Informations- und Kommunikationstechnik

Leitungen und ihre Eigenschaften

Elektrische Geräte und Baugruppen werden miteinander durch elektrische Leitungen oder Kabel, manchmal auch nur Drähten verbunden. Umgangssprachlich führt alles zum Ziel, aber es gibt auch eine differenzierte Beschreibung in Anlehnung an das Lexikon der Nachrichtentechnik der SEL - Standard Elektric Lorenz AG. Im Anschluss folgt eine Einführung zur allgemeinen Leitungstheorie, und der Wellenwiderstand wird theoretisch und experimentell behandelt. Hinweise zur Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit und dem Skineffekt schließen das Kapitel ab.

Draht

Draht ist ein metallisches Erzeugnis von geringem, meist rundem Querschnitt und großer Länge. Durchmesser bis 5 mm werden durch Walzverfahren hergestellt. Geringere Durchmesser bis 0,01 mm entstehen im wiederholten Ziehverfahren durch Zieheisen oder Ziehsteine. Wird Platindraht mit Silber ummantelt, so lassen sich im Ziehverfahren nach Wegätzen des Silbers Platindrahtdurchmesser von einigen μm herstellen (nach Duden Lexikon).

Leiter

In der Verbindungstechnik ist es ein Metallleiter, durch den elektrischer Strom fließt. Der Leiterdurchmesser wird in mm angegeben und ohne die Isolierung gemessen.

Leitung

Als technischer Begriff ist es eine durch Schaltanweisungen in technischen Merkmalen und Schaltpunkten vorgegebene Hintereinanderschaltung von Versorgungsstromkreisen. In bestimmten Einrichtungen wird die Leitung zur Übertragung elektrischer Signale benutzt.

Leitungsbündel

Die Summe aller Leitungen zwischen zwei Endpunkten wird als Leitungsbündel bezeichnet.

Kabel

Das Kabel fasst mehrere isolierte Leiter unter einer gemeinsamen Schutzhülle zusammen und dient der Fortleitung elektrischer Energie oder Nachrichtensignale.

Ader, Aderpaar, Doppelader

Der Leiter mit seiner Isolierhülle wird als Ader bezeichnet. Bei Innenkabeln bilden zwei miteinander verseilte Adern einen Leitungskreis. Ein symmetrisches Aderpaar ist die Anordnung zweier Leiter mit gleichem Durchmesser und gleichartiger Isolierung, die zueinander eine räumlich definierte Lage haben. Die Doppelader bei Kabeln ist das aus zwei Adern eines Paares bestehende Übertragungselement.

Koaxialpaar (KxP)

Ein Leiterpaar mit einem konzentrisch um den Innenleiter angeordneten Außenleiter. Beide Leiter sind gegeneinander durch Isoliermaterial, dem Dielektrikum im festen Abstand abgestützt. Diese Anordnung wird auch Koaxialtube (englisch Tube) genannt.

Koaxialkabel (KxK)

Kabel mit einem oder mehreren Koaxialpaaren für die Analogübertragung breiter Frequenzbänder (TF-Tonfrequenz oder TV - Fernseh-Video-Signale) oder für die Übertragung von Digitalsignalen mit hohen Übertragungsraten.

Twisted Pair

Darunter werden paarweise verdrillte Zweidrahtleitungen verstanden.

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Allgemeine Leitungstheorie

Das Verhalten von Leitungen zur Signalübertragung unterscheidet sich von dem der Versorgungstechnik, wo nur Gleichstrom oder sehr niederfrequenter Wechselstrom transportiert wird. Bei der Stromversorgung ist einzig der ohmsche Leiterwiderstand und bei mehreren Leitern der Isolationswiderstand von Interesse.

Signale können die unterschiedlichsten Frequenzen enthalten, die am Ende einer Übertragungskette noch alle vorhanden sein sollten. Eine erdgebundene Signalübertragung erfolgt im einfachsten Fall durch eine symmetrische Leitung oder eine Koaxialleitung. Die symmetrische Leitung mit einem Adernpaar ist meistens eine gewöhnliche Zweidrahtleitung. Sie kann auch mit besonderen geometrischen Eigenschaften ausgerüstet werden. Eine Stegleitung hat zwei gleiche Einzeladern mit zwischenliegendem konstanten Isolationsabstand. In der twisted pair Leitung sind zwei gleiche Einzeladern mit konstantem Drehsinn miteinander verdrillt.

