Wirkwiderstände in Parallelschaltung

In Energieversorgungsnetzen, wo viele voneinander unabhängige Verbraucher zu unterschiedlichen Zeiten eingeschaltet sind, können sie nicht in einer Reihenschaltung angeschlossen sein. Das Ausschalten nur eines Verbrauchers würde den gesamten Stromkreis unterbrechen. In einer Reihenschaltung teilt sich die Netzspannung zudem auf die unterschiedlichen realen Widerstände verschieden auf. Das Gerät mit dem höchsten Widerstandswert bestimmt den Gesamtstrom, sodass Geräte mit höherer Leistung und kleineren Widerstandswerten nicht richtig funktionieren können. In den Versorgungsnetzen sind daher alle Verbraucher parallel zueinander angeschlossen. Jeder Gerät oder Lastwiderstand liegt dadurch an der gleichen Spannung und erhält den für ihn notwendigen Strom aus dem Netz.

Zwei Widerstandsdrähte gleicher Länge und mit gleichem Querschnitt parallel geschaltet, lassen sich durch einen Draht dieser Länge mit doppeltem Querschnitt ersetzen. Der Drahtwiderstandswert ist proportional zur Länge und umgekehrt proportional zum Querschnitt. Der Gesamtwiderstandswert der beiden Drähte ist folglich halb so groß. Der Gesamtwiderstandswert einer Parallelschaltung ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstandswert.

In einer Parallelschaltung gibt es mehrere Stromwege. Der von der Spannungsquelle fließende Gesamtstrom teilt sich anteilig auf jeden einzelnen Zweig auf. Die Eigenschaften einer Parallelschaltung lassen sich an den folgenden Schaltungsbeispielen beobachten. Die Messgeräte haben ideales Verhalten und beeinflussen die Schaltung nicht. Die Generatorspannung bleibt mit 10 V für alle Beispiele konstant.

Umschaltbare Beispiele für parallel geschaltete ohmsche Widerstände:
1. Beispiel 2. Beispiel 3. Beispiel

Durch jeden Widerstand fließt ein Teilstrom. Sein Wert kann mit dem ohmschen Gesetz aus der Spannung und dem Widerstandswert errechnet werden. Sind die Widerstandswerte der einzelnen Zweige gleich groß, so sind auch die Zweigströme gleich. In jedem Knotenpunkt der oberen Leitung teilt sich der Strom auf und in den unteren Knoten vereinigen sie sich wieder zum Gesamtstrom. In jedem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme, sodass die Stromsumme im Knoten immer den Wert null hat.

Der Gesamtwiderstandswert einer Parallelschaltung kann durch Messen der anliegenden Versorgungsspannung und des in die Schaltung fließenden Gesamtstroms ermittelt werden. Mit dem ohmschen Gesetz errechnet sich daraus der Gesamtwiderstandswert der Schaltung. Für die mathematischen Zusammenhänge der Parallelschaltung gilt, dass es nur einen Spannungswert an allen Bauteilen gibt. Der in die Schaltung fließende Gesamtstrom ist gleich der Summe der Teilströme innerhalb der Schaltung: \[{I_1} = \frac{U}{{{R_1}}}\quad {I_2} = \frac{U}{{{R_2}}}\quad {I_3} = \frac{U}{{{R_3}}}\quad I = {I_1} + {I_2} + {I_3}\] Mit diesen Teilgleichungen kann für den Gesamtstrom geschrieben werden: \[I = U\left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}}} \right)\quad \Rightarrow \frac{I}{U} = \frac{1}{R} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}}\] Für beliebig viele Teilwiderstände gilt dann: \[R = \frac{1}{{\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} + \cdots + \frac{1}{{{R_n}}}}}\] Für zwei Parallelwiderstände kann umgeformt werden zu: \[R = \frac{{{R_1}\,{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\] Für n gleiche Parallelwiderstände errechnet sich der Gesamtwiderstand zu: \[{R_{ges}} = \frac{R}{n}\]

Eine Parallelschaltung kann durch die folgenden Eigenschaften beschrieben werden. Der zweite Punkt steht vereinfacht für die erste Kirchhoffsche Regel, der Knotenpunktregel.

Widerstände sind parallel geschaltet, wenn sie an derselben Spannung liegen.
Im Stromverzweigungspunkt ist die Summe der Ströme gleich null, daraus folgt, dass die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist.
In der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstandswert stets kleiner als der kleinste Einzelwert.
In der Parallelschaltung verhalten sich die Teilströme umgekehrt proportional zu den entsprechenden Widerstandswerten.

Kennliniendiagramm für eine Parallelschaltung

Aus dem I-U-Kennliniendiagramm für Leitwerte (reziproke Widerstände) kann grafisch die Kennlinie des resultierenden Gesamtwiderstands konstruiert werden. In der Parallelschaltung liegen alle Widerstände an derselben Spannung. Es sind nur die entsprechenden Stromwerte für die gewählte Spannung zu addieren. Die neuen Punkte liegen auf der gesuchten Kennlinie, deren Steigung dem Leitwert oder reziproken Widerstandswert entspricht. In der Grafik ist dieses Verfahren auf die Parallelschaltung von 1 kΩ und 2 kΩ angewendet. Die rote Kennlinie entspricht dem daraus folgenden Gesamtwiderstand von 667 Ω.