Der Reihenschwingkreis

Eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand R, Kondensator C und Spule L besitzt mit C und L zwei sich gegenseitig ergänzende Energiespeicher. Der Kondensator speichert elektrische und die Spule magnetische Energie, die sich im gemeinsamen Stromkreis gegenseitig umwandeln können. Bei Blindwiderständen sind Strom und Spannung gegeneinander um 90° phasenverschoben. Im Strommaximum ist der Kondensator entladen und das Magnetfeld der Spule hat die maximale Feldstärke erreicht. Es baut sich im weiteren Verlauf ab und lässt den elektrischen Strom in gleicher Richtung durch die Schaltung fließen. Dieser Strom lädt den Kondensator in umgekehrter Polarität neu auf. Der Prozess setzt sich periodisch umgekehrt fort. Die Schaltung führt freie Schwingungen aus, bis die einmal zugeführte Energie am Wirkwiderstand als Wärmeleistung abgegeben worden ist.

Ein mit L und C gleich dimensionierter Reihen- und Parallelschwingkreis hat dieselbe Resonanzfrequenz, sodass die Thomsonsche Schwingungsformel zur Berechnung unverändert für beide gilt. Wird der Reihenschwingkreis an einer Konstantspannungsquelle variabler Frequenz betrieben, kann der Amplituden- und Phasenfrequenzgang messtechnisch aufgenommen werden. Die Impedanz des Schwingkreises ist von der anliegenden Signalfrequenz abhängig und beeinflusst den Kreisstrom.

Ein Oszilloskop ist ein Spannungsmessgerät, daher ist in der Schaltung der Widerstand Rv als Stromäquivalent notwendig. Im realen Schwingkreis liegt der Drahtwiderstand der Spule in Reihe. Mit einem zusätzlichen Vorwiderstand können bei Bedarf die Schwingkreisgüte und die Bandbreite verändert werden. Die folgende Grafik zeigt den Einfluss des ohmschen Widerstands auf die Eigenschaften des Schwingkreises. Je kleiner sein Wert ist, desto ausgeprägter und steiler ist der Kurvenverlauf im Bereich der Resonanzfrequenz. Die Kreisgüte Q ist das Verhältnis aus dem Blindwiderstand zum Wirkwiderstand und nimmt zu, je kleiner der ohmsche Widerstand ist. Die Resonanzfrequenz ist von der Güte unabhängig. Für R = 100 Ω ist die absolute Bandbreite B zwischen φ = ±45° mit eingezeichnet. Mit zunehmender Güte nimmt die Bandbreite ab, der Schwingkreis wird zunehmend schmalbandig, die Flanken der Durchlasskurve werden zunehmend steiler.

In einer Reihenschaltung ist der durch alle Bauteile gleich große Strom die Bezugsgröße. Ihm wird der Phasenwinkel φ = 0° zugeordnet. Strom und Spannung am ohmschen Widerstand sind mit φ = 0° in Phase. Die Spannung am Kondensator ist um φ = −90° und an der Induktivität um φ = +90° zum Strom phasenverschoben. Damit kann das Zeigerdiagramm der RLC-Reihenschaltung gezeichnet und ausgewertet werden. Nur die beiden Blindwiderstände sind von der Frequenz abhängig. Alle Teilspannungen sind direkt proportional zu den Widerstandswerten der Bauteile.

Das weiter oben dargestellte Phasendiagramm zeigt, dass bei der Resonanzfrequenz der Winkel φ = 0° beträgt. Nach außen verhält sich die Schaltung in Bezug auf Spannung und Strom wie ein ohmscher Widerstand. Das bedeutet für den Resonanzfall, dass die beiden Blindwiderstände den gleichen Wert haben. Im Zeigerdiagramm bilden sie zueinander den Winkel von 180° und heben sich nach außen hin in ihrer Wirkung gegenseitig auf. Unterhalb der Resonanzfrequenz ist der kapazitive Blindwiderstandswert größer und der Reihenschwingkreis entspricht dort mehr einer RC-Reihenschaltung und zeigt kapazitives Verhalten. Oberhalb der Resonanzfrequenz mit überwiegendem induktiven Blindwiderstand entspricht er eher einer RL-Reihenschaltung mit induktiven Verhalten. Im Resonanzfall wird die Impedanz nur vom normalerweise sehr niederohmigen ohmschen Spulenwiderstand bestimmt und durch die Schaltung fließt der maximale Resonanzstrom.

Der folgende Videoclip zeigt, welchen Einfluss im Reihenschwingkreis die einzelnen Bauteile haben. Eine individuelle Steuerung ist nur mit der einblendbaren Controlleiste möglich. Als erster Parameter ändert sich der ohmsche Widerstandswert. Dabei kann es sich um einen zusätzlichen Reihenvorwiderstand handeln oder um Spulen gleicher Induktivität mit unterschiedlichen Drahtwiderständen. Je kleiner der Wirkwiderstandswert ist, desto steiler verläuft die Resonanzkurve zur Resonanzstelle, wobei sich die Bandbreite verringert und die Schwingkreisgüte zunimmt. Zusätzlich bestimmt auch das Verhältnis von L und C die Kreisgüte. Eine festgelegte Resonanzfrequenz kann durch unterschiedliche L/C-Kombinationen erreicht werden. Die Impedanzkurve (im Video die rote Z-Kurve) ist bei größerem L und kleinerem C schmaler und die Kreisgüte besser.

Bei Resonanz sind die Werte beider Blindwiderstände gleich groß und wesentlich größer als der nach außen hin wirksame ohmsche Spulenwiderstand R. Das hat zur Folge, dass bei Resonanz der Resonanzstrom seinen Maximalwert erreicht. Bei Resonanz sind im Zeigerdiagramm die im Winkel von 180° zueinanderstehenden Blindwiderstandszeiger gleich lang und heben sich in ihrer Wirkung nach außen hin auf. Es fließt der maximale Resonanzstrom und führt beim Reihenschwingkreis zur Spannungsüberhöhung an einem ausgewählten Blindwiderstand L oder C. Bei der praktischen Ausführung der Schaltung müssen der Kondensator und die Spule über eine ausreichend hohe Spannungsfestigkeit verfügen.

Diese Spannungsresonanz kann in der Signalverarbeitung genutzt werden. Die am Blindwiderstand angeschlossene Folgestufe darf diese Resonanzspannungsquelle nicht belasten und muss daher eine sehr hohe Eingangsimpedanz haben. Als Folgestufe eignet sich ein nicht invertierender Operationsverstärker oder eine Transistorstufe in der Kollektorgrundschaltung.

Das Simulationsergebnis zeigt, dass bei einem Schwingkreis geringerer Güte Q ≈ 3 das Spannungsmaximum am Blindwiderstand nicht genau bei der Resonanzfrequenz und dem Phasenwinkel φ = 0° auftritt. Bei einem Schwingkreis ausreichend hoher Güte ist der Unterschied zur Betragsresonanz an L und C vernachlässigbar gering.

Mathematische Herleitungen

Impedanzgleichung mithilfe der normierten Frequenz

Für einen Schwingkreis ist die Resonanzfrequenz ein charakteristischer Wert. In vielen wissenschaftlichen Veröffentlichungen wird bei Frequenzabhängigkeiten und Diagrammen auf diesen Wert normiert. Für einen Schwingkreis definiert man die normierte Kreisfrequenz Ω, indem die aktuelle Kreisfrequenz durch den Wert der Resonanzkreisfrequenz dividiert wird. Die Herleitung erfolgt mit komplexer Rechnung. Für die idealisierte Schwingbedingung gilt weiterhin, dass beide Blindwiderstände den gleichen Wert haben.

Bei Resonanz ist Ω = 1 und die Kreisimpedanz wird mit Z = R reel, mit dem gleichen Ergebnis wie bei der herkömmlichen Herleitung. Unterhalb der Resonanzfrequenz wird Ω kleiner. Im Klammerausdruck wird davon der Kehrwert subtrahiert, wodurch das Ergebnis immer größere negative Werte annimmt. Der Schwingkