Informations- und Kommunikationstechnik

Polynomdivision

Der binomische Lehrsatz in der Form (a + b)² = a² + 2ab + b² ist sicherlich bekannt. Im Ergebnis stehen drei eingliedrige Ausdrücke mit a und b. Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom, ein zusammengesetzter mehrgliedriger Ausdruck. Dieses Kapitel befasst sich mit der Division mehrgliedriger Ausdrücke. Soll ein polynomer Zähler durch einen polynomen Nenner dividiert werden, so bringt die partielle Division der einzelnen Zählerausdrücke durch den Nenner kein vereinfachtes Ergebnis. Die Polynomdivision ist nicht Mittel zum Zweck, mit ihr lassen sich Nullstellen für Funktionsgleichungen (Polynome) höherer Ordnung finden. Bei der Grenzwertbetrachtung führt die Polynomdivision zur Funktionsgleichung einer Tangente in einem Kurvenpunkt und damit zur Ableitfunktion.

Ein eindeutig überprüfbares Beispiel ist die Division des binomischen Ausdrucks (a + b)² / (a + b) = a + b.
Kennt man nur das ausmultiplizierte Ergebnis des binomischen Lehrsatzes und soll die Division mit (a + b) durchführen, so ist die Vorgehensweise ähnlich wie bei der schriftlichen Division mehrstelliger Zahlen. Vor der eigentlichen Division ordnet man die Glieder im Zähler und Nenner nach demselben Kriterium. Die allgemeinen Zahlen werden alphabetisch nach fallenden oder steigenden Potenzen sortiert.

Das erste Glied des Zählerausdrucks wird durch das erste Glied des Nennerausdrucks dividiert. Ziel ist es, das bei der anschließenden Multiplikation des Teilergebnisses mit dem gesamten Nennerausdruck ein Ausdruck entsteht, der vom Zählerausdruck subtrahiert, sein erstes Glied aufhebt. Mit dem neu entstandenen Zählerausdruck verfährt man ebenso. Eine Polynomdivision kann mit dem Rest = 0 aufgehen oder es bleibt ein Rest bestehen. Das Verfahren wird am oben genannten Beispiel schrittweise durchgeführt. Die Glieder liegen schon geordnet vor.

Schrittfolge der Polynomdivision

Die Division von a2 des linken Ausdrucks durch a ergibt das Teilergebnis a. Multipliziert mit dem Nenner (a + b) wird das Ergebnis vom Zähler subtrahiert und liefert −ab. Der Rest des Zählers wird angehängt und ergibt (ab + b2)). Es wird wieder durch a dividiert mit dem Teilergebnis b. Die Multiplikation mit dem Nenner wird subtrahiert, wobei die Rechnung restlos aufgeht. Man erhält das von oben her erwartete Ergebnis (a + b).

 

Nullstellenbestimmung bei Polynomfunktionen höherer Ordnung

Die Nullstelle einer linearen Funktion zu bestimmen ist einfach. Die Funktionsgleichung y = f(x) wird null gesetzt und der Wert für x an der Stelle Null ausgerechnet. Mit etwas mehr Rechenaufwand unter Anwendung der p-q–Formel können bei einer quadratischen Funktion, der Parabel, vorhandene Nullstellen ermittelt werden. Enthält die Funktionsgleichung höhere Potenzen, kann die Polynomdivision hilfreich sein, sofern sich eine Nullstelle durch Probieren finden lässt.

Die Nullstellen der Funktion dritten Grades y = f(x) = 2x3 + 3x2 − 5x − 6 sollen durch Polynomdivision errechnet werden. Eine Nullstelle findet man durch Einsetzen von x = −1. Der Wert dieser Nullstelle ist in den Teiler immer mit entgegengesetztem Vorzeichen einzusetzen. Das Polynom f(x) wird somit durch den Ausdruck (x + 1) dividiert.

Durchführung einer Nullstellenbestimmung

Das Ergebnis der Polynomdivision ist eine quadratische Gleichung. Sie wird in die p-q–Form umgewandelt und Null gesetzt. Die Nullstellen errechnen sich nach Anwenden der p-q–Formel. Die Beispielfunktion 3.Grades hat mit −1, −2 und +1,5 drei reelle Nullstellen.

Funktionsterm aus Nullstellenfaktoren

Im Umkehrschluss kann man bei Kenntnis der Nullstellen daraus die Funktionsgleichung ermitteln. Man bildet mit den negierten Nullstellenwerten die Faktoren (x + Nullstelle) und multipliziert diese. Das zeigt die Rechenprobe für das gerade gelöste Beispiel.

In einem weiteren Beispiel werden die Nullstellen eines Polynoms höherer Ordnung durch Polynomdivision ermittelt. Die Stammfunktion f(x) ist so gewählt, dass die Nullstellen zur Bildung des Divisionsfaktors leicht gefunden werden können.

mehfache Polynomdivision

Die Funktion 5. Ordnung hat fünf reelle Nullstellen bei xN1 = −1, xN2 = +2, xN3 = −2, xN4 = +3 und xN5 = −5.
Der dargestellte Funktionsgraph wurde mit mathematischer Software erstellt.