Informations- und Kommunikationstechnik

Hochpässe - Frequenz abhängige Spannungsteiler

Ein passiver Hochpass unterscheidet sich vom ausführlich beschriebenen Tiefpass im Wesentlichen durch die vertauschte Anordnung der Bauteile. Beim RC-Hochpass wird die Ausgangsspannung am ohmschen Wirkwiderstand entnommen. Beim RL-Hochpass liegt der Ausgang parallel zum induktiven Blindwiderstand. Die folgenden Betrachtungen gelten für sinusförmige Eingangssignale konstanter Amplitude und variabler Frequenzen.

Der RC-Hochpass

Beim RC-Hochpass ist der Blindwiderstand des Kondensators von der Frequenz abhängig. Am ideal betrachteten Kondensator eilt der Strom um φ = 90° der Spannung voraus. Der Zeiger des Blindwiderstands zeigt senkrecht nach unten. Der bei niedrigen Frequenzen große Blindwiderstandswert nimmt zu hohen Frequenzen hin stetig ab. Die Spannung am Kondensator nimmt ebenfalls ab und die Ausgangsspannung am ohmschen Widerstand wird mit zunehmender Frequenz größer.

Mit zunehmender Frequenz der Eingangsspannung dreht sich der Zeiger der Eingangsspannung in Richtung der Horizontalen zum Spannungszeiger des ohmschen Widerstands. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsspannung an R bezogen auf die Eingangsspannung liegt zwischen φ = +90° bis φ = 0°.

RC- und RL-Hochpass

Der RL-Hochpass

Beim RL-Hochpass ist der Blindwiderstand der Spule von der Frequenz abhängig. An ihr wird die Ausgangsspannung abgenommen. Bei ideal gedachten Induktivitäten eilt die Spannung um φ = 90° dem Strom voraus. Der Zeiger des Blindwiderstands zeigt senkrecht nach oben. Der Blindwiderstand ist bei niedrigen Frequenzen klein und nimmt mit zunehmender Frequenz linear zu. Die Spannung an der Induktivität verhält sich direkt proportional zum Blindwiderstandswert. Zu hohen Frequenzen nimmt der Wert der Ausgangsspannung zu und entspricht letztlich der Eingangsspannung.

Mit zunehmender Frequenz der Eingangsspannung dreht sich der Zeiger der Eingangsspannung in Richtung der Vertikalen zum Spannungszeiger des induktiven Blindwiderstands. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsspannung an L bezogen auf die Eingangsspannung ergibt folglich Werte von φ = +90° zu φ = 0°.

Bodediagramme

Für jeden Hochpass gibt es eine Grenzfrequenz, bei der die Werte von Wirk- und Blindwiderstand gleich groß sind. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsgröße bezogen auf die entsprechende Eingangsgröße beträgt φ = +45°. Das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsgröße hat bei der Grenzfrequenz den charakteristischen Wert 0,707 entsprechend −3 dB.

Beim passiven Hochpass erster Ordnung, mit nur einem Typ Blindwiderstand, wird die Ausgangsspannung für Frequenzen weit unterhalb der Grenzfrequenz mit 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade gedämpft. Die folgenden Bodediagramme zeigen für einen RC- und RL-Hochpass mit gleicher Grenzfrequenz den von der Frequenz abhängigen Amplituden- und Phasengang der Ausgangsspannung in Bezug zur Eingangsspannung.

AC-Analysediagramme vom RC- und RL-Hochpass

Die Übertragungsfunktionen

Die Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

Die Eingangsspannung als Bezugsgröße liegt parallel zu R und C und somit an der Impedanz Z. Die Ausgangsspannung am RC-Hochpass wird parallel zum Widerstand abgegriffen. Damit kann das Spannungsverhältnis nach Gl.(1) aufgestellt werden. Übertragungsfunktionen sollen allgemeingültig sein und werden daher normiert dargestellt. Der Ausgangswert im Zähler kann bei passiven Schaltungen maximal 100% oder 1 werden. Normiert wird die Gleichung Gl.(2) indem sie mit 1/R erweitert wird. Im Nenner kann der Faktor vor der Wurzel als quadratischer Faktor in die Wurzel einbezogen werden. Der Ausdruck unter der Wurzel wird ausmultipliziert und liefert als Ergebnis die Gleichung Gl.(3).

Der Wert des kapazitiven Blindwiderstands in Gl.(3) ist von der Frequenz abhängig. Bei der charakteristischen Grenzfrequenz fg sind beide Widerstandswerte gleich groß und die Ausgangsspannung hat ihren charakteristischen Wert von rund 71% der Eingangsspannung, siehe Gl.(4).

Der Nenner kann weiter aufgelöst werden. Man erhält dann mit Gleichung Gl.(5) die Übertragungsfunktion einer beliebigen RC-Hochpass Schaltung. Die Ausgangsspannung stellt sich als Funktion der Frequenz dar. Mit den beiden Extremwertbetrachtungen zeigt sich das charakteristische Hochpassverhalten.

RC-Hochpass Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion beim RL-Hochpass

Die Ausgangsspannung beim RL-Hochpass liegt am induktiven Blindwiderstand, während die Eingangsspannung an beiden Bauteilen R und L und somit an Z liegt. Die mathematische Herleitung der Übertragungsfunktion für den RL-Hochpass erfolgt entsprechend angepasst wie beim RC-Hochpass.

RL-Hochpass Übertragungsfunktion

Beim RC-Hochpass wird die Ausgangsspannung am ohmschen Wirkwiderstand abgegriffen.
Beim LR-Hochpass wird die Ausgangsspannung am Blindwiderstand der Spule abgegriffen.
Eingangssignale mit hohen Frequenzen durchlaufen die Schaltung fast ungehindert.
Mit zunehmender Eingangsfrequenz nimmt die Ausgangsamplitude zu.
Bei der Grenzfrequenz fg gilt Uaus = 0,707·Uein. Die Dämpfung beträgt 3 dB, die Verstärkung −3 dB.
Bei fg ist die Ausgangsspannung um φ = 45° zur Eingangsspannung phasenverschoben.
Bei f « fg beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.

Diese Eigenschaften gelten nur für unbelastete Pässe, wo weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer am Ausgang angeschlossene Folgestufe einen Einfluss ausüben können. Diese Verhältnisse lassen sich durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreichen. Ohne Zusatzschaltungen wird der Pass belastet, wobei die maximale Ausgangsspannung abnimmt und die Grenzfrequenz einen anderen Wert annimmt. Im Kapitel über den belasteten RC-Pass werden entsprechende Untersuchungen und komplex-mathematische Herleitungen zur Übertragungsfunktion beschrieben.