Informations- und Kommunikationstechnik

Komplexe Widerstandsberechnung im Wechselstromkreis

Umfangreichere Widerstandsnetzwerke mit nur ohmschen Wirkwiderständen lassen sich relativ einfach mit dem ohmschen Gesetz der Reihen- und Parallelschaltung berechnen. Das Umzeichnen und Zusammenfassen ohmscher Widerstandsnetze gilt gleichermaßen für die Gleich- und Wechselstromtechnik.

In Schaltungen der Wechselstromtechnik mit zusätzlich kapazitiven und induktiven Blindwiderständen weisen Spannungen und Ströme zueinander Phasenverschiebungen auf. Sie sind bei der Berechnung des Gesamtwiderstands, der Impedanz, zu berücksichtigen. Die genaue Kenntnis und richtige Anwendung der Zeigerdiagramme liefert den Schlüssel zum Berechnungsansatz. Kombinierte LC-Widerstandsnetzwerke mit Reihen- und Parallelschaltungen der Bauteile müssen zuvor in ihre Äquivalentschaltungen umgerechnet werden. Am Ende erhält man eine reine Reihen- oder Parallelschaltung aus Blind- und Wirkwiderständen. Die Schaltungsimpedanz kann mithilfe des entsprechenden Zeigerdiagramms bestimmt werden.

Wesentlich leichter kommt man mit der komplexen Rechnung ans Ziel. Mit wissenschaftlichen Taschenrechnern gelangt man mit wenigen Tastenkombinationen schnell an das gewünschte Ergebnis. Der Anwender muss sich zuvor mit der speziellen Bedienung seines Rechners vertraut machen, da es hierfür keine Hersteller unabhängige Norm gibt. Für die Tasten R→P, P→R, teilweise POL und x→y sind die notwendigen Umrechnungsformeln fest programmiert und lassen sich direkt nutzen.

Äquivalente Schaltungen

Eine Reihenschaltung kann in ihre gleichwertige Parallelschaltung und umgekehrt umgerechnet werden. Beide Schaltungen sind genau dann äquivalent, wenn für eine bestimmte Frequenz die Impedanz und der Phasenwinkel gleich sind. Im folgenden Beispiel wird eine Reihenschaltung mithilfe der komplexen Rechnung in ihre gleichwertige Parallelschaltung umgerechnet. Ein Wirkwiderstand Rreih = 100Ω und eine Spule mit Lreih = 40 mH bilden eine Reihenschaltung. Für die Frequenz f = 800Hz sind die Bauteilwerte der dazu äquivalenten Parallelschaltung mit Rpar und Lpar gesucht.

Umrechnung einer Reihen- zur Parallelschaltung

Die komplexe Impedanz der Reihenschaltung errechnet sich aus der Summe der beiden Widerstandsoperatoren. Die Bezugsgröße jeder Reihenschaltung ist der Strom in Richtung der reellen Achse. Der Operator des Wirkwiderstands liegt auf der reellen Achse und hat die Länge 100 Ω. Die Spannung an der Induktivität eilt dem Strom um 90° voraus. Der Operator des induktiven Blindwiderstands mit der Länge XL = 2 π·f·L = 200Ω liegt auf der positiven imaginären Achse.

Die äquivalente Parallelschaltung muss die gleiche Impedanz haben. Bei einer Parallelschaltung ist die Spannung die Bezugsgröße, die in Richtung der reellen Achse liegt. Man verwendet das Zeigerdiagramm der Leitwertoperatoren. Der Kehrwert des Scheinleitwerts Ypar der Parallelschaltung ist die Parallelimpedanz Zpar und gleich der Reihenimpedanz Zreih der gegebenen Schaltung. In einer schrittweisen Berechnung wird der komplexe Nenner durch konjugiert komplexe Erweiterung reell und man erhält die Komponentenform für den Scheinleitwert. Die Kehrwerte der Einzelkomponenten ergeben die gesuchten Widerstandswerte der äquivalenten Parallelschaltung.

Kann man die oben genannten Funktionen des Taschenrechners benutzen, so erhält man das Ergebnis mit wenigen Eingaben. Mit R→P errechnet sich für die Reihenschaltung die Reihenimpedanz Zreih und mit x→y der Phasenwinkel. Die dazu äquivalente Parallelschaltung muss die gleiche Parallelimpedanz Zpar und den gleichen Phasenwinkel aufweisen. Der Kehrwert der Reihenimpedanz ist somit gleich dem Scheinleitwert der Parallelschaltung. Durch den Wechsel der Bezugsgrößen erhält der Phasenwinkel bei gleichem Wert ein negatives Vorzeichen. Mit dem Scheinleitwert der P→R Funktion errechnet sich nach Eingabe des negativen Winkelwerts die reelle Leitwertkomponente G und mit x→y die Blindleitwertkomponente B. Sie ist negativ, da in der Parallelschaltung der Leitwertoperator der Induktivität auf der negativen imaginären Achse liegt. Aus den absolut gesetzten Kehrwerten beider Komponenten folgen die gesuchten Widerstandswerte der Bauteile für die äquivalente Parallelschaltung.

Die beiden zueinander äquivalenten Schaltungen setzen sich aus unterschiedlichen Bauteilwerten zusammen, haben aber elektrisch die gleichen Eigenschaften. So ist es möglich, gemischte Widerstandsnetzwerke der Wechselstromtechnik zu berechnen.

Gemischte Widerstandsnetzwerke

Für das folgende gemischte Widerstandsnetzwerk werden unter Anwendung der komplexen Rechnung die Impedanz und der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom bei sinusförmiger Eingangsspannung errechnet. Beide Teilschaltungen, die RC-Parallelschaltung und die RL-Reihenschaltung, können voneinander unabhängig berechnet werden. Das Ergebnis sind zwei Teilimpedanzen mit zwei von 90° verschiedenen Phasenwinkeln. Das einfache Zusammenfassen unter Anwendung des Satzes des Pythagoras ist daher nicht möglich.

Alle Widerstandswerte sind gegeben oder lassen sich aus den Bauteilwerten und der Frequenz berechnen. Die Parallelschaltung wird mit den Leitwerten, den reziproken Widerstandswerten der Bauteile berechnet. Für die Reihenschaltung werden die Widerstandswerte der Bauteile eingesetzt. Je nach Art der Teilschaltung werden entweder die komplexen Leitwertoperatoren oder Widerstandsoperatoren zur Berechnung benutzt.

Gemischte R-L-C-Widerstandsschaltung

Im Polardiagramm der Gaußschen Zahlenebene liegen der Operator eines Wirkwiderstands und sein Leitwert auf der reellen Achse. Der Operator des Blindwiderstands und der zugehörige Blindleitwert liegen auf der imaginären Achse. Beide sind zueinander an der reellen Achse gespiegelt, da die Bezugsgröße, die immer in Richtung der reellen Achse liegt, je nach Schaltungstyp zwischen Strom und Spannung wechselt. Ein kapazitiver Blindwiderstand weist nach unten und liegt auf der negativen imaginären Achse. Der kapazitive Blindleitwert weist nach oben in Richtung der positiven imaginären Achse. Die Zeigerlänge entspricht dem errechneten Widerstandswert oder dem reziproken Leitwert. Beim induktiven Blindwiderstand und Blindleitwert ist es umgekehrt.

Berechnung einer R-L-C-Widerstandsschaltung

Zur Berechnung der Parallelschaltung wird die Schreibweise der komplexen Normalform verwendet. Der Scheinleitwert Ypar der Parallelschaltung, die Admittanz, errechnet sich durch Addition des Leitwerts G des Widerstands und dem Blindleitwert BC des Kondensators. Der Scheinwiderstand Zpar dieser Parallelschaltung, ihre Impedanz, ist der Kehrwert von Ypar. Die Impedanz der Reihenschaltung Zreih errechnet sich in komplexer Schreibweise durch Addition des Wirkwiderstands R2 und des Blindwiderstands XL der Spule. Die Gesamtimpedanz Z der kombinierten Schaltung ist die Addition der beiden komplexen Teilimpedanzen.

Der Zeiger der Schaltungsimpedanz Z liegt im 1. Quadranten. Der Phasenwinkel ist positiv. Das Widerstandsnetzwerk verhält sich wie eine Schaltung aus Wirkwiderstand und Spule. Das Ergebnis in der Normalform zeigt die Achsenabschnitte auf der reellen und imaginären Achse. Soll die Exponentialform der Impedanz angegeben werden, so errechnet sich die Zeigerlänge aus der Wurzel der Summe der Achsenabschnittsquadrate. Der Phasenwinkel folgt aus der Arcustangensfunktion des Quotienten der Imaginär- zur Realkomponente.

Simulationsergebnis