Informations- und Kommunikationstechnik

Belastete RC-Pässe

Eine einfache RC-Schaltung kann als Hochpass oder Tiefpass dimensioniert sein. Beim RC-Hochpass liegt das Ausgangssignal parallel zum Widerstand, während es beim RC-Tiefpass parallel zum Kondensator abgenommen wird. Eine kombinierte Schaltung von Hoch- und Tiefpass ergibt vom Signalweg abhängig einen Bandpass oder eine Bandsperre. Für einen unbelasteten einfachen Pass ist die Grenzfrequenz und die Übertragungsfunktion einfach zu berechnen. Das gilt für Bandpass und Bandsperre und belastete Pässe allgemein nicht mehr. Die folgenden Untersuchungen und mathematischen Herleitungen gelten angepasst auch für RL-Schaltungen.

Grenzfrequenzversatz beim belasteten Tiefpass

Ist ein RC-Tiefpass am Ausgang mit einem ohmschen Widerstand oder mit der Eingangsimpedanz einer Folgeschaltung belastet, so nimmt seine Ausgangsspannung mit zunehmender Belastung ab. Gleichzeitig nimmt die Grenzfrequenz höhere Werte an, je niedriger der Wert der Lastimpedanz wird. Das Diagramm zeigt die Simulationsergebnisse für einen RC-Tiefpass.

belasteter RC-Tiefpass

Für einen belasteten Pass gilt die einfache Formel zur Berechnung der Grenzfrequenz nicht mehr. Die Spannungsquelle am Eingang soll mit einem Innenwiderstand von 0 Ω ideales Verhalten haben. Auf das Signal bezogen liegen dann der Tiefpasswiderstand R und der Lastwiderstand RL parallel zueinander und bilden einen Ersatzwiderstand Rers.

berechnete Belastung am RC-Tiefpass

Im niedrigen Frequenzbereich bestimmt in der Parallelschaltung von Rers und C dieser ohmsche Widerstand die Ausgangsspannung. Beim Tiefpass ist das auch die neue Eingangsspannung Uers. Die veränderte Grenzfrequenz kann jetzt wieder mit der bekannten Formel bei gleicher Kapazität aber dem Ersatzwiderstand berechnet werden. Die Ausgangsspannung bei dieser Grenzfrequenz liegt bezogen auf die Ersatzspannung bei −3 dB. Die Berechnungen konnten im Experiment bestätigt werden. Kann der Quelleninnenwiderstand nicht vernachlässigt werden, so wird zum Wert des Tiefpasswiderstands R addiert, da beide Widerstände eine Reihenschaltung bilden.

Grenzfrequenzversatz beim belasteten Hochpass

Belastung am RC-Hochpass Eine für den RC-Hochpass vergleichbare Simulation zeigt den Einfluss des Innenwiderstands der Signalquelle Ri und einer Ausgangslast RL auf die Grenzfrequenz. Im Leerlauf wird der RC-Hochpass am Eingang durch den Innenwiderstand der Quelle belastet, der in Reihe mit dem Hochpasswiderstand liegt. Je größer der Innenwiderstand ist, desto mehr verschiebt sich die Grenzfrequenz in den tieferen Bereich. Der Einfluss ist gering, solange die Ausgangsimpedanz der Quelle klein im Vergleich zum Widerstand im Hochpass bleibt.

Einen größeren Einfluss hat die Belastung am Ausgang durch RL. Durch die Parallelschaltung entsteht ein deutlich kleinerer Widerstand, der mit der Kapazität die Grenzfrequenz bestimmt. Die Simulationsergebnisse zeigen mit zunehmender Belastung einen Versatz der Grenzfrequenz in den höheren Bereich.

Formeln bei Belastung am RC-Hochpass Unter Berücksichtigung des Innenwiderstands der Quelle und der Ausgangsbelastung durch ohmsche Widerstände können der Ersatzwiderstand und die Grenzfrequenz des Hochpasses berechnet werden.

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Übertragungsfunktion des belasteten RC-Tiefpass

Die Eigenschaften eines jeden RC-Tiefpass lassen sich mithilfe der Übertragungsfunktion mathematisch bestimmen. Mit der komplexen Wechselstromrechnung kann die Berechnung relativ einfach für Art der Belastung und nicht nur für ohmsche Widerstände erfolgen. Das folgende Beispiel zeigt die prinzipielle Vorgehensweise für eine rein ohmsche Ausgangslast ohne Einfluss durch einen Quelleninnenwiderstand. Der belastete Tiefpass ist ein von der Frequenz abhängiger Spannungsteiler aus R und der Parallelschaltung von C mit dem Lastwiderstand.

Belastung am RC-Tiefpass

Zur Herleitung der komplexen Übertragungsfunktion wird für die Parallelschaltung der komplexe Scheinleitwert verwendet, dessen Kehrwert, die komplexe Impedanz, mit dem Tiefpasswiderstand R in Reihe liegt. Die Ausgangsspannung liegt parallel zur komplexen Impedanz. Die Eingangsspannung liegt über der komplexen Summe beider Widerstände R und Z.

Zur Aufstellung der Übertragungsfunktion wird das Verhältnis zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung gebildet. Die Ausgangsspannung liegt an der Parallelschaltung, die Eingangsspannung an der Reihenschaltung aus R und der komplexen Impedanz Z. Bei einer passiven Schaltung kann die Ausgangsspannung maximal nur so groß wie die Eingangsspannung sein. Ein Vergleich unterschiedlich belasteter Schaltungen wird durch die Normierung auf diesen Maximalwert 1 einfacher. Dazu wird die aufgestellte Gleichung mit 1 / Z erweitert. Der Zähler rechts hat den Wert 1. In weiteren Umformungen wird der komplexe Nenner durch konjugiert komplexe Erweiterung reell gemacht und das Ergebnis in die Real- und Imaginärkomponente sortiert.

komplexe Übertragungsfunktion, RC-Tiefpass

Der Betrag des Amplitudenfrequenzgangs kann aus der Gl.(2) oder Gl.(3) erstellt werden. Die Real- und Imaginärkomponente werden quadriert und aus deren Summe die Quadratwurzel gezogen. Mit den beiden Grenzbetrachtungen für die Frequenz erkennt man das Tiefpassverhalten, wobei sich für 0 Hz die anfangs aufgestellte Beziehung zur Ersatzspannung ergibt.

Die Abhängigkeit des Phasenwinkels von der Frequenz errechnet sich aus dem Arcustangens des Quotienten der Imaginär- zur Realkomponente. Wird zur Herleitung die Gl.(3) verwendet, so ergibt sich das richtige Vorzeichen selbst. Die Phasenlage der Eingangsspannung hat per Definition null Grad.

komplexe Übertragungsfunktion, RC-Tiefpass

Der Phasenwinkel bei Grenzfrequenz hat immer den Absolutwert φ=45°. Aus dem Argument der Gl.(5) kann somit die Grenzfrequenzformel für den belasteten Tiefpass hergeleitet werden, die ebenfalls identisch mit der eingangs benutzten Formel ist.

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Übertragungsfunktion des belasteten RC-Hochpass

Belastung am RC-Hochpass

Damit die komplexe Wechselstromrechnung nicht zu unübersichtlich wird, sollen nur ohmsche Widerstände den Hochpass belasten. Am Ausgang liegt der Lastwiderstand parallel zum HP-Widerstand und wird in der Herleitung der Übertragungsfunktion als komplexer Parallelwiderstand RPar eingesetzt. Der Innenwiderstand der Quelle Ri liegt in Reihe zum Pass und wird zum Parallelwiderstand addiert. Der Lösungsweg mit komplexen Größen ist die einzig brauchbare Methode, wenn die Lastwiderstände ebenfalls Impedanzen sind.

Wie beim belasteten Tiefpass wird auch für den Hochpass die Übertragungsfunktion aufgestellt und normiert. Mit den Komponenten im Nenner kann der Amplituden-Frequenzgang direkt aufgestellt werden. Durch konjugiert komplexe Erweiterung kann auch erst die Komponentenform gebildet werden. Die Grenzbetrachtung für die beiden Eckfrequenzen zeigt, dass es sich um einen Hochpass handelt.

komplexer Amplituden-Frequenzgang RC-Hochpass

Mit der komplexen Komponentenform kann der Phasengang mit korrektem Vorzeichen bestimmt und die Formel für die Grenzfrequenz hergeleitet werden. Mit den Ergebnissen lassen sich die Simulationsergebnisse am Anfang des Kapitels bestätigen.

komplexe Formelherleitungen für RC-Hochpass

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RC-Bandpässe

Die Zusammenschaltung geeignet dimensionierter Hoch- und Tiefpassglieder ergibt einen Bandpass. Mit ihm kann aus einem Frequenzgemisch ein bestimmtes Frequenzband ausgefiltert werden. Das Kapitel passive elektrische Filter enthält dazu allgemein gehaltene Informationen. Hier wird der RC-Bandpass als Reihenschaltung eines RC-Hochpass und RC-Tiefpass Glieds eingehender behandelt. Der einfachste RC-Bandpass besteht aus einem Hoch- und Tiefpass mit gleicher Dimensionierung und Grenzfrequenz.

1. Schaltvariante

Das Eingangssignal liegt am TP und der nachfolgende HP liefert das Ausgangssignal. Er ist im niedrigen Frequenzbereich hochohmig. Mit zunehmender Eingangsfrequenz kann die Ausgangsamplitude nur langsam größer werden. Nach der Grenzfrequenz des TP beginnt sein Sperrbereich und für den HP der Durchlassbereich. Mit zunehmender Frequenz wird jetzt der TP niederohmiger und die Ausgangsamplitude nimmt erneut ab. Bei der Grenzfrequenz ist das Maximum der Durchlasskurve zu erwarten.

2. Schaltvariante

Das Eingangssignal liegt am HP und das Ausgangssignal wird am nachfolgenden TP abgenommen. Für niedrige Frequenzen ist der HP hochohmig und der TP erhält für seinen Durchlassbereich nur langsam zunehmende Eingangsamplituden. Nach der Grenzfrequenz beginnt für den Hochpass der Durchlassbereich. Der zunehmend niederohmig werdende Tiefpass senkt nunmehr die Ausgangsamplituden stetig ab.

RC-Bandpass

Die AC-Frequenz- und Phasendiagramme zeigen für beide Schaltungen einen eindeutigen Bandpasscharakter. Die Schaltungen verhalten sich wie oben beschrieben vollkommen gleich. Die Grenzfrequenzen der einzeln berechneten HP- oder TP-Glieder betragen 159 Hz. Es ist die Mittenfrequenz des Bandpasses beim Phasenwinkel φ=0°. Das Durchlassdiagramm zeigt zwei neue Grenzfrequenzen mit fu = 48 Hz bei φ=+45° für den Hochpass und fo = 530 Hz bei φ=−45° für den Tiefpass. Die Maximalamplitude im Durchlassbereich liegt bei gemessenen −9,5 dB. Das ist nur noch ein Drittel der Durchlassamplitude des einzelnen HP- oder TP-Glieds. Beide Pässe beeinflussen sich gegenseitig, da die Ausgangsimpedanz des einen die Eingangsimpedanz des anderen belastet und umgekehrt.

entkoppelter RC-Bandpass

Beide Pässe kann man durch einen Impedanzwandler entkoppeln. Seine Eingangsimpedanz ist so hoch, dass er den Ausgang des vorgeschalteten HP nicht belastet. Seine Ausgangsimpedanz ist sehr niedrig, sodass er für den folgenden TP eine relativ ideale Signalquelle darstellt. In seiner Grundschaltung hat der Impedanzwandler mit dem Verstärkungsfaktor 1 keinen Einfluss auf die Signalamplitude.

Die Diagramme zeigen als Simulationsergebnis die AC-Frequenzanalyse der Schaltung. Insgesamt gesehen ist es ein Bandpass geblieben. Seine Durchlassamplitude ist mit −6 dB nicht so stark gedämpft. Die Mittenfrequenz ist gleich geblieben aber die Bandbreite ist geringer geworden.

Der rote Kurvenzug am Ausgang des Impedanzwandlers zeigt das Bodediagramm des nicht belasteten HP mit der Grenzfrequenz von 159 Hz. Auf die Amplitude der Eingangsspannung bezogen lassen sich −3 dB ablesen. Der folgende Tiefpass mit gleicher Grenzfrequenz dämpft diese Amplitude um den gleichen Wert. Die Maximalamplitude des Bandpasses erreicht somit −6 dB. Mit weiter zunehmender Frequenz dämpft der TP seine Ausgangsamplitude mit 6 dB pro Oktave.

Die Entkopplung mit einem Impedanzwandler wird oftmals angewendet, zumal er auch zum Verstärker unter Beibehalten seiner günstigen Impedanzwerte erweitert werden kann. Das Schaltungskonzept benötigt zusätzliche Gleichspannung. Die Berechnung eines passiven Bandpasses kann eigentlich nur noch mit komplexer Wechselstromrechnung erfolgen, da Signale mit unterschiedlichen Phasenwinkeln auf Impedanzen treffen, die ihrerseits von der Frequenz abhängige Spannungsteiler bilden.

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Komplexe Übertragungsfunktion des RC-Bandpass

passiver RC-Bandpass

Der Bandpass ist als Spannungsteiler dargestellt und die zur Herleitung notwendigen Größen sind farblich gekennzeichnet. Eine Vereinfachung ergibt sich bei gleichen Bauteilwerten für den HP und TP. Der Hochpass belastet mit seiner Impedanz Z1 den TP und seine Ausgangsspannung. Der TP belastet mit seinem Blindwiderstand die Impedanz des HP. Die Eingangsspannung für den HP liegt daher an Z2 der Parallelschaltung von Z1 des HP und dem Blindwiderstand der TP-Kapazität. Die Eingangsspannung liegt an der Reihenschaltung aus dem TP-Widerstand und Z2.

Für beide Pässe können die Übertragungsfunktionen geschrieben werden, wobei nach der gemeinsamen Spannung U aufgelöst und gleichgesetzt wird. Damit ergibt sich der Ansatz für die Übertragungsfunktion des Bandpasses, in der U nicht mehr vorkommt.

Die Herleitung der Übertragungsfunktion ergibt das gleiche Ergebnis, wenn in der Schaltung HP und TP vertauscht werden. Die anfangs gezeigte AC-Frequenzanalyse hat das in der Schaltungssimulation gezeigt.

Übertragungsfunktion RC-Bandpass

Amplituden- und Phasengang

Aus der komplexen Übertragungsfunktion errechnet sich der Amplituden-Frequenzgang aus der Summe der Quadrate für die Real- und Imaginärkomponente und dem anschließenden Ziehen der Quadratwurzel. Das Verfahren kann auch direkt auf die Komponenten im Nenner der Gl.(6) angewendet werden. Bei der Mittenfrequenz dieser symmetrischen Bandpassschaltung mit ωo = 1 / (R·C) hat die Imaginärkomponente den Wert null. Das Phasendiagramm der Simulation zeigt mit φ = 0° bei der Mittenfrequenz das Fehlen imaginärer Eigenschaften an.

Amplitudengang und Mittenfrequenz

Der Phasengang wird aus dem Verhältnis der Imaginär- zur Realkomponente der Übertragungsfunktion hergeleitet. Durch die Definition der Normfrequenz Ω werden die Formeln übersichtlicher. Sie ist hier das Verhältnis der Frequenz zur Mittenfrequenz. Die Grenzfrequenzen sind beim absoluten Phasenwinkel φ = 45° definiert.

Phasengang und Grenzfrequenzen, RC-Bandpass

Mit den Bauteilwerten des Simulationsbeispiels errechnet sich die Mittenfrequenz zu f0 = 159 Hz und damit f1 = 525 Hz als obere und f2 = 48 Hz als untere Grenzfrequenz. Die abgelesenen Diagrammwerte stimmen damit sehr gut überein. Ein spezieller RC-Bandpass ist das Wienglied. Es wird in Sinusgeneratoren mit sehr guter Signalqualität verwendet und ist in einem eigenen Kapitel ausführlich beschrieben.