Informations- und Kommunikationstechnik

Überlagerung periodischer Signale

Wird eine Schaltung von mehreren Gleichspannungs- oder Gleichstromquellen versorgt, dann errechnet sich die Ausgangsgröße unter Berücksichtigung der Vorzeichen durch einfache Addition. Es gelten die beiden Kirchhoffschen Regeln. Mehrere periodische Quellensignale ergeben ebenfalls ein Summensignal. Beim Addieren von Wechselgrößen ist der zeitliche Verlauf und damit die Phasenlage zu berücksichtigen.

lineare Addition zweier Sinussignale

Die Grafik zeigt die Zeitdiagramme von zwei Sinussignalen mit 100 Hz in blau und 200 Hz in hellblau. Beide Signale wurden in einer Schaltung an einem ohmschen Widerstand linear addiert wobei das Summensignal in grün dargestellt ist. Es ist zu erkennen, dass sich der Amplitudenverlauf des Ausgangssignals zu jedem Zeitpunkt durch die Addition der Momentanwerte der Eingangssignale ergibt. Die Periodizität des Summensignals wird von der niedrigsten Signalfrequenz bestimmt.

In Schaltungen mit Blindwiderständen überlagern sich oftmals Sinussignale gleicher Frequenz mit unterschiedlichen Phasenlagen. Das Summensignal kann auch in diesem Fall durch die Addition der Momentanwerte zu gleichen Zeitpunkten erhalten werden. Eine weitere Möglichkeit bietet das Zeigerdiagramm oder sogleich die mathematische Lösung. Alle Zeiger haben die Länge der maximalen Signalamplitude und rotieren gegen den Uhrzeigersinn, wobei die horizontale Achse mit φ = 0° als Bezug definiert ist. Beim Drehwinkel φ oder ω·t entspricht die Projektion des Zeigers auf die y-Achse dem momentanen Amplitudenwert der Sinuskurve. Beide Zeiger rotieren mit dem gleichen Phasenwinkel und der Summenzeiger ist immer die geometrische Addition der Einzelzeiger. Das Ergebnis ist ein Sinussignal mit einem neuen Maximalwert und einem bestimmten Nullphasenwinkel.

Addition mit unterschiedl. Nullphasenwinkel

Die beiden Spannungszeiger û1 und û2 rotieren synchron um den Koordinatenursprung. Zur geometrischen Addition wird der hellblaue Zeiger mit seinem Anfang an die Spitze des blauen Zeigers parallel verschoben. Folglich rotiert û2 synchron an der Zeigerspitze von û1. Die Summe der Projektionen beider Zeiger auf die Vertikale ergibt die aktuelle Sinusamplitude des Summensignals. Der Winkel des Summenzeigers û zur Horizontalen ist der neue Nullphasenwinkel der Summenspannung.

Zum Zeitpunkt t = 0 hat die Ausgangsspannung u gerade den Wert von u2. Noch nicht bestimmt ist die maximale Zeigerlänge, der Spitzenwert û der Summenspannung und der zugehörige Nullphasenwinkel.

Zum Zeitpunkt, der dem Rotationswinkel 45° entspricht, ergeben sich die Zeigerstellungen im unteren Bildteil. Die aktuelle Sinusamplitude des Summenzeigers ist gleich der Addition der beiden Sinuswerte der Teilspannungen und entspricht so der Konstruktion mithilfe des Zeitdiagramms. Der Nullphasenwinkel der Summenspannung bezogen auf û1 ist gleich geblieben.

Die drei Zeiger bilden kein rechtwinkliges Dreieck, sodass eine einfache Bestimmung der maximalen Zeigerlänge für û nicht gegeben ist. In der Ausgangsstellung im oberen Bildteil ist zu erkennen, dass die Projektion des Summenzeigers auf die Horizontale mit den bekannten Parametern der beiden Spannungen û1 und û2 bestimmbar ist. Der Nullphasenwinkel φu kann dann über den Tangens leicht berechnet werden. Mit ihm kann anschließend auch der Spitzenwert der Summenspannung ermittelt werden. Praktischer ist es eine allgemeingültige Beziehung für den Summenzeiger aus den Sinusfunktionen der beiden sich additiv überlagernden Spannungen herzuleiten.

Herleitung der Funktionsgleichung

Die folgende Grafik zeigt die Zeitdiagramme einer Simulation in der zwei Sinusspannungen mit einer Frequenz von 100 Hz, unterschiedlichen Amplituden und Nullphasenwinkeln additiv an einer linearen Widerstandsschaltung überlagert wurden. Der Spitzenwert des Summensignals û und der Nullphasenwinkel φ stimmen mit den Werten überein, die sich mit den zuvor hergeleiteten Formeln errechnen lassen. Der Nullphasenwinkel des Summensignals ist nicht nur von den Nullphasenwinkeln der sich überlagernden Spannungen, sondern auch von deren Amplituden abhängig.

Simulationsergebnis zur additiven Überlagerung

Beim Zusammenschalten von Signalquellen kann deren Innenwiderstand eine Rolle spielen. Werden Wechselspannungsquellen in Reihe geschaltet, so errechnet kann die Summe der einzelnen Innenwiderstände gebildet werden. Eine Parallelschaltung von Wechselspannungsquellen sollte nur dann erfolgen, wenn sie in Signalform, Amplitude, Frequenz und Phasenlage übereinstimmen. Jede Quelle sollte den gleichen Innenwiderstandswert haben, damit es nicht zu Ausgleichsströmen kommt.

Signalüberlagerungen mit interaktiven Darstellungen

Im folgenden interaktiven Flashprojekt lassen sich verschiedenen Möglichkeiten zur Überlagerung sinusförmiger Signale untersuchen. Zur optimalen Darstellung sind die Signalparameter nur in vorgegebenen Bereichen einstellbar. In einer ersten einfachen Darstellung kann man sich mit dem Liniendiagramm der Sinus- und Cosinusfunktion vertraut machen, Darstellungen, die vom Oszilloskopieren her bekannt sind.

Die Phasenverschiebung zwischen ±180° kann bei fester Frequenz untersucht werden. Man erkennt, dass in einer Periode auf der x-Achse der Streckenanteil der Verschiebung zweimal auftritt. Wird die x-Achse in Winkelgrad unterteilt, so kann durch das entsprechende Streckenverhältnis der Teilstrecke bezogen auf die Gesamtstrecke mit 180° oder 360° der aktuelle Phasenwinkel errechnet werden.

Die Signalüberlagerung kann sowohl im Liniendiagramm als auch im zugehörigen Frequenzspektrum untersucht werden. Ein Referenzsignal ist vorgegeben, während das zweite Sinussignal für drei interessante variable Frequenzbereiche umschaltbar ist. Zusätzlich kann der Einfluss einer Signalamplitude beobachtet werden. Die Signale werden an einer Baugruppe mit linearer Kennlinie, im einfachsten Fall eine ohmsche Widerstandsmatrix, additiv überlagert. Dieses Überlagerungssignal ist oftmals das Eingangssignal einer Amplitudenmodulation.

Die analoge Amplitudenmodulation ist eine multiplikative Überlagerung von Signalen an einer nicht linearen Kennlinie. In den einfachsten Fällen erfolgt die Überlagerung an Halbleiterdioden oder der Basis-Emitterdiode eines Transistors. In der integrierten Schaltungstechnik werden Multiplizier-ICs eingesetzt. Das Modulationsergebnis kann bei vorgegebener Trägerfrequenz im Liniendiagramm oder als Fourieranalyse betrachtet werden. Das Informationssignal ist in der Frequenz und der NF-Amplitude einstellbar. Auf die Darstellung der nicht sinnvollen Übermodulation wurde bewusst verzichtet. Zusätzlich besteht die Möglichkeit der Umschaltung zur Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger.

Letztendlich kann die Frequenzmodulation in einigen wichtigen Parametern dargestellt werden. Die kontinuierliche Fourieranalyse ist mathematisch aufwendig. Die Darstellung der Spektren erfolgt daher nur stufenweise umschaltbar für festgelegte Modulationsindizes und entsprechen dabei dem gewählten Realfall.