Informations- und Kommunikationstechnik

Analytische Geometrie

Mit der Kenntnis über die Eigenschaften und den prinzipiellen Rechenregeln der Vektoralgebra werden hier einige Anwendungen beschrieben, bei denen Vektoren nützlich sein können. Die analytische Geometrie befasst sich mit Punkten, Geraden, Ebenen und anderen geometrischen Formen. Das Ziel ist es, die Beziehungen zwischen den geometrischen Darstellungen mathematisch zu beschreiben. Oft setzt das individuelle Vorstellungsvermögen Grenzen, um geometrisch Probleme in räumlicher Darstellung zu lösen. Mit mathematisch algebraischen Verfahren wird es einfacher. Analytische Geometrie und Vektorgeometrie ergänzen sich und setzen ein Koordinatensystem voraus. Das Bezugssystem sollen hier nur rechtwinklige Koordinatensysteme der Ebene und des Raumes mit ihrem Koordinatenursprungspunkt sein.

Vektorielle Darstellung von Geraden

Ist in einem Bezugssystem die Lage eines Startpunktes und davon ausgehend die Richtung bekannt, kann eine eindeutige Gerade gezeichnet werden. Ebenso ist die direkte, kürzeste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten eine Gerade. Mit zwei Koordinatenangaben kann die Bestimmungsgleichung einer Geraden aufgestellt werden. Das im ebenen Koordinatensystem angewendete Verfahren kann dann auf das räumliche Koordinatensystem erweitert werden.

Im weiteren Fließtext werden Vektoren durch hervorgehobene Buchstaben ohne Pfeil geschrieben.

Punkt-Richtungs-Form

Die Lage des Punkts P (Stützpunkt) ist durch den Ortsvektor r1 bestimmt, der im Koordinatenursprung beginnt und bei den Punktkoordinaten endet. Von dort zählen die Koordinaten des Richtungsvektors a, der kein Nullvektor sein darf. Bei einer Ursprungsgeraden ist der Ortsvektor ein Nullvektor und die Parameterform der Geradengleichung wird nur durch den Richtungsvektor bestimmt. Mit dem Parameter λ, einer reellen Zahl wird der Richtungsvektor multipliziert. Mithilfe der Parameterdarstellung sind alle Punkte auf der Geraden bestimmbar. Daneben steht eine oft verwendete vektorielle Geradendefinition geschrieben mit Spaltenvektoren.

Punkt-Richtungs-Form

Eine Gerade im Raum ist entsprechend durch einen Stützpunkt mit dem Ortsvektor und einen gegebenen Richtungsvektor definiert. Orts- und Richtungsvektor haben als Spaltenvektoren geschrieben dann drei Komponenten.

Zweipunkteform

Sind die Koordinaten zweier unterschiedlicher Punkte einer Geraden gegeben, kann die vektorielle Geradengleichung nach dem gleichen Grundprinzip erstellt werden. Ist P1 der Stützpunkt und P2 ein weiterer Geradenpunkt, dann ergibt sich der Richtungsvektor aus dem Vektor P1P2 und errechnet sich aus der Differenz der Komponenten von P2−P1.

Zwei-Punkte-Form

Die vektorielle Darstellung für Geraden im rechtwinklig räumlichen Koordinatensystem in Parameterschreibweise erfolgt nach dem gleichen Bildungsprinzip mit Ortsvektor und Richtungsvektor, wobei der Richtungsvektor kein Nullvektor sein darf. Sind die Komponenten des Richtungsvektors gegeben, werden sie direkt anstelle der Differenz eingesetzt.

Parameterdarstellung einer Raumgeraden

Die Parameterschreibweise ist eine spezielle Darstellung für eine Gerade. Sie unterscheidet sich deutlich von einer aus der Analysis gewohnten algebraischen Geradengleichung mit Steigung und Achsenabschnitt. Für jede bestimmte Gerade müssen beide Darstellungen gleichwertig und umwandelbar sein. In der Analysis werden die Koordinatenachsen mit x, y und z bezeichnet, wo in der analytischen Geometrie oft x1, x2 und x3 geschrieben steht. Zum leichteren Vergleich verwende ich x, y und z bei der Achsenbezeichnung.

Parameterform in Koordinatenform

Man erstellt das Gleichungssystem aus der mit Spaltenvektoren geschriebenen Parameterform. Der Parameter λ kommt in beiden Gleichungen vor und kann mithilfe der bekannten Methoden eliminiert werden. Das folgende Rechenbeispiel verwendet die Parameterform der oben dargestellten Geraden. Die Koordinatenform ist nur für Geraden im zweidimensionalen Koordinatensystem definiert. Sie kann weiter in die gewohnte Geradenfunktion mit Steigung und Achsenabschnitt umgewandelt werden.

Parameterform in Geradenfunktion

Koordinatenform in Parameterform

Komponentenform in Parameterform

Aus der Koordinatenform einer Gerade kann durch einfache Umstellung die Funktionsgleichung f(x) geschrieben werden. Mit wenigen Schritten kann aus der Koordinatenform auch die Parameterform zur vektoriellen Darstellung der Geraden in der Ebene ermittelt werden. Die Gleichung wird nach y aufgelöst und darin x durch den Parameter λ ersetzt. Mit den zwei Bestimmungsgleichungen können die Komponenten für den Orts- und Richtungsvektor als Spaltenvektor geschrieben werden.

Nimmt man die Grafik zu Hilfe, so erkennt man, dass der hier ermittelte Ortsvektor als y-Achsenabschnitt auf der Geraden endet. Der Richtungsvektor stimmt nach Multiplikation mit 2 mit dem Richtungsvektor a überein. Das Ergebnis ist eine identische Gerade.

 

Parameterform in Normalenform

Die Normalenform kann nur für Geraden in einer Ebene erstellt werden. Aus der Parameterform bildet man das Gleichungssystem. Eine der Gleichungen wird nach λ aufgelöst und in die zweite Gleichung eingesetzt. Mit den Koeffizienten von x und y erhält man die Koordinaten des Normalenvektors. Es wird noch ein weiterer Punkt bestimmt, der die Geradengleichung erfüllen muss.

Normalenform aus Parameterform

Die Normale steht senkrecht auf der Geraden und stellt die kürzeste Verbindung zum Koordinatenursprung her. Die Normalenform der Geraden ist als Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Richtungsvektor eines Geradenpunkts P(x; y) zum Aufpunkt definiert. Da beide senkrecht aufeinander stehen, ist deren Skalarprodukt null.

Normalenform in Koordinatenform

Mit dem Distributivgesetz wird die Normalenform aufgelöst und in das Gleichungssystem überführt, das zur Koordinatenform zusammengefasst wird. Auf das Beispiel von oben angewendet erhält man die Koordinatenform zurück.

Normalenform in Koordinatenform

Hessesche Normalform

Die Normalenform kann noch in die vektorielle Schreibweise der Hesseschen Normalform umgewandelt werden. Der Normalenvektor muss normiert werden, indem er durch seine Länge dividiert wird.

Umwandlung in Hessesche Normalform

Orthogonale Vektoren

Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren, die zueinander senkrecht ausgerichtet sind, ist null. Mit dieser Aussage ist ein schneller Nachweis gegeben, ob zwei Geraden rechtwinklig zueinander verlaufen. Das gilt auch für Vektoren und Geraden im rechtwinklig räumlichen Koordinatensystem.

Othogonalität nachweisen

Lineare Abhängigkeit

Vektoren sind voneinander linear abhängig, wenn die Multiplikation ihrer Koordinaten mit einem konstanten Faktor ein gleiches Ergebnis hat. Sie sind kollinear oder verlaufen parallel und nicht deckungsgleich zueinander. Bei Geradengleichungen findet die Prüfung anhand der Richtungsvektoren statt. Für Vektoren im rechtwinklig räumlichen Koordinatenkreuz gilt das gleiche Prüfverfahren.

Lineare Abhängigkeiten

Die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren kann mithilfe einer Determinante und der Regel nach Sarrus ermittelt werden.

Linear abhängige Raumvektoren

Mittelpunkt einer Strecke

Die vektorielle Bestimmung eines Streckenmittelpunkts ist in der Ebene und im Raum nach dem gleichen Verfahren möglich. Mit den Koordinaten des Streckenanfangs- und Endpunkts sind deren Ortsvektoren bekannt und der Richtungsvektor kann bestimmt werden. Da der Mittelpunkt den Richtungsvektor symmetrisch teilt, ist er mit dem Faktor 0,5 zu multiplizieren. Das Gleichungssystem der Parameterform liefert den Ortsvektor zum Mittelpunkt und somit die Mittelpunktkoordinaten. Mit der anderen dargestellten Bestimmungsmethode kommt man ohne den Zwischenschritt und dem Aufstellen der Gleichung des Streckenvektors P1P2 aus.

Streckenmittelpunkt