Die Spule im Gleichstromkreis

Wird ein langer Leiterdraht in aufeinanderfolgenden Windungen auf einen nichtleitenden mechanischen Träger ein- oder mehrlagig aufgewickelt, so entsteht eine Spule. Sie hat immer einen Widerstandswert, der bei Kenntnis der Drahtlänge, dem Drahtquerschnitt und der elektrischen Leitfähigkeit des Drahts errechnet werden kann. Zusätzlich zu diesem Wirkwiderstand hat jede Spule eine Induktivität.

Wird Gleichspannung an einen Wirkwiderstand gelegt, dann fließt sofort der nach dem Ohmschen Gesetz errechnete maximale Strom. Bei einer Spule mit kleinem Drahtwiderstand und vielen Windungen nimmt der Strom nichtlinear zu und erreicht erst nach einer bestimmten Zeit den maximalen Strom, der dann vom Drahtwiderstand bestimmt ist. Dieses Verhalten kann sehr gut mit einem Zweikanal Oszilloskop dargestellt werden. Generell sind Oszilloskope Spannungsmessgeräte, daher muss für die Strommessung ein kleiner Widerstand in Reihe zur Spule geschaltet werden. Die Spannung an diesem Messwiderstand ist dann proportional zum Strom. Mit dem anderen Kanal wird der Spannungsverlauf parallel zur Spule dargestellt.

Beide Messgrößen zeigen einen nichtlinearen exponentiellen Verlauf. Das Verhalten einer Spule im Gleichstromkreis ist prinzipiell vergleichbar mit dem Aufladen eines Kondensators an einer DC-Quelle. Im Unterschied zum Kondensator, wo nach dem Aufladen die Quellenspannung am Kondensator messbar ist und kein Strom fließt, ist an der Spule praktisch keine Spannung messbar, während der maximale Strom fließt. Der Kondensator speichert die aufgenommene Energie im elektrischen Feld. Die Spule speichert die zugeführte Energie in einem konstanten Magnetfeld und ist auf den dauerhaften Strom angewiesen.

Schaltdiagramme im Gleichstromkreis

Der folgende Videoclip zeigt für drei verschiedene Induktivitäten die Ein- und Ausschaltvorgänge. Der Drahtwiderstand der Spule ist im Vorwiderstand enthalten. Für den Einschaltprozess ist Schaltung mit einer Konstantspannungsquelle verbunden. Beim Ausschaltprozess ist die DC-Quelle abgetrennt und der Vorwiderstand bildet mit der Spule den Stromkreis. Für jeden Versuchsabschnitt hat die Spule eine bestimmte Induktivität während der Vorwiderstand für den Ein- und Ausschaltprozess einen anderen Widerstandswert hat. Der Videoclip kann nur mithilfe der einblendbaren Controlleiste gesteuert werden.

Wird der Stromkreis zur DC-Quelle geschlossen dann ist die zeitliche Stromänderung dI/dt von null ausgehend anfangs am stärksten und erreicht einen Maximalstrom. Das scheint für eine Schaltung mit einem Drahtwiderstand ungewöhnlich zu sein. Jede reale Spule ist eine Reihenschaltung des konstanten Drahtwiderstands RCu mit der idealen Induktivität L (Spule). Die angelegte DC-Quellenspannung ist konstant, folglich muss die Spule mit ihrer Induktivität als Spannungsquelle wirken. Für die (Selbst)induktionsspannung gibt es in Formelsammlungen für lange Spulen eine Funktionsgleichung, die an dieser Stelle nicht hergeleitet wird. In dieser Funktion ist L die Induktivität der Spule mit der Einheit Henry \(1\,H = 1\,Vs/A\): \[{U_{ind}}(t) = L \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\quad mit\quad L = {\mu _o}{\mu _r}{n^2}\frac{A}{l}\]

Die folgende Grafik zeigt, dass nach den Einschalten der zeitliche Stromanstieg am stärksten zunimmt, also positiv ist. Die DC-Quelle wird von der Spule und ihrem in Reihe geschalteten konstanten Drahtwiderstand belastet. Im Verbraucherzählpfeilsystem weisen Spannungs- und Strompfeile in die gleiche Richtung. Nach der Funktionsgleichung ist die (Selbst)induktionsspannung positiv und anfangs sehr hoch.

Es kann eine Maschengleichung aufgestellt werden: \({U_o} = {U_{ind}}(t) + {U_R}(t)\). Die Spannungen an den beiden Lastwiderständen wird vom zeitlich abhängigen Strom I(t) bestimmt, der nach einiger Zeit den konstanten Maximalstrom Io erreicht. Dieser errechnet sich nach dem Ohmschen Gesetz aus der Quellenspannung und dem Widerstandswert. Für die Stromänderung gilt die Exponentialfunktion: \[I(t) = {I_o} \cdot (1 - {e^{ - t/\tau }})\;\;\,\quad (1)\] Ist der Stromkreis geschlossen, so fließt zum Zeitpunkt t = 0 kein Strom und die Spannung am Widerstand ist null. Das bedeutet, dass die Induktionsspannung Uind(t) gleich der Quellenspannung Uo sein muss und die Spule sich wie eine Spannungsquelle verhält. Sie hat ihr positives Potenzial (φ+ blau) dort, wo sie mit dem Pluspol der DC-Quelle verbunden ist. Im Einschaltmoment ist das Potenzial der DC-Quelle (φ+ rot) gleich dem Spulenpotenzial (φ+ blau) und die Potenzialdifferenz, also die Spannung, die den Strom im Stromkreis verursacht, ist null. Es gibt keinen Widerspruch zur Lenzschen Regel, denn die Spule wirkt mit ihrem Verhalten der von der DC-Quelle ausgehenden Stromänderung entgegen.

Nach einer bestimmten Zeit ändert sich der Strom nicht mehr und ist mit I(t) = Io konstant. Die (Selbst)induktionsspannug der Spule ist null und der Maximalstrom wird vom Wirkwiderstand in der Schaltung bestimmt. Solange er fließt, speichert die Spule Energie im konstanten Magnetfeld.

Mathematische Herleitung des Einschaltvorgangs

In einem sich ändernden äußeren Magnetfeld (magnetische Fremderregung) erzeugt eine Spule an ihren Anschlüssen eine sich ändernde (Selbst)induktionsspannung. Fließt elektrischer Strom durch eine Spule, so entsteht senkrecht zur Stromrichtung um jede Leiterwindung ein magnetischer Fluss. Bei einer Stromänderung ändert sich proportional der magnetische Fluss und die Spule reagiert auf ihr sich änderndes Magnetfeld. Sie generiert eine (Selbst)induktionsspannung Uind und wird zur Spannungsquelle. Nach der Lenzschen Regel muss Uind so gerichtet sein, dass sie der Stromänderung entgegen wirkt. Im Erzeugerzählpfeilsystem sind die Zählpfeilrichtungen für Spannung und Strompfeil entgegengesetzt.

Im Videoclip und im Diagramm weiter oben ist zu erkennen, dass zum Zeitpunkt t = 0 der Strom I(t) = 0 ist. Im Einschaltmoment ist Uo die konstante DC-Quelle und die reale Spule bildet im Verbraucherkreis die Lastkomponente. Der zeitliche Stromverlauf I(t) wird nach der Gl.(1) berechnet und erreicht nach einiger Zeit den Maximalstrom Io. Die e-Funktion hat als Exponent den benennungslosen Zahlenwert \(t/\tau \). Darin ist \(\tau = \frac{L}{R}\) und wird als Zeitkonstante bezeichnet. Der Widerstand R ist der Summenwiderstand der Reihenschaltung aus dem Drahtwiderstand der Spule, dem Innenwiderstand der DC-Quelle und einem weiteren konstanten Vorwiderstand. Da nach fünf Zeitkonstanten praktisch ein konstanter Strom fließt, muss der Exponent negativ sein. Werden in der Maschengleichung die vom Strom abhängigen Spannungen ersetzt, die Gleichung durch L dividiert, so ist das Ergebnis eine inhomogene Differentialgleichung: \[\begin{array}{l} {U_{ind}}(t) + {U_R}(t) = {U_o}\\ L\frac{{d\,I(t)}}{{dt}} + R \cdot I(t) = {U_o}\\ \frac{{d\,I(t)}}{{dt}} + \frac{R}{L} \cdot I(t) = \frac{{{U_o}}}{L} \end{array}\] Mit der Anfangsbedingung für t = 0 stellt die folgende Funktion ein Lösung für I(t) dar:

Mathematische Herleitungen

Einschaltprozess

Im Videoclip und im Diagramm weiter oben ist zu erkennen, dass zum Zeitpunkt t = 0 der Strom I(t) = 0 ist. Die reale Spule ist die Reihenschaltung einer idealen Induktivität L mit ihrem Drahtwiderstand RCu. Sie ist mit einer Konstantspannungsquelle Uo mit vernachlässigbar kleinem Innenwiderstand im Vergleich zum Drahtwiderstand der Spule verbunden. Der zeitliche Stromverlauf I(t) entspricht einer e-Funktion und erreicht nach einiger Zeit den Maximalstrom Io. Im Exponenten steht als benennungsloser Zahlenwert das Verhältnis \(t/\tau \). Da nach einiger Zeit der Strom konstant ist, muss der Exponent negativ sein. Die zeitliche Stromänderung wird mithilfe der 1. Ableitung der e-Funktion bestimmt: \[\begin{array}{l} I(t) = \frac{{{U_o}}}{{{R_{Cu}}}} - \frac{{{U_o}}}{{{R_{Cu}}}} \cdot {e^{ - t/\tau }}\quad mit\quad \tau = \frac{L}{{{R_{Cu}}}}\\ \frac{{dI}}{{dt}} = 0 - \frac{{{U_o}}}{{{R_{Cu}}}} \cdot \left( { - \frac{1}{\tau }} \right) \cdot {e^{ - t/\tau }} = \frac{{{U_o}}}{{{R_{Cu}}}} \cdot \frac{{{R_{Cu}}}}{L} \cdot {e^{ - t/\tau }}\\ \frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{{U_o}}}{L} \cdot {e^{ - t/\tau }}\quad in\quad \frac{V}{{Vs/A}} = \frac{A}{s} \end{array}\] Bei der Grenzwertbetrachtung ergeben sich folgende Ergebnisse: \[t = 0\quad \Rightarrow \frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{{U_o}}}{L}\quad und\quad t \to \infty \quad \Rightarrow \frac{{dI}}{{dt}} \to 0\] Im Einschaltmoment ist die zeitliche Änderung des Stroms am größten. Ist das Magnetfeld vollständig aufgebaut, dann ändert sich der Strom nicht mehr.

Ändert sich der magnetische Fluss, der eine Spule durchdringt, so generiert sie eine Induktionsspannung. Der magnetische Fluss ist proportional zur Stromänderung. Nach der Lenz'schen Regel muss die Indunktionsspannung so gerichtet sein, dass sie der Stromänderung entgegen wirkt. Die Änderung der Induktionsspannung kann wie folgt bestimmt werden: \[\begin{array}{l} {u_L} = - N\frac{{d\Phi }}{{dt}}\quad mit\quad d\Phi \propto d{i_L}\quad \\ {u_L} = - L\frac{{d{i_L}}}{{dt}}\quad in\quad \frac{{Vs}}{A} \cdot \frac{A}{s} = V\\ {U_{ind}}(t) = - L \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\quad mit\quad \frac{{dI}}{{dt}} = \frac{{{U_o}}}{L} \cdot {e^{ - t/\tau }}\\ {U_{ind}}(t) = - {U_o} \cdot {e^{ - t/\tau }} \end{array}\] Die Induktionsspannung ist der anliegenden Quellenspannung entgegengerichtet. Sie hat im Einschaltmoment den Wert der Quellenspannung und beim aufgebauten statischen Magnetfeld den Wert null: \[t = 0\quad \Rightarrow {U_{ind}}(0) = - {U_o}\quad und\quad t \to \infty \quad \Rightarrow {U_{ind}}(\infty ) = 0\]

In den beiden hergeleiteten e-Funktionen steht im Exponent die Zeitkonstante \(\tau = L/R\). Der Widerstand R ist der ohmsche Summenwiderstand aus dem Drahtwiderstand der Spule und einem möglichen Vorwiderstand. Für den Einschaltvorgang gelten die folgenden Formeln:

Spannungsverlauf am Vorwiderstand

\({U_R}(t) = {U_o}\left( {1 - {e^{ - t/\tau }}} \right)\)

Spannungsverlauf an der Spule \({U_L}(t) = - {U_o} \cdot {e^{ - t/\tau }}\)

Stromverlauf \(I(t) = \frac{{{U_o}}}{R}\left( {1 - {e^{ - t/\tau }}} \right)\)

werden vom ohmschen Drahtwiderstand der Spule oder vom Gesamtwiderstand, der Summe aus Vorwiderstand und Drahtwiderstand bestimmt. Die im Videoclip gezeigten Diagramme entsprechen auch den Ergebnissen der Messprotokolle, die im Laborbetrieb erhalten werden. Für den Einschaltvorgang gelten die folgenden Formeln: \[{U_R}(t) = {U_o}\left( {1 - {e^{ - t/\tau }}} \right)\quad und\quad I(t) = \frac{{{U_o}}}{R}\left( {1 - {e^{ - t/\tau }}} \right)\] Nach fünf Zeitkonstanten fließt der maximale Strom und die Spannung an einer Spule mit sehr kleinem Drahtwiderstand ist entsprechend klein. Das Magnetfeld der Spule ist praktisch vollständig aufgebaut und die Spule speichert im Magnetfeld die maximale Energie.

Abschaltprozess

Wird nach dem Aufbau des Magnetfelds die DC-Quelle aus dem Stromkreis entfernt, so bleibt das Magnetfeld nicht erhalten. Verglichen mit einem an einer DC-Quelle geladenen Kondensator behält er die Ladung und damit die Spannung über lange Zeit. Im Videoclip wird nach dem Aufbau des Magnetfelds der Vorwiderstand von der DC-Quelle getrennt und mit der Schaltungsmasse verbunden. Die Messungen zeigen, dass der Strom in der gleichen Richtung fließt wie zuvor. Das setzt voraus, dass beim Umschalten die Spannung an der Spule das Vorzeichen gewechselt hat und so hoch sein muss, dass in diesem Augenblick der hohe Ladestrom fließen kann. Das Magnetfeld baut sich dabei ab und die nach dem Induktionsgesetz generierte Spannung verringert ebenso wie der Strom. Nach fünf Zeitkonstanten haben alle Größen ihren Endwert null erreicht.

Für denr zeitlichen Stromverlauf während der Abschaltphase gilt:

Mathematische Herleitungen

Zum Abschaltmoment fließt der Strom, der sich aus der Versorgungsspannung und dem Drahtwiderstand RCu der Spule errechnet. Um den Stromkreis zu schließen, wird zum Drahtwiderstand ein äußerer Widerstand Rv in Reihe geschaltet. In der Zeitkonstante wirkt nun der Gesamtwiderstand R der Schaltung. Der Strom nimmt nach einer e-Funktion ab und zeitliche Stromänderung wird mithilfe der 1. Ableitung dieser Funktion bestimmt.

Das Minuszeichen weist auf die Stromabnahme hin. Die Geschwindigkeit der Stromabnahme wird vom Vorwiderstand RV bestimmt. In der e-Funktion steht im Exponenten der Widerstand R im Zähler. Je größer sein Wert ist, desto steiler verläuft die e-Funktion und der Strom nimmt schneller ab. Die Änderung der Induktionsspannung kann mit dem gleichen Ansatz hergeleitet werden, der weiter oben für den Einschaltmoment angewendet wurde.

Die Grenzwertbetrachtungen bestätigen die experimentellen Beobachtungen. Die Induktionsspannung ist im Moment des Abschaltens am höchsten und vom Entladewiderstand abhängig. Je größer dieser Wert ist, desto höher ist die Spannungsspitze. Beim Ausschaltvorgang gelten für den Strom- und Spannungsverlauf die folgenden allgemeinen Gleichungen.

Schutzvorkehrung gegen hohe Induktionsspannungen beim Abschalten

Mit einem Simulationsprogramm kann die Abschaltspannung gemessen werden. Eine Spule mit 100 mH und 10 Ω Drahtwiderstand wurde an U = 1 V Gleichspannung angeschlossen. Nach dem Erreichen des maximalen Gleichstroms I = 100 mA wurde der Stromkreis unterbrochen und die Spule mit einem Entladewiderstand R = 90 Ω nach Masse geschaltet. Zum Zeitpunkt der Unterbrechung errechnet sich die Induktionsspannung an der Spule zu 10 V. Die Simulation bestätigt das Ergebnis. Die Zeitkonstante zur Abschaltphase beträgt τ = 1 ms.

Bei gleicher 1 V Betriebsspannung aber einem Entladewiderstand von 990 Ω erreicht die Spannungsspitze im Abschaltmoment den Wert 100 V. Laststromkreise werden oft mit Relais geschaltet, deren transistorisierte Steuerschaltung mit Niederspannung von 12 bis 24 Volt und einem Arbeitsstrom von 50 mA erfolgt. Wird das Relais abgeschaltet, dann ist der Transistor extrem hochohmig. Die Spannungsspitze der Spule kann Werte erreichen, die oberhalb der erlaubten Kollektor-Emitter-Sperrspannung liegen. Zum Schutz des Transistors wird parallel zur Relaisspule eine sogenannte Freilaufdiode geschaltet. Zur DC-Betriebsspannung der Transistorschaltung ist sie in Sperrrichtung geschaltet. Im Abschaltmoment wird die Diode leitend und begrenzt die Spannungsspitze an der Spule auf ihre Durchlassspannung <1 V.

Werden größere Induktivitäten mit mechanischen Schaltern geschaltet, dann entspricht der Abschaltwiderstand dem Isolationswiderstand zwischen den Kontakten. Trockene Luft beim Normaldruck von 1 bar ≈ 1013,25 hPa und 20°C isoliert rund 3 kV pro Millimeter. Ohne Schutzmaßnahmen bilden sich Funkenstrecken mit Kontaktabbrand oder sie verschweißen miteinander. Mit einem parallel geschalteten Widerstand oder einer RC-Reihenkombination können die Schaltkontakte im AC-Betrieb geschützt werden. Im DC-Betrieb ist eine antiparallel geschaltete Freilaufdiode gut geeignet.

Die Reihenschaltung von Spulen

Sind in einem Stromkreis mehrere Induktivitäten in Reihe geschaltet und beeinflussen sich ihre Magnetfelder gegenseitig nicht, dann ist die Gesamtinduktivität gleich der Summe der Einzelwerte. \({L_{ges}} = {L_1} + {L_2} + \cdots + {L_n}\)

Die Parallelschaltung von Spulen

Für parallel geschaltete Spulen, deren Magnetfelder sich gegenseitig nicht beeinflussen, berechnet sich die Gesamtinduktivität wie folgt: \[{L_{ges}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{L_1}}} + \frac{1}{{{L_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{L_n}}}}}\quad \quad {L_{ges}} = \frac{{{L_1} \cdot {L_2}}}{{{L_1} + {L_2}}}\]

Die magnetische Energie einer Spule

Eine an Gleichspannung angeschlossene reale Spule erhält elektrische Energie. Ein Teil wird am Wirkwiderstand in Wärme umgesetzt. Der größere Teil wird im Magnetfeld gespeichert. Da es sich um einen nichtlinearen dynamischen Vorgang handelt, kann nur mit differenziell kleinen Zeitabschnitten gerechnet werden. Die endgültige Beziehung ergibt sich durch Integration. \[\begin{array}{l} u = {u_R} + {u_L}\\ d{W_{el}} = d{W_{therm}} + d{W_{magn}}\\ d{W_{magn}} = {u_L} \cdot {i_L}\,dt\quad mit\quad {u_L} = L\frac{{di}}{{dt}}\\ d{W_{magn}} = L\frac{{di}}{{dt}} \cdot {i_L}\,dt = L \cdot {i_L}\,di\\ {W_{magn}} = L\int\limits_0^I {{i_L}\,di} \\ {W_{magn}} = \frac{1}{2}L \cdot {I^2}\quad \frac{{V\,s}}{A}{A^2} = W\,s \end{array}\]

Weitere Informationen zur Spule im Wechselstromkreis sind auf der Seite: Wechselstromwiderstände, induktiver Blindwiderstand zu finden.