Informations- und Kommunikationstechnik

Die komplexe Rechnung

Dieses Kapitel behandelt mit den folgenden Untertiteln wichtige und notwendige Basisinformationen zur komplexen Rechnung im Elektronikbereich.

Das kartesische Koordinatensystem

Die Lage eines Punktes in der Ebene kann mittels geeigneter Koordinatensysteme eindeutig beschrieben werden. Badei ist wohl das rechtwinklige Koordinatensystem, auch kartesisches Koordinatensystem genannt, das bekannteste. Die Ebene wird durch zwei Achsen aufgespannt, wobei auf der waagerechten x-Achse senkrecht die y-Achse steht. Der Achsenschnittpunkt ist der Koordinatenursprung mit dem Wertepaar (0;0). Die Lage eines Punktes in Bezug zum Nullpunkt wird durch zwei skalare Größen, den Koordinaten des Punktes mit P(x;y) bestimmt.

Das Polarkoordinatensystem

Die Lage eines Punktes zum Koordinatenursprung kann durch die skalare Streckenlänge r, dem Radius, gemessen vom Achsennullpunkt und einem Drehwinkel φ um diesen Nullpunkt bestimmt werden. Die Punktlage wird mit P(r;φ) angegeben. Der Koordinatenursprung wird nun Pol genannt. Die x-Achse wird zur Polachse, auf die sich der Drehwinkel φ bezieht. In diesem Polarkoordinatensystem ist der waagerecht nach rechts weisenden Polachse der Wert φ = 0 zugewiesen. Der Drehsinn für positive Winkel erfolgt linksdrehend entgegen dem Uhrzeigersinn.

Koordinatensystem

Die Umrechnung zwischen beiden Koordinatensystemen verwendet Winkelfunktionen des rechtwinkligen Dreiecks. Hierbei bilden die Achsen des kartesischen Koordinatensystems den rechten Winkel. Die Voraussetzung ist, dass der Nullpunkt und der Polpunkt sowie auch die x-Achse mit der Polachse deckungsgleich liegen. Die folgende Skizze zeigt die Umrechnung:

Koordinatenumrechnung

Der Punkt P hat den Abstand r = 10 Einheiten vom Pol und liegt um φ =120° im 2. Quadranten. Die Projektionen von P auf die Achsen ergeben die Achsenabschnitte x und y und damit ein rechtwinkliges Dreieck mit r, der Hypotenuse. Der berechnete negative Drehwinkel weist auf den 2. Quadranten hin und muss zu 180° ergänzt werden.

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Die Zeigerdarstellung in der Gaußschen Zahlenebene

In der Wechselstromtechnik sind zur eindeutigen Beschreibung von Strom oder Spannung zwei Komponenten notwendig. Neben dem Betrag ist auch die Phasenlage zu beachten. Zur grafischen Darstellung von Wechselgrößen sind daher Zeiger geeignet. Sie lassen sich mathematisch durch komplexe Zahlen beschreiben, wenn ihre Zeigerlagen im Nullpunkt der Gaußschen Zahlenebene beginnen.

Komplexe Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene wird durch ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit einer waagerechten reellen Achse und einer senkrecht dazu stehenden imaginären Achse aufgespannt. Wie im kartesischen Achsensystem ist der Schnittpunkt beider Achsen der Nullpunkt. Jedem Punkt in der Ebene ist eindeutig eine komplexe Zahl Z zugeordnet.

Die imaginäre Einheit ist definiert als i2=−1. Man findet auch noch die ältere Darstellung i = √-1. In der Elektrotechnik wird der Buchstabe j verwendet, da dem elektrischen Strom traditionell der Buchstabe i zugewiesen ist.

Eine komplexe Zahl ist die Summe aus einer reellen Zahl und der Quadratwurzel einer negativen Zahl. Eine negative Zahl ist das Produkt ihrer positiven Zahl mit −1. Mit der folgenden Umformung erhält man für Z die komplexe Darstellung.

Komplexe Zahl

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Die Komponentenform einer komplexen Zahl

Zur Unterscheidung von den herkömmlichen Zahlen werden komplexe Zahlen oftmals unterstrichen geschrieben. Sie besitzen einen Realteil und den Imaginärteil als Koeffizienten von j. Sowohl der Real- als auch der Imaginärteil sind reelle Zahlen. Die allgemeine Darstellung Z = x + y · j wird algebraische Schreibweise oder Normalform genannt. Eine komplexe Zahl kann ebenso in der trigonometrischen Darstellung geschrieben werden. Zwischen beiden Komponentenformen besteht ein definierter Zusammenhang.

trigonometrische Form

In der zweidimensionalen Ebene kann jeder komplexen Zahl ein Zeiger zugeordnet werden. Er reicht vom Pol, dem Nullpunkt, zu den Punktkoordinaten der komplexen Zahl. Damit erhält man eine Verbindung zum Polarkoordinatensystem und weiter zum kartesischen Koordinatensystem. Die Systeme sind zueinander isomorph.

Die Darstellung einer komplexen Zahl im Polardiagramm heißt trigonometrische Form. Der absolute Betrag und damit die Länge des Zeigers errechnet sich nach dem Satz des Pythagoras. Er wird Modul der komplexen Zahl genannt.

Das Bogenmaß des Winkels, den der Zeiger mit der positiven reellen Achse bildet, wird als Argument der komplexen Zahl bezeichnet.

Das Argument φ einer bestimmten komplexen Zahl hat unendlich viele Werte. Sie unterscheiden sich um den Faktor n · 2 · π, wobei n ganzzahlig ist. Begründet ist das durch den periodischen Verlauf der arctan-Funktion. Bei allen Rechenoperationen wird eigentlich nur der Hauptwert des Arguments mit n = 1 benutzt.

Eine komplexe Zahl mit dem Imaginärteil gleich null ist ein Element der reellen Zahlen.
Eine komplexe Zahl mit dem Realteil gleich null ist ein Element der imaginären Zahlen.
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie im Realteil und im Imaginärteil übereinstimmen.
Bei komplexen Zahlen sind die Begriffe 'größer als' oder 'kleiner als' nicht definiert.
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in ihren Real- und Imaginärteilen gleich sind.
Zwei komplexe Zahlen sind konjugiert komplex, wenn sie sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden.

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Die Exponentialform einer komplexen Zahl

Zusätzlich zur Komponentenform oder zur trigonometrischen Schreibweise kann jede komplexe Zahl in einer weiteren wichtigen Darstellungsart, der Exponentialform geschrieben werden. Sie leitet sich aus den Potenzreihen her, die anstelle der Sinus- und Kosinusfunktionen geschrieben werden.

Herleitung der Exponentialform

Die Exponentialform zeigt deutlich, dass die im Abschnitt die Zeigerdarstellung in der Gaußschen Zahlenebene aufgestellte Bedingung zur eindeutigen Beschreibung von Wechselgrößen erfüllt ist. Die beiden Komponenten führen zur Zeigerlänge, dem Modul als skalaren Wert. Der Phasenwinkel φ ist das Argument der komplexen Größe. Alle drei Darstellungsformen komplexer Zahlen sind gleichberechtigt und ineinander umwandelbar.

Darstellungsformen komplexer Zahlen

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Zeigerdiagramme in Komponenten- und Exponentialform

Im folgenden Lehrfilm lassen sich Zeigerdiagramme interaktiv untersuchen. Im ersten Teil können entweder die Real- und Imaginärkomponente oder die Zeigerlänge, der Modul und der Drehwinkel, das Argument, eingegeben werden. Die davon abhängigen Werte werden berechnet und angezeigt. Die Komponenten und der Zeiger werden grafisch dargestellt.

Im zweiten Filmabschnitt können zwei Zeiger im 1. und 4. Quadranten platziert werden. Während des Ziehens bei gedrückter linker Maustaste wird die jeweilige Exponentialform angezeigt. Eine anschließende Berechnung ermittelt die zugehörigen Zeigerkomponenten. Die Komponentenformen werden angezeigt und der Summenzeiger grafisch dargestellt.


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Konjugiert komplexe Zahlen

Wird der Zeiger einer komplexen Zahl an der reellen Achse gespiegelt, so erhält man den Zeiger der konjugiert komplexen Zahl, wo nur die imaginäre Komponente das Vorzeichen wechselt.

konjugiert komplexe Zahlen

Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt ein reelles Ergebnis. Von dieser Tatsache macht man Gebrauch, um komplexe Nenner aus einem Gleichungssystem zu entfernen. Durch die konjugiert komplexe Erweiterung eines Bruches erhält man einen reellen Ausdruck im Nenner.

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Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen wird mit der Normalform durchgeführt. Dabei gilt die Regel, dass ihre Realteile und ihre Imaginärteile addiert oder subtrahiert werden. Wird mit der trigonometrischen Darstellung gerechnet, müssen die entsprechenden Winkeltheoreme beachtet werden.

Addition und Subtraktion komplexer Werte

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Multiplikation und Division komplexer Zahlen

Wird die Multiplikation oder Division komplexer Zahlen mithilfe der Exponential- oder Polarform ausgeführt, so sind bei der Multiplikation die Beträge zu multiplizieren und die Winkel zu addieren. Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert.

Regeln zur Multiplikation und Division komplexer Werte

Mit einigen Rechenschritten mehr kann die Multiplikation und Division komplexer Zahlen kann auch aus der Komponentenform oder kartesischen Schreibweise heraus erfolgen.

Beispiel zur Multiplikation und Division komplexer Werte