = +90° der Spannung voraus. Während in einer Reihenschaltung bevorzugt mit Widerstandswerten gerechnet wird, verwendet man in der Parallelschaltung eher die Leitwerte als mathematische Kehrwerte der Widerstände. Der Scheinleitwert Y bildet mit dem Spannungszeiger den Phasenwinkel φ.In den Zeigerdiagrammen sind die Zeigerlängen nicht maßstabgerecht zu den Widerstandszeigern gezeichnet. Für jede gewählte Frequenz kann eine Reihenschaltung in eine gleichwertige Parallelschaltung umgerechnet werden, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt werden:

Die Impedanz Z beider Schaltungen ist gleich.
Der Phasenwinkel φ zwischen Strom und Spannung ist gleich.

Die Umrechnungsgleichungen für äquivalente Schaltungen werden nachfolgend grafisch und rechnerisch hergeleitet. Das Zeigerdiagramm Parallelschaltung mit den Leitwerten wird an der Horizontalen gespiegelt und auf das Zeigerdiagramm der Reihenschaltung gelegt. Dabei kommen die Widerstands- und Leitwertzeiger zur Deckung und die Zeiger der Impedanz Z und des Scheinleitwerts Y liegen aufeinander. Der Phasenwinkel φ bleibt in beiden Fällen gleich.

Das Zeigerdiagramm der RC-Reihenschaltung bleibt unverändert. Die Leitwerte der Parallelschaltung werden in Widerstandswerte umgerechnet und bilden das blau umrandete rechtwinklige Dreieck. Die Länge der Dreiecksgrundlinie (Hypotenuse) ist gleich der Wurzel aus der Summe der Kathetenquadrate. Die Impedanz Z steht darauf senkrecht und entspricht der Höhe dieses Dreiecks.

gleichwertige Zeigerdiagramme

Die Zeiger der Parallelwiderstände bilden ein Rechteck, dessen Diagonale sich wie angegeben berechnen lässt. Senkrecht darauf steht die Impedanz Z, die Höhe des großen Dreiecks. Die Dreiecksfläche kann entweder mit der Diagonalen und der Höhe Z oder als halbe Recheckfläche berechnet werden. Durch Gleichsetzen beider Formeln folgt für die Impedanz Z der Parallelschaltung die Gl.(1):

Flächenformeln

Die senkrechten Projektionen des Impedanzzeigers Z auf die Dreieckskatheten Rpar und XCpar enden an den Widerstandszeiger der RC-Reihenschaltung. Mithilfe von Z kann die Äquivalentumrechnung zwischen einer Reihen- und Parallelschaltung erfolgen, wobei das Verfahren für RC- und RL-Schaltungen gilt.

Der Impedanzzeiger Z ist die gemeinsame Kathete des grünen und des gelben Dreiecks. Nach dem Kathetensatz des Euklid ist in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse. Die Hypotenuse des grünen Dreiecks ist XCpar und die Projektion der Kathete Z ist Xreih. Beim gelben Dreieck ist die Hypotenuse Rpar und die Projektion der Kathete Z darauf ist Rreih. Es gelten die folgenden Beziehungen:
Flächenformeln Mit diesen Formeln und der Gl.(1) für die Impedanz der Parallelschaltung lassen sich die Umrechenformeln für die Reihenwiderstände der äquivalenten Reihenschaltung berechnen.

Umrechnung einer Parallelschaltung in die äquivalente Reihenschaltung

Äquivalenzformeln

Wird die Umformung mit der Impedanzformel der Reihenschaltung durchgeführt, erhält man die Umrechenformeln für die Parallelwiderstände.

Umrechnung einer Reihenschaltung in die äquivalente Parallelschaltung

Äquivalenzformeln

Praktisches Beispiel

Rechenbeispiel

An einer R-L-C-Schaltung mit Parallel- und Reihenkomponenten sollen die hergeleiteten Umrechnungsformeln überprüft werden. Ein ohmscher Widerstand mit 4,7 kΩ bildet mit einer verlustfreien Spule von 100 mH eine Parallelschaltung. In Reihe dazu ist ein 4,7 nF Kondensator geschaltet. Die Schaltung wird mit 10 V Sinus-Wechselspannung bei der Frequenz 5 kHz betrieben. Zur rechnerischen Bestimmung des Gesamtstroms und des Phasenwinkels zur Spannung muss die Parallelschaltung in ihre äquivalente Reihenschaltung umgerechnet werden.

Im ersten Schritt werden die Blindwiderstandswerte berechnet. Für die Parallelschaltung ist die Bestimmung der Impedanz nicht notwendig, es können sogleich die Umrechnungsformeln für den äquivalenten ohmschen Reihenwiderstand und induktiven Reihenblindwiderstand angewendet werden.

Zusammen mit dem Blindwiderstand des Kondensators wird die Impedanz der gesamten Reihenschaltung berechnet. Die Bestimmung des Gesamtstroms erfolgt mit dem ohmschen Gesetz. Die Schaltung verhält sich kapazitiv und hat einen negativen Phasenwinkel. Er wird aus tan(φ), dem Verhältnis des verbleibenden Gesamtblindwiderstands zum Wirkwiderstand berechnet.

Das Ergebnis kann im Labor oder durch eine Schaltungssimulation bestätigt werden. Der Gesamtstrom wird mit einem Multimeter gemessen. Zur Bestimmung des Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung mit einem Oszilloskop ist ein zusätzlicher 1 Ω Messwiderstand notwendig. Er liefert das zum Strom proportionale Spannungsäquivalent für das Oszilloskop. Getriggert wird auf die Stromkurve. Die gemischte Schaltung und die dazu gleichwertige Reihenschaltung zeigen gleiche Messergebnisse.

Äquivalenz-Schaltung