Informations- und Kommunikationstechnik

Vektoralgebra

Zur genauen Beschreibung vieler physikalischer Eigenschaften reichen Betragszahlen mit ihren Maßeinheiten nicht aus. So fehlt zum Beispiel bei der Geschwindigkeit, der magnetischen oder elektrischen Feldstärke neben der Betragsangabe noch die Richtung. Geraden mit gleicher Länge können sich durch unterschiedliche Ausrichtungen in der Ebene oder im Raum auszeichnen. Ein Vektor ist eine gerichtete Größe in der Maßzahl und Richtung vereinigt sind. In symbolischer Form werden Vektoren durch einen Pfeil dargestellt. Die Länge des Pfeils ist die Maßzahl oder der Betrag und die Pfeilspitze zeigt in die Richtung, in die der Betrag weist oder wirkt. Die folgenden Abschnitte bieten allgemeine und mathematische Überblicke, um mit Vektoren sinnvoll arbeiten zu können.

Nach den Vektoreigenschaften folgen Abschnitte zur Komponentendarstellung, Addition und Subtraktion, Vektorvervielfachung, Betrag eines Vektors, seiner Normierung, dem Skalarprodukt, Hinweise zur Projektion auf einen Vektor, dem Vektorprodukt und dem Spatprodukt.

Allgemeine Eigenschaften von Vektoren

Als Vektorsymbole findet man die Punktbezeichner in Großbuchstaben unter einem Pfeil in Richtung Anfangspunkt zum Endpunkt oder einen Kleinbuchstaben in Frakturschrift (deutsche Schreibschrift) oder einen Kleinbuchstaben unter einem Pfeil (lateinische Schreibschrift). Zur Betragsdarstellung wird das Vektorsymbol in Betragszeichen geschrieben.

Ein Vektor wird eindeutig durch die Lage seines Anfangs- und Endpunkts beschrieben. Der Punkteabstand ist seine Betragszahl. Zur physikalisch-technischen Vektorbeschreibung gehört die Maßeinheit.

Ganz allgemein gesehen ist der Vektor ein Vertreter der Menge aller Vektoren (Pfeile) mit gleicher Richtung und Länge. Diese Vektoren bilden eine Vektorklasse und sind zueinander gleich, wenn sie durch Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können. Sie stimmen in Betrag (Skalar) und Richtung, also allen Komponenten überein. Das Bild zeigt die Vektoren a und b als Richtungsvektor, die somit einziger Vertreter ihrer eigenen Vektorklasse sind.

Vektordarstellungen

Der Betrag, die Länge der im Bild dargestellten Vektoren, ist eine nicht gerichtete Größe und wird als Skalar bezeichnet. Zu ihr gehört noch die Angabe der Maßeinheit. Jeder der beiden Vektoren kann ohne seine Eigenschaften zu verändern unabhängig vom anderen parallel zu sich selbst verschoben werden. Vektoren mit diesen Eigenschaften nennt man freie oder ungebundene Vektoren. Darf die Verschiebung nur entlang der Wirkungsrichtung erfolgen, so handelt es sich um linienflüchtige Vektoren. Gebundene Vektoren verlaufen vom festen Anfangspunkt gerichtet zum Endpunkt.

Skalar:
Es handelt sich um eine ungerichtete Größe, die durch eine reelle Zahl und Maßeinheit eindeutig beschrieben ist.
Freier Vektor:
Er wird auch als ungebundener Vektor bezeichnet und ist ein Vertreter seiner Vektorklasse. Er ist definiert durch seinen Betrag und seine Richtung und kann unter Beibehaltung dieser Eigenschaften parallel zu sich selbst verschoben werden.
Gebundener Vektor:
Es ist ein durch seinen Anfangs- und Endpunkt festgelegter Vektor. Ohne Änderung seiner Anfangsbedingungen kann er nicht parallel verschoben werden. Von einem festen Punkt ausgehend ist er dann durch seinen Betrag und seine Richtung eindeutig definiert.
Ortsvektor:
Es ist ein an den Koordinatennullpunkt gebundener und zum Endpunkt gerichtet verlaufender Vektor.
Nullvektor:
Es ist ein Vektor der Länge 0 mit unbestimmter Richtung.

Parallele Vektoren müssen nur in ihrer Richtung übereinstimmen. Antiparallele Vektoren haben einen mit 180° entgegengesetzten Richtungssinn. Parallele und antiparallele Vektoren sind kollineare Vektoren, da man sie durch Parallelverschiebung immer auf eine gemeinsame Linie legen kann.

Einen Vektor mit gleichem Betrag (und Maßzahl) und entgegengesetzter Richtung nennt man inversen oder Gegenvektor. Er ist zu sich selbst der antiparallele Vektor. Seine Komponenten unterscheiden sich durch das Vorzeichen. Die Addition von Vektor und Gegenvektor ergibt einen Nullvektor. Anfangs- und Endpunkte sind identisch, sein Betrag ist 0 und er hat keinen Richtungssinn.

kollineare Vektoren

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Vektoren im kartesischen Koordinatensystem

Komponentendarstellung

Das numerische Rechnen mit Vektoren ist anschaulicher, wenn sie in ein Koordinatensystem eingebunden sind. Bewährt hat sich das räumliche kartesische Koordinatensystem, wo die drei Koordinatenachsen x, y und z jeweils paarweise zueinander rechte Winkel bilden. Liegen die zu berechnenden Vektoren in einer Ebene, so entfällt die z-Achse und man nutzt das ebene rechtwinklige xy-Achsensystem.

Den drei Achsen werden in gleicher Richtung Einheits- oder Basisvektoren zugeordnet. Sie sind als Ortsvektoren an den Koordinatenursprung gebunden, mit dem Betrag 1 stehen sie rechtwinklig, orthogonal zueinander. Für ihre Symbole verwendet man i, j, k.

Im weiteren Fließtext werden Vektoren durch hervorgehobene Kleinbuchstaben ohne Pfeil geschrieben.

Das Bild zeigt den Ortsvektor a im kartesischen Koordinatensystem. Er kann als Summe seiner Vektorkomponenten ax, ay, az beschrieben werden, die man durch Projektion des Vektors auf die Koordinatenachsen erhält. Im Bild sind das dann auch die Ortsvektoren, die vom Koordinatenursprung aus in die jeweiligen Achsenrichtungen weisen.

Eine äquivalente Darstellung ist die Summe der Einheitsvektoren multipliziert mit den jeweiligen Skalarkoordinaten des Endpunktes, die dann auch den Vektorkomponenten entsprechen. Am meisten genutzt wird die Schreibweise als Spaltenvektor. Im Fließtext ist es einfacher ihn als Zeilenvektor a = (ax ay az) zu schreiben.

Komponentendarstellung im Koordinatensystem

Wird der Vektor zu sich selbst parallel verschoben, dann bleiben seine Länge, die Richtung und der Richtungssinn gleich. Die Vektorkoordinaten sind bei der Parallelverschiebung unveränderlich (invariant). Bei einem gebundenen Vektor sind die Koordinaten des Anfangs- und Endpunktes festgelegt. Für die Komponentendarstellung und die Schreibweise des Spaltenvektors verschiedener Vektoren gilt:

Komponentendarstellungen

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Addition und Subtraktion von Vektoren

Wirkt eine ausreichend große Kraft auf eine ruhende Masse ein, so wird sich diese in Richtung der Kraft bewegen. Wirken mehrere Kräfte vom gleichen Angriffspunkt aus in verschiedene Richtungen, dann ist die Bewegung und Richtung der Masse eine andere. Das Ergebnis kann mithilfe der Vektorrechnung ermittelt werden.

Vektoren sind gerichtete Größen, deren Eigenschaften erhalten bleiben, wenn sie parallel zu sich selbst verschoben werden. Durch diese Parallelverschiebung lassen sich End- und Anfangspunkte der Vektoren miteinander verbinden. Das Bild zeigt zwei Vektoren die in der Ebene von einem Punkt mit den Koordinaten (2;5) aus wirken. Die resultierende Größe ist der Summenvektor, der von diesem Anfangspunkt zum Endpunkt P(8;5) zeigt.

Vektoraddition

Die beiden Vektoren R1R2 und B1B2 sind für sich gesehen freie Vektoren. Sie lassen sich als Zeilenvektor r1 = (4 2) und b1 = (2 −2) oder wie im Bild als Spaltenvektor schreiben. Versetzt man durch Parallelverschiebung den Vektor b1 mit seinem Anfangspunkt B1 an den Endpunkt R2 des Vektors r1, dann ändern sich die Punktkoordinaten. Der Punkt B1 liegt auf R2, ist also additiv um horizontal 4 und vertikal 2 Einheiten verschoben. Um die gleichen Einheiten ändern sich die Koordinaten von B2, der zum Punkt P(8;5) wird. Die Punktkoordinaten des verschobenen Vektors b2 errechnen sich durch Addition der Vektorkoordinaten r1, an dem verschoben wird, zu den Koordinaten des Anfangs- und Endpunkts.

Das Bild zeigt deutlich, dass man mit gleichem Ergebnis auch den Vektor r1 parallel zu sich entlang dem Vektor b1 verschieben kann. Der Endpunkt des Vektors r2 ist ebenfalls P(8;5). Für den Summenvektor gilt folglich: g = r1 + b2 = b1 + r2.

Liegen die Anfangspunkte der Vektoren im Koordinatenursprung, dann ist auch bei Ortsvektoren das Additionsergebnis identisch. Gleiches gilt auch für Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem. Das Ergebnis der vektoriellen Addition oder Subtraktion ist ungleich der Summe oder Differenz der Beträge (Längen) der Vektoren, es sei denn, sie liegen kollinear.

Vektoraddition
Vektoren werden addiert, indem durch Parallelverschiebung der Endpunkt eines Vektors mit dem Anfangspunkt des zu addierenden Vektors verbunden wird. Der Summenvektor ist gleich dem Vektor zwischen Anfangspunkt des Ersten und Endpunkt des letzten Vektors.

Vektorsubtraktion
Vektoren werden subtrahiert, indem der Gegenvektor des zu subtrahierenden Vektors addiert wird.

Rechenregeln der Addition und Subtraktion

Wie in der Mathematik mit Zahlen, den skalaren Größen, gilt auch bei der Addition und Subtraktion von Vektoren das Kommutativ- und Assoziativgesetz. Zur mathematischen Bestimmung des Summenvektors werden die Komponenten der einzelnen Vektoren miteinander addiert oder subtrahiert.

Rechenregeln zur Vektoraddition

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Vektorvervielfachung – Multiplikation mit einem Skalar

Vektor multipliziert mit Skalar

Reiht man gleiche linienflüchtige Vektoren aneinander und addiert sie, dann ist die Vektorsumme im Ergebnis gleich der Multiplikation der Anzahl mit dem einzelnen Vektor. Die reelle Anzahl ist eine skalare Größe und wird mit der Länge des Vektors multipliziert. Die Richtung des Vektors bleibt erhalten, wenn der Skalar positiv ist. Die Vektoren verlaufen kollinear parallel. Bei negativem Skalar kehrt sich die Richtung um und der Winkel zwischen den linienflüchtigen Vektoren beträgt 180°. Die Vektoren verlaufen antiparallel zueinander. Die Multiplikation mit null ergibt den Nullvektor. Die Multiplikation eines Vektors mit einem reellen Skalar wird meistens als S–Multiplikation bezeichnet.

Ein Vektor wird mit einem reellen Skalar multipliziert, indem seine Vektorkoordinaten einzeln mit dem Skalar multipliziert werden.

Rechenregeln zur skalaren Multiplikation

Wie bei der Multiplikation von Zahlen gilt das Assoziativ- und Distributivgesetz, wobei die Skalare Elemente der reellen Zahlen sind. Ein Kommutativgesetz gibt es nicht, da die Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor nicht definiert ist.

Rechenregeln zur skalaren Multiplikation

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Betrag eines Vektors

Die Projektion eines Vektors bildet seine Vektorkomponenten auf jede Achse des orthogonalen kartesischen Koordinatensystems ab. Sie lassen sich als Vielfache der Basis- oder Einheitsvektoren schreiben. Mit den senkrecht aufeinander stehenden Vektorkomponenten und dem Satz des Pythagoras wird der Betrag des Summenvektors bestimmt. Die Lösung nutzt die skalare Multiplikation der Vektorkomponenten mit den Einheitsvektoren, deren Quadrate den skalaren Wert 1 haben. Das Ergebnis ist ein skalarer Wert und hat als Maßzahl seiner Länge keine Maßeinheit.

Länge eines Vektors

Der Betrag eines Vektors errechnet sich aus der Wurzel der Summe der Quadrate seiner Vektorkoordinaten.

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Normierung eines Vektors

Die Normierung ist bedeutsam bei Darstellungen im Koordinatensystem. Im räumlich kartesischen Koordinatensystem haben die Einheits- oder Basisvektoren den Betrag 1 und liegen in den Achsenrichtungen. Jedem Vektor, der kein Nullvektor ist, kann ein in seine Richtung verlaufender Einheitsvektor mit dem Betrag 1 zugewiesen werden. Durch die Normierung des Vektors erhält man seinen Einheitsvektor. Als Vektorsymbol oder sein Bezeichner wird ein mit dem Vektorbuchstaben indiziertes e oder der Vektorbuchstabe mit einem Dach (Zirkumflex) geschrieben.

Normierung eines Vektors

Kann ein Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren berechnet werden, so lässt sich die Winkelhalbierende mithilfe der normierten Vektoren ermitteln. Der Summenvektor dieser Einheitsvektoren liegt in Richtung der Winkelhalbierenden. Das Bild zeigt den geometrischen Beweis der Aussage für die Einheitsvektoren, die in Richtung ihrer nicht maßstabsgerechten Vektoren a und b weisen. Die Einheitsvektoren mit dem Betrag 1 spannen ein Rhombus mit dem Summenvektor w auf, der in Richtung der Winkelhalbierenden liegt.

Winkelhalbierung mit Normvektoren

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Skalarprodukt – Inneres Produkt

Schließen zwei Vektoren einen Winkel ein, kann dieser mit dem Skalarprodukt recht einfach berechnet werden. In der Physik zum Beispiel ist die Energieänderung entlang einer Wegstrecke vom Angriffswinkel der Kraftkomponente entlang des Weges abhängig. Mit dem Skalarprodukt vereinfacht sich die Berechnung. Mit dem Kosinussatz der ebenen Trigonometrie wird das Skalarprodukt zweier Vektoren hergeleitet. Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke und kann auf jedes beliebige Dreieck angewendet werden, wenn es durch eine Höhenlinie in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt wird.

Skalarprodukt mit Kosinussatz

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren errechnet sich aus dem Produkt der Vektorbeträge multipliziert mit dem Kosinus des Winkels, der von den Vektoren eingeschlossen wird.
Folgesatz: Das Skalarprodukt errechnet sich in der Komponentendarstellung als Summe von der Multiplikation gleichartiger Komponenten.

Besteht zwischen beiden Vektoren ein spitzer Winkel, dann hat die Projektion eines Vektors auf den anderen den gleichen Richtungssinn und das Skalarprodukt ist eine positive Zahl. Bei einem stumpfen Winkel ist die Projektion antiparallel und das Skalarprodukt hat einen negativen Wert. Bilden beide Vektoren einen rechten Winkel, dann ist das Skalarprodukt null, da der Kosinus von 90° null ergibt.

Rechenregeln zum Skalarprodukt

Es gilt das Kommutativgesetz, wo das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Vektoren ist. Es gilt das Distributivgesetz wo gleiche Vektoren aus Summen und Differenzen ausgeklammert werden können. Es gilt das Assoziativgesetz mit skalaren Größen als Element der reellen Zahlen.

Rechengesetze zum Skalarprodukt

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist gleich dem Quadrat seines Betrags. In der Komponentendarstellung errechnet es sich als Summe aller mit sich selbst multiplizierten skalaren Vektorkomponenten: a·a = |a|2 = ax2 + ay2 + az2

Hat das Skalarprodukt von zwei Vektoren, die keine Nullvektoren sind, den Wert 0, dann verlaufen sie orthogonal (rechtwinklig) zueinander.

Das folgende Beispiel zeigt an zwei Vektoren in der Ebene, dass die Berechnung des Skalarprodukts mithilfe der Komponentendarstellung und des Kosinussatzes gleichberechtigt ist. Weiterhin wird mithilfe des Skalarprodukts die orthogonale Stellung zweier Vektoren nachgewiesen.

Beispiele zum Skalarprodukt

Schnittwinkel zweier Vektoren

Mit dem Skalarprodukt in Form des Kosinussatzes kann der Schnittwinkel zweier Vektoren bestimmt werden. Die Gleichung wird nach dem Kosinus des Winkels umgestellt. Der Winkel errechnet sich mithilfe des Arcuskosinus. Bei cos(φ) = 0 ist φ = 90° ein rechter Winkel. Bei cos(φ) > 0 ist das Ergebnis ein spitzer Winkel und bei cos(φ) < 0 ein stumpfer Winkel. Bei cos(φ) = ±1 sind die Vektoren kollinear ausgerichtet, parallel in gleicher Richtung bei +1 und antiparallel bei −1.

Schnittwinkel zweier Vektoren

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Projektion eines Vektors auf einen Vektor

Zwei von Nullvektoren verschiedene Vektoren in einer Ebene können zu sich parallel verschoben werden, sodass ihre Anfangspunkte zusammenliegen. Jeder der Vektoren kann auf den anderen durch senkrechte Projektion abgebildet werden. Der Projektionsvektor (rot) liegt in Richtung des Vektors, auf den er projiziert wurde, und unterscheidet sich von diesem nur durch einen Skalarwert.

Vektorprojektion auf einen Vektoren

Mit der senkrechten Projektion wird die Komponente des projizierten Vektors auf einen Vektor oder auf die Achsen des kartesischen Koordinatensystems bestimmbar.

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Vektorprodukt – Kreuzprodukt

Das Vektorprodukt von zwei Vektoren ist ein neuer Vektor, der zu jedem der beiden Vektoren senkrecht steht. Die drei Vektoren sind immer in einem dreidimensionalen Achsensystem angeordnet. Zur Unterscheidung vom Skalarprodukt mit dem Multiplikationspunkt als Rechenzeichen wird das Vektorprodukt wird mit einem Multiplikationskreuz geschrieben. Gelesen wird das Kreuzprodukt dann als a Kreuz b. Es ist auch als äußeres Produkt bekannt.

Zwei im Raum nicht parallel verlaufende Vektoren, die keine Nullvektoren sind, spannen eine Ebene auf. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren steht als Vektor senkrecht auf dieser Ebene. Sein Betrag ist die Maßzahl des Flächeninhalts des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Die drei Vektoren bilden ein Rechtssystem in der Reihenfolge a, b, (a x b). Wenn alle drei Vektoren im gleichen Anfangspunkt beginnen und man würde den Vektor a zum Vektor b über den kleineren Winkel hin drehen, dann ergibt sich in der Richtung a x b die Drehung im Sinn einer Rechtsschraube.

Das folgende Bild zeigt nicht maßstabsgerecht die Flächenberechnung eines durch die Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. Davon ausgehend soll eine Bestimmungsgleichung für das Vektorprodukt hergeleitet werden, die ohne Kenntnis des Winkels auskommt und nur die Vektorkoordinaten nutzt. Grundlage dazu ist der Satz des Pythagoras für Winkelfunktionen.. In einer Nebenrechnung kann in Gl.(II) der Ausdruck unter der Wurzel ausmultipliziert und vereinfacht werden, da nur skalare Vektorkomponenten auftreten. Das Ergebnis so zusammenstellen, dass der binomische Lehrsatz angewendet werden kann. Mit der in Gl.(III) bestehenden Gleichheit kann die Gl.(II) für die Fläche neu geschrieben werden.

Vektorprodukt mit Herleitung

Der größte Wert des Vektorprodukts nach Gl.(I) ergibt sich beim Aufspannwinkel von φ = 90°. Bei einem Winkel von φ = 0° liegen beide Vektoren parallel zueinander und das Kreuzprodukt hat den Wert null. Das ist ebenso der Fall, wenn mindestens einer der Vektoren ein Nullvektor ist.

Bildet man das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt mit einem seiner beiden Vektoren, muss sich null ergeben, da das Kreuzprodukt immer senkrecht auf der aufgespannten Fläche steht. Die Behauptung wird im folgenden Bild für einen Vektor gezeigt. Mit dem Skalarprodukt für beide Vektoren wird anschließend auf einem anderen Weg die Komponentendarstellung des Kreuzprodukts hergeleitet.

Vektorprodukt steht senkrecht auf seinen Vektoren

Der Vektor p ist das Kreuzprodukt der Vektoren a x b. Mit den beiden Gleichungen für das Skalarprodukt a·p und b·p lassen sich in der Komponentenschreibweise zwei Gleichungen aufstellen. Die drei unbekannten Komponenten des Kreuzprodukts treten in beiden Gleichungen auf. Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn man für eine Unbekannte einen festen Wert bestimmt.

Skalarprodukte

In der Gl.(V) wird ausgeklammert, alles auf einen Hauptnenner gebracht und ausmultipliziert, wobei die Reihenfolge der Skalarfaktoren frei ist. Anschließend wird by ausgeklammert und man erhält Gl.(VI). In dieser Gleichung für Komponente px einen geeigneten Wert finden, mit dem sich die Komponenten py und pz vereinfacht schreiben lassen.

Herleitung zum Vektorprodukt

Vektorprodukt in der Determinantendarstellung

Die skalaren Komponenten des Kreuzproduktvektors p = a x b stimmen mit den weiter oben ermittelten Differenzen überein. Wenn das Ergebnis dem Aussehen nach zum Lösungsschema einer Determinante passt, muss man sich die korrekte Indizierung nicht merken. Werden die Vektorkomponenten räumlich angeordneter Vektoren in ihrer Reihenform geschrieben, kann die Regel nach Sarrus auf die dabei entstehende Determinante angewendet werden.

Determinante des Vektorprodukts

Sind Determinanten unbekannt, kann für das Kreuzprodukt zweier Vektoren das folgende Lösungsschema hilfreich sein. Die Vektorkomponenten werden in der vertrauten Spaltenform geschrieben. Man beginnt oben und denkt sich die 1. Zeile gestrichen. Die Diagonalwerte der Zeilen 2 und 3 von links nach rechts werden multipliziert und davon wird das Produkt der Diagonalwerte von rechts nach links abgezogen. Im Folgeschritt denkt man sich die 2. Zeile gestrichen. Diesmal ist die Differenz aus den Produkten der 3. Zeile mit der 1. Zeile zu bilden. Das letzte Wertepaar errechnet sich beim Streichen der 3. Zeile aus den Diagonalen der Zeilen 1 und 2. In den Produkten ist die Reihenfolge der Skalarwerte frei.

Lösungsschema1 zum Vektorprodukt

Ein ähnliches, vielleicht leichter merkbares Lösungsschema zeigt das folgende Bild. Die in Spaltenform geschriebenen Vektorkomponenten werden nach unten um die beiden oberen Komponenten erweitert. Ausgehend von der zweiten Zeile wird das Produkt mit der Folgezeile diagonal von links oben nach rechts geschrieben und das diagonale Produkt von links unten nach rechts subtrahiert. Das Schema wird für die folgenden Zeilen beibehalten und zum vorhergehenden Block addiert.

Lösungsschema2 zum Vektorprodukt

Rechenregeln zum Vektorprodukt

Da die drei Vektoren des Kreuzprodukts ein Rechtssystem bilden, besteht kein Kommutativgesetz. Vertauscht man die beiden Vektoren im Kreuzprodukt, so zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung. Man kann das auch als Antikommutativgesetz bezeichnen. Anwendbar sind das Distributivgesetz und das Assoziativgesetz mit reellen Skalaren.

Rechengesetze zum Vektorprodukt

Das Kreuzprodukt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ist immer dann null, wenn beide Vektoren kollinear verlaufen. Für die drei Einheitsvektoren des räumlichen rechtwinkligen Achsensystems besteht ein Rechtssystem nach folgendem Schema:

Rechtssysteme der Einheitsvektoren

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Spatprodukt

Zur Volumenberechnung eines dreidimensionalen Körpers sind Angaben zur Grundfläche und Höhe notwendig. Das entspricht drei unterschiedlichen Richtungsangaben und sollte daher auch mit Vektoren möglich sein. Mit dem Vektor- oder Kreuzprodukt kann der Flächeninhalt bestimmt werden. Die Höhe steht mit einem bestimmten Winkel auf dieser Fläche und weist in Richtung der dritten Dimension. Stehen die drei Richtungsvektoren senkrecht aufeinander, so bilden sie die Kanten eines Rechtecks oder bei gleichen Längen eines Würfels.

Bei schiefwinkliger Ausrichtung entsteht ein aus sechs Parallelogrammen gebildetes Parallelepiped. Ein sehr bekanntes Beispiel ist der Kalkspat. Das Kalziumkarbonat CaCO3 bildet Spatkristalle als große schiefwinklige Quader aus. In der Schulphysik werden am Kalkspatkristall Versuche zur Lichtdoppelbrechung gezeigt. Nach der Kristallform nennt man dieses gemischte Produkt auch Spatprodukt.

Zwei Kanten eines Spatkristalls a und b spannen als Vektoren definiert die Grundfläche auf. Das Vektorprodukt steht als Flächenvektor senkrecht darauf. Das Kristallvolumen wird durch die dritte zur Fläche schiefwinklig stehende Kante bestimmt. Projiziert man diesen Kantenvektor c senkrecht auf den Flächenvektor, dann ist die Projektionslänge gleich der Spathöhe. Sie kann aus dem Skalarprodukt des Flächenvektors (a x b) mit dem Kantenvektor c und dem von beiden eingeschlossenen Winkel berechnet werden.

Spatprodukt

Das Spatvolumen errechnet sich als gemischtes oder Skalarprodukt aus den Vektoren, dessen Projektion für die Höhe steht mit dem Flächenvektor, dem Kreuzprodukt der beiden Vektoren, die die Ebene aufspannen. Der Betrag des Spatprodukts ist gleich dem Volumenmaß des Körpers, der durch die drei Raumvektoren aufgespannt wird. Der Wert ist positiv, wenn die drei Ausgangsvektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, sonst negativ. Der dritte Vektor, hier c, bildet mit dem Normalenvektor der Fläche den Einschlusswinkel φ. Bei einem Winkel von 90° ist das Volumen null. Die drei Vektoren sind komplanar und linear abhängig, da sie in einer Ebene liegen.

Das Spatprodukt (c a b) der drei Vektoren ist das skalare Produkt des Vektors c mit (a x b).

Zur Berechnung des Spatprodukts mit der Komponentendarstellung der Vektoren ist die Kenntnis des Winkels nicht notwendig. Gleiches gilt bei der Berechnung aus der Determinantenschreibweise mithilfe der Sarrus-Regel. In der Determinante können die Vektorkomponenten in der Zeilen- oder Spaltenform angeordnet sein.

Komponenten- und Determinantendarstellung des Spatprodukts

Rechenregeln zum Spatprodukt

Es gibt kein Kommutativgesetz. Im Spatprodukt ist immer das Vektorprodukt geklammert, da der Ausdruck (a·b) x c keinen Sinn ergibt. Der Wert des Spatprodukts bleibt gleich, wenn die drei Vektoren zyklisch vertauscht werden, aber die Rechenzeichen an ihrer Stelle stehen bleiben. Werden im Kreuzprodukt zwei Vektoren vertauscht, so findet ein Vorzeichenwechsel statt. Der Wert des Spatprodukts ändert sich beim Tausch der Rechenzeichen nicht, wenn die Reihenfolge der Vektoren erhalten bleibt.

Rechenregeln zum Spatprodukt