Informations- und Kommunikationstechnik

Die Ableitungsfunktion

Der Funktionsgraph einer Geraden zeichnet sich durch eine konstante Steigung für jeden gewählten Kurvenabschnitt aus. Wie bei der Funktion 1. Ordnung gezeigt wird, kann sie aus dem Steigungsdreieck und dem zugehörigen Differenzenquotienten ermittelt werden. Funktionen höherer Ordnung zeichnen sich in ihren Kurvenpunkten durch unterschiedliche Steigungswerte aus. Die Steigung im ausgewählten Kurvenpunkt kann durch das Anlegen und Zeichnen einer Tangente bestimmt werden. Die Tangentensteigung lässt sich dann wieder durch ihren Differenzenquotienten ermitteln.

Für diese nicht effektive Bestimmungsmethode wird eine allgemeingültige Methode oder Funktionsgleichung gesucht, mit der man die Steigung in jedem Kurvenpunkt direkt errechnen kann. Die Gerade, die durch zwei nahe beieinanderliegende Kurvenpunkte geht, heißt Sekante. Ihre Steigung ist aus dem Differenzenquotienten unter Verwendung der beiden Kurvenpunktkoordinaten bestimmbar. Lässt man den einen Punkt P auf den anderen feststehenden Punkt P1 zustreben, so geht die Sekante im Punkt P1 in die Tangente über.

Die Tangente im Kurvenpunkt P1 wird als Grenzlage verstanden, zu der eine Folge von Sekanten durch P1 und einem weiteren Kurvenpunkt P zustrebt, wenn sich P unbegrenzt P1 nähert. Bei der Annäherung streben die Sekantensteigungen einem eindeutigen Grenzwert, der Tangentensteigung, zu. Der folgende interaktive Lehrfilm zeigt für vier auswählbare Kurvenpunkte den Übergang der Sekantensteigungen zur Tangentensteigung in diesem Punkt.

Es ist sicherlich vorstellbar, dass sich zu einem ausgewählten Kurvenpunkt P1 Sekanten zeichnen lassen, deren zweiter Kurvenpunkt rechts oder links von P1 liegt. Die Sekantensteigungen stehen für einen Mittelwert zur gesuchten Tangentensteigung an P1. Die Steigung der Tangente an P1 ist der Momentanwert. Ergeben beide Sekantenfolgen von rechts und links kommend beim Grenzübergang, wo der Differenzenquotient in den Differenzialquotienten übergeht, den gleichen Grenzwert, so ist die betrachtete Funktion an der Stelle P1 differenzierbar.

Die Funktion f(x) ist im Definitionsbereich stetig. Sie ist an jeder Stelle differenzierbar, wenn für jeden Kurvenpunkt der rechts- und linksseitige Grenzwert gleich der Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt ist. Für f(x) existiert eine Ableitungsfunktion f ' (x), die den Wert der Steigung für jeden Kurvenpunkt bestimmt.

Beim Einsetzen der Abszissenwerte von P1 und P in die Funktionsgleichung f(x) erhält man die zugehörigen Ordinatenwerte der Funktion. Der Zählerausdruck des Differenzenquotienten (y1 − y) kann somit als f(x1) − f(x) geschrieben werden. Eine direkte Berechnung der Tangentensteigung im gewählten Kurvenpunkt P1 mithilfe des Differenzenquotienten führt zu keinem sinnvollen Ergebnis, da sowohl der Zähler als auch der Nenner den Wert 0 annehmen.

Zur Bestimmung des Grenzwertes errechnet man aus dem Funktionsterm des Differenzenquotienten eine Steigungsfunktion g(x1), die an allen Stellen stetig sein muss. An den Stellen mit x≠x1 ist das Ergebnis des Differenzenquotienten die Steigung einer Sekante. An der Stelle x = x1 gibt der Limes des Differenzenquotienten die Tangentensteigung im Punkt P1 an. Die Grenzwertbildung führt zur gesuchten Ableitfunktion f ' (x).

Ersatzfunktion

Die folgenden Beispiele zeigen, dass durch einfaches Einsetzen von x = x1 in die Steigungsfunktion der Grenzwert bestimmt werden kann. Für die Funktionsgleichung einer Geraden ist das Ergebnis besonders leicht zu überprüfen, da ihre Steigung konstant und mit dem Steigungsfaktor des linearen Glieds identisch ist.

Ableitungsbeispiel mit Grenzwertbetrachtung

Beim Kürzen des Differenzenquotienten durch den Nenner mit x ≠ x1 ist das Ergebnis die Steigungsfunktion g(x1) mit konstantem Wert, wobei x nicht mehr vorkommt. Mit der Grenzwertbildung bleibt in der Ableitfunktion f ' (x) der Wert unverändert.

Auf Funktionen höherer Ordnung, im folgenden Beispiel eine ganzrationale oder Polynomfunktion dritten Grades, kann dieser Rechenweg ebenso angewendet werden. Solange x ≠ x1 ist, kann der Differenzenquotient ausgerechnet werden. Man erhält eine Steigungsfunktion g(x1). Wenn sie für alle Werte von x stetig ist, führt die Grenzwertbildung zur Ableitfunktion im Kurvenpunkt P1. Sie ist als f ' (x) geschrieben mit x = x1 für alle Kurvenpunkte gültig.

Polynom-Ableitung

Im Lehrfilm ist der im 1. Quadranten verlaufende Ast der Hyperbel mit der Funktionsgleichung f(x) = 10/x dargestellt. Die Ableitfunktion für diese Stammfunktion kann ebenso ermittelt werden wie in den vorangegangenen Beispielen. Ein Vergleich mit den im Film ermittelten Tangentensteigungen und den mit der folgenden Ableitgleichung errechenbaren Werten für den ausgewählten Punkt zeigt die Richtigkeit des Verfahrens.

Hyperbel-Ableitung mit Grenzwertbetrachtung

Vergleicht man die Ausgangs- oder Stammfunktion mit der zugehörigen Ableitfunktion, so kann man bei den ganzrationalen Funktionen, den Polynomfunktionen, eine Bildungsregel erkennen. Sie gilt auch für echt-gebrochen-rationale Funktionen in deren Zählern keine Potenzen größer x0 = 1 vorkommen. Für die abzuleitende Funktion wird der Exponent von x jedes einzelnen Glieds als Faktor vor das Glied geschrieben und der verbleibende Exponent um 1 erniedrigt. Da jede Konstante formal mit x0 multipliziert geschrieben werden kann, ist das Ergebnis ihrer Ableitung gleich 0.

Beispiele zur Ableitung von Stammfunktionen