Eine Spule hat als Haupteigenschaft die Induktivität und entsteht durch das Hintereinanderschalten vieler einzelner Leiterschleifen. Eine Leitung kann als abgewickelte Spule oder zumindest als eine Spule mit nur einer Windung aufgefasst werden. Es ist daher zu erwarten, dass eine Leitung geringe induktive Eigenschaften hat.

Ein Kondensator in einfachster Bauweise sind zwei parallel zueinander liegende und gegeneinander isolierte Metallplatten oder Folien. Seine Haupteigenschaft ist die Kapazität. In einer Zweidrahtleitung liegen zwei schmale Metallstreifen gegeneinander isoliert zusammen. Eine Leitung wird erwartungsgemäß eine geringe Kapazität besitzen.

Die Leitung hat einen ohmschen Gleichstromwiderstand. Der Wert wird für die gesamte Schleife als Summe aus der Hin- und Rückleitung gemessen. Kennt man den Drahtdurchmesser, die Gesamtlänge und den spezifischen Widerstand bzw. als Kehrwert, den spezifischen Leitwert, so kann dieser Widerstandswert aus den Materialdaten berechnet werden.

Für analoge und digitale Signale ist jede Leitung durch ein passives Zweitor beschreibbar. Die Darstellung vereint die genannten Eigenschaften der Bauteile Widerstand, Induktivität und Kapazität. Es wird vereinbart, dass sich diese Größen gleichmäßig entlang der gesamten Leitung verteilen. Sie sind bei guter Fertigungstoleranz proportional zur Leitungslänge. Eine solche Leitung wird als homogene Leitung bezeichnet und ihre Eigenschaften nennt man Belagwerte, womit die Größe bezogen auf eine Längeneinheit gemeint ist.

homogene Leitung

Der Widerstandsbelag R'

Meistens reicht es, wenn damit der Gleichstromwiderstand einer Ader angegeben ist. Teilweise ist in Datenblättern symmetrischer Kabel auch der Schleifenwiderstand eines Aderpaares angegeben. Mit zunehmender Frequenz ändert sich der Wert des Widerstandsbelags. Der ohmsche Wechselstromwiderstand der Leitung nimmt zu, da durch den Skineffekt der Stromtransport zur Leiteroberfläche hin verdrängt wird. Der Leiterkern wird dadurch stromfrei und somit der noch aktiv vom Strom durchflossene Leiterquerschnitt kleiner. Das entspricht einem größeren Widerstandswert. Der Wert des Widerstandsbelags wird in Ω/km angegeben.

Der Induktivitätsbelag L'

Ganz genau setzt sich der Wert aus einem äußeren und einem inneren Induktivitätsbelag zusammen. Der äußere Induktivitätsbelag ist vom geometrischen Leitungsaufbau und von den magnetischen Eigenschaften des Leiters abhängig. Da normalerweise keine ferromagnetischen Leiter verwendet werden, ist dieser Induktivitätsbelag vom Stromfluss unabhängig. Ein viel kleinerer innerer Induktivitätsbelag beruht auf den magnetischen Wechselfeldern im Leiter. Mit zunehmender Frequenz nimmt der Wert ab, da mit Zunahme des Skineffekts das Leiterinnere feldfrei wird. In guter Näherung kann somit der Induktivitätsbelag als frequenzunabhängig angesehen werde. Sein Wert wird in mH/km oder μH/m angegeben.

Der Kapazitätsbelag C'

Der Wert wird durch den geometrischen Aufbau der Leitung und der Dielektrizitätskonstante der Isolierung bestimmt. Wie bei jedem Kondensator nimmt der Wert zu, je geringer der Abstand zwischen den Adern ist, je größer die Leiteroberfläche und je höher der Wert der Dielektrizitätszahl ist. Leitungen hoher Güte haben kleinere Werte für C'. Der Kapazitätsbelag wird in nF/km oder pF/m angegeben.

Der Ableitungsbelag G'

In diesem Wert werden die Isolationsverluste und die dielektrischen Verluste der Isolierung erfasst. Der Ableitungsbelag ist von der Frequenz abhängig. Sein Wert wird in mS/km oder μS/m angegeben. Anstelle von G' wird manchmal auch der Verlustfaktor tan δ genannt. Sein Wert errechnet sich zu tan δ = G' / (ω·C').

Der Dämpfungsbelag α

Der Wert von Alpha ist von der Frequenz und vom Isolationsmaterial abhängig. Er kann bei einer beidseitig angepassten Leitung aus dem Dämpfungsmaß a bezogen auf die Leiterlänge l messtechnisch bestimmt werden. Der Dämpfungsbelag wird in Neper/km oder dB/100 m angegeben.

Gleichung zum Dämpfungsbelag

Das Ersatzschaltbild der Leitung zeigt, dass jede Leitung Tiefpasscharakter hat.

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Der Wellenwiderstand

In Datenblättern werden die oben genannten Leitungseigenschaften vom Hersteller angegeben. Für einfache Leitungen kann der Wellenwiderstand Z aus den geometrischen und physikalischen Eigenschaften hergeleitet werden. In der Praxis lässt sich Z mit einer automatischen L-C-Messbrücke durch zwei Messungen bei höherer Frequenz ermitteln. Die Wellenlänge der Messfrequenz muss sehr viel größer sein als die Länge des Leiterstücks. Die eine Messung erfolgt im Leerlauf bei offenem Leitungsende. Dabei verhält sie sich kapazitiv und liefert Zleer. Die zweite Messung wird bei gleicher Frequenz mit kurzgeschlossener Leitung und induktivem Verhalten durchgeführt und liefert Zkurz. Aus beiden errechnet sich der Wellenwiderstand.

Formel zum Wellenwiderstand

Experimentelle Bestimmung des Wellenwiderstands einer Leitung

Das Messobjekt war eine 19 m lange flache Doppelleitung aus Kupferlitze mit einem Leiterquerschnitt von 1,5 mm2. Ein Leitungstyp, der in der Heimelektronik als Anschlussleitung für Lautsprecherboxen verbreitet ist. Die Signalquelle war ein einstellbarer Sinusfrequenzgenerator. Die Strom- und Spannungsmessung erfolgte mit elektronischen Multimetern, deren Anzeigegenauigkeit innerhalb einer Bandbreite von 30 kHz vom Hersteller garantiert ist. Eine vorangehende Testmessreihe ergab korrekte Werte auch noch für Sinusfrequenzen bis 50 kHz. Die kürzeste Wellenlänge mit 6 km bei der höchsten Messfrequenz von 50 kHz erfüllte die Messbedingungen hinsichtlich der Leitungslänge.

Der ohmsche Schleifenwiderstand der 19 m langen Leitung wurde mit einer Gleichspannungs- und Strommessung bei kurzgeschlossenem Leitungsende zu 0,45 Ω bestimmt. Dieser Wert könnte auch aus der Leiterlänge dem Leiterquerschnitt und der Leitfähigkeit von Kupfer errechnen werden. Die kapazitive Leitungseigenschaft wurde bei offenem Leitungsende gemessen. Die Tabelle zeigt die Werte der gleichzeitigen Strom- und Spannungsmessung am Leitungseingang. Mit dem Ohmschen Gesetz errechnet sich für jede Frequenz die Impedanz Z, die dem kapazitiven Blindwiderstand gleichgesetzt werden kann, da der ohmsche Leitungswiderstand vernachlässigbar klein ist.

f/kHz U/V I/mA Z/kΩ C/nF
1 5 0,035 143,00 1,11
5 5 0,270 18,50 1,72
10 5 0,360 13,90 1,15
15 5 0,530 9,43 1,12
20 5 0,715 6,99 1,14
25 5 0,875 5,71 1,11
30 5 1,100 4,55 1,17
35 5 1,270 3,94 1,16
40 5 1,460 3,42 1,16
45 5 1,650 3,03 1,17
50 5 1,810 2,76 1,15

Die Impedanzbestimmung bei kurzgeschlossenem Leitungsende wurde ebenso durch gleichzeitige Strom- und Spannungsmessung durchgeführt. Bei der Auswertung zur induktiven Leitungseigenschaft ist der ohmsche Leitungswiderstand zu berücksichtigen, da er in der Größenordnung der Impedanzen liegt. Die Tabelle zeigt die Mess- und Rechenwerte.

f/kHz U/mV I/mA Z/Ω XL L/μH
1 50 100,0 0,500 0,218 34,7
5 50 78,5 0,637 0,451 14,3
10 50 52,3 0,956 0,843 13,4
15 100 75,0 1,330 1,260 13,3
20 100 58,0 1,720 1,660 13,2
25 100 46,8 2,137 2,088 13,3
30 100 39,3 2,540 2,500 13,3
35 100 33,5 2,990 2,950 13,4
40 100 26,8 3,730 3,700 14,7
45 100 23,0 4,350 4,32 15,3
50 100 20,0 5,000 4,98 15,9

Damit errechnet sich für diese Leitung ein durchschnittlicher Kapazitätswert von 1,2 nF und ein durchschnittlicher Induktivitätswert von 16 μH. Mit diesen Werten lassen sich die Belagwiderstände der Leitung angeben.

R' = 23,68 mΩ/m C' = 63,2 pF/m L' = 842,1 nH/m G' » 10 MΩ/m

Reflexionsmessung

Die Impedanz dieser Leitung konnte im Labor durch das Messen der Signalreflexion bestimmt werden. Als Eingangssignal wurde ein Rechteckimpuls von 1 MHz bei einem Tastgrad von 10% verwendet und im Kanal A des Oszilloskops dargestellt. Der ebenfalls am Eingang angeschlossene Kanal B zeigt etwas zeitverschoben das reflektierte Signal. Mit einem am Leitungsende einstellbaren Abschlusswiderstand wurde das Reflexionssignal auf Minimum abzugleichen. Der eingestellte ohmsche Wert des Abschlusswiderstands entspricht der zu bestimmenden Leitungsimpedanz. Optimale Messbedingungen und unverzerrte Rechtecksignale setzen am Leitungseingang einen passenden Impedanzabschluss voraus.

Für die oben untersuchte Leitung lieferte diese Messmethode den Wert 110 Ω. Der Experimentalwert stimmt sehr gut mit der Leitungsimpedanz ZL = 115,4 Ω überein, die aus den Belagwerten der Messtabellen errechnet werden kann. Dabei ist ZL = √(L' / C'). Vergleichbare Werte liefern auch Berechnungen mit den Tabellenwerten bei gleicher Frequenz und der Formel L = √(Zkap · Zind)

Die Abhängigkeit des Wellenwiderstands von der Leitungsgeometrie

Die folgenden Skizzen zeigen, dass ein Zusammenhang zwischen der Leitungsimpedanz, den geometrischen Leitungswerten und dem Isoliermaterial besteht. Bei der verdrillten Leitung wirkt zusätzlich zur Dielektrizitätskonstante des Isoliermaterials auch noch die Zahl der Schleifen pro Zentimeter, mit der die Verdrillung erfolgte. Daher ist in der Gleichung anstelle von εr ein Effektivwert εr eff eingesetzt worden.

Z-Gleichungen verschiedener Leitungen

Der Wellenwiderstand einer Koaxialleitung

Für eine als ideal definierte Koaxialleitung wird die Leitungsimpedanz ausführlicher hergeleitet. Der Wellenwiderstand ist ein Wirkwiderstand, aber kein Verlustwiderstand. Die Leitung nimmt am Einspeisepunkt Energie auf und transportiert ans Ende zur angeschlossenen Last. Ist der Lastwiderstand an den Wellenwiderstand der Leitung angepasst, so liegt Leistungsanpassung vor und die gesamte Energie wird vollständig vom Lastwiderstand aufgenommen und umgesetzt.

Mathematische Herleitung einer Leiterimpedanz

Der Wellenwiderstand des freien Raumes

Entfernt man in der mathematischen Herleitung der Gleichung des Wellenwiderstands alle Werte, die mit der Drahtleitung in Verbindung stehen, so bleiben nur die Naturkonstanten übrig. Aus ihnen errechnet sich der Wellenwiderstand des freien Raumes. Er ist bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle im Raum wirksam.

Herleitung zum Wellenwiderstand des freien Raumes

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Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit

Im Vakuum hat sowohl die Permittivität (Dielektrizitätszahl) εr als auch die Permeabilitätszahl μr den Wert 1. Besteht das Isoliermaterial einer Leitung nicht aus Luft, so ist die Permittivität größer als 1. Die Permeabilitätswerte nicht ferromagnetischer Leiter unterscheiden sich erst ab der vierten Stelle nach dem Komma. Für sie gilt in sehr guter Näherung weiterhin der Wert 1. Werden der Induktivitäts- und Kapazitätsbelag miteinander multipliziert, so berechnet sich daraus die Ausbreitungsgeschwindigkeiten einer elektromagnetischen Welle im Vakuum oder entlang eines Leiters.

Herleitung der Signalgeschwindigkeit in Leitungen

Nur im Vakuum sind μr und εr gleich 1 und die elektromagnetische Welle breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Entlang einer Leitung mit εr > 1 bewegt sich das Signal langsamer als im freien Raum. Das Verhältnis der Geschwindigkeiten wird als Verkürzungsfaktor bezeichnet. Sein Wert ist immer kleiner als 1. Die Verkürzungsfaktoren von Koaxialleitungen weisen Werte zwischen 0,65 bis 0,85 auf.

Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Geschwindigkeit

Für elektromagnetische Wellen im Vakuum kann mithilfe der Lichtgeschwindigkeit für jede Frequenz auch die zugehörige Wellenlänge errechnet werden. In einem beliebigen Medium ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit geringer, wodurch sich auch die Wellenlänge ändert. In einem beliebigen Medium ist der Verkürzungsfaktor zu berücksichtigen, der sowohl auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit als auch auf die Wellenlänge wirkt. Die Frequenz bleibt dadurch unverändert.

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Der Skineffekt

Stromdichte

Liegt elektrische Spannung an einem Leiter an, so fließt Strom, der im und um den Leiter herum ein Magnetfeld erzeugt. Bei Gleichspannung stellt sich kurz nach dem Einschalten ein statischer Zustand ein, bei dem der Gleichstrom den gesamten Leiterquerschnitt ausfüllt. Die Stromdichte J ist eine vektorielle Größe und errechnet sich aus dem Quotienten des Stroms und des von ihm durchsetzten Leiterquerschnitts. Im Allgemeinen berechnet man den Strom mithilfe des ohmschen Gesetzes. In der theoretischen Elektrotechnik werden eher die vektoriellen Größen der Stromdichte und der elektrischen Feldstärke verwendet.

Fließt Wechselstrom durch einen Leiter, so entstehen magnetische Wechselfelder. Sie erzeugen im Leiter nach dem Induktionsgesetz Wirbelströme, die den Erregerstrom zur Leitermitte hin schwächen. In den Randbereichen verlaufen die Erreger- und Wirbelstrompfade eher in der gleichen Richtung. Ausgehend von der Leiteroberfläche nimmt die Stromdichte ins Leiterinnere hin ab. Das verringert den wirksamen Leiterquerschnitt und der Widerstand wird mit zunehmender Signalfrequenz größer. In der Skizze ist zur besseren Übersicht nur je eine Magnetfeldlinie und Wirbelstromschleife dargestellt. Die Stromdichte nimmt nach einer exponentiellen Funktion ab.

Skineffekt

Im Exponenten k stehen die Kreisfrequenz des Signals und mit der Leitfähigkeit und der Permeabilität die charakteristischen Materialeigenschaften des Leiters. Je höher die Signalfrequenz ist, desto geringer ist die Stromdichte im Leiterinneren. Der Strom fließt dann in einem schmalen Bereich nahe der Leiteroberfläche, der Leiterhaut, englisch: skin, während der Innenraum fast stromfrei bleibt. Der Einfluss des Skineffekts ist im NF-Bereich vernachlässigbar gering und gewinnt erst im HF-Bereich an Bedeutung.

äquivalente Leitschichtdicke

Vergleichbar mit der Zeitkonstante τ bei den Umladevorgängen am Kondensator ist für gute Leiter eine äquivalente Leitschichtdicke oder Skintiefe δä, englisch skin depth definiert. Als Formzeichen wird meist das nicht indizierte δ geschrieben. Auf die Leiteroberfläche bezogen verringert sich die Stromdichte im Abstand x = δä = 1 / k um den Faktor 1 / e auf 37%.

Mithilfe der theoretischen Elektrophysik kann der Dämpfungsfaktor k bestimmt werden. Damit ist die äquivalente Leitschichtdicke oder Skintiefe wie nebenstehend bestimmbar. Die folgende Tabelle zeigt die Skintiefen für drei Leiter und zunehmender Frequenz. Die Permeabilitätszahl dieser Leiter beträgt μr = 1 und die Feldkonstante μo = 4·π·10−7 Vs/Am.

50 Hz 5 kHz 500 kHz 5 MHz 50 MHz 500 MHz κ / S/m
Silber 9,11 mm 0,91 mm 91,1 μm 28,8 μm 9,11 μm 2,88 μm 61·106
Kupfer 9,35 mm 0,94 mm 93,5 μm 26,6 μm 9,35 μm 2,96 μm 58·106
Aluminium 11,7 mm 1,17 mm 117 μm 37,0 μm 11,7 μm 3,70 μm 37·106

Berechnungen zum Skineffekt

Der Gleichstromwiderstand hängt von der elektrischen Leitfähigkeit, dem Querschnitt und der Leiterlänge ab. Bei höheren Frequenzen wirkt der Skineffekt und führt zu einem größeren Wechselstromwiderstand. Ist der Leiterdurchmesser verglichen mit der Skintiefe mit D > 10·δ groß, fließt der Strom gleichmäßig verteilt in einer Ringfläche der Dicke δ und der Leiterinnenraum bleibt stromfrei. Der ohmsche Wechselstromwiderstand Rω ist proportional zur √f abhängig.

Ist die Skintiefe mit δ ≥ r groß genug, kann der Skineffekt in diesem Frequenzbereich vernachlässigt werden und der ohmsche Gleichstromwiderstand RDC ist die bestimmende Größe.

In der folgenden Tabelle sind für zwei Kupferdrähte der Länge l = 1 m mit dem Radius r1 = 0,5 mm und r2 = 0,05 mm die Werte des frequenzabhängigen Wechselstromwiderstands Rω eingetragen. Die beiden Gleichstromwiderstände errechnen sich zu RDC1 = 22 mΩ und RDC2 = 2,195 Ω.

f / MHz 50e−6 5e−3 50e−3 0,5 5 50 500
Rω1 / mΩ 0,587 5,873 18,57 58,72 185,7 587,2 1857
Rω2 / Ω 0,0058 0,0587 0,1857 0,5873 1,857 5,872 18,571

Die Werte zeigen, dass bei niedrigen Frequenzen RDC die bestimmende Größe ist. Durch Verkleinern des Drahtdurchmessers wird der Skineffekt erst ab höheren Frequenzen wirksam. Aus diesem Grund werden Spulen im hohen Frequenzbereich der Sende- und Empfangstechnik nicht mit Volldraht, sondern mit HF-Litze gewickelt. Sie besteht aus vielen dünnen, einzeln mit Lack isolierten Adern, die nach einem bestimmten System verseilt sind und eine Seidenumspinnung als Außenisolierung haben. Am Anschlusspunkt werden alle Einzeladern gemeinsam leitend erfasst, wobei die Spule durch das Parallelschalten der Einzeladern einen geringen ohmschen Widerstand erhält. Die Spulengüte ist dadurch in einem viel größeren Frequenzbereich höher als bei einem Massivdraht mit gleichem RDC und wird erst ab sehr hohen Frequenzen durch den Skineffekt negativ beeinflusst.

Einsatzfrequenz für Skineffekt

Für den wirksamen Beginn des Skineffekts kann eine sogenannte Einsatzfrequenz definiert werden. Sie ist proportional zum Leiterquerschnitt. Wird der Querschnitt halbiert, wirkt der Skineffekt erst ab der doppelten Frequenz. Die Einsatzfrequenzen für die oben verwendeten Drahtbeispiele errechnen sich zu 17,5 kHz für den Querschnitt 0,785 mm² und 1,7 MHz für den Querschnitt 7,85·10−3mm². Bei diesen Frequenzen ist der ohmsche Wechselstromwiderstand rund halb so groß wie der zugehörige Gleichstromwiderstand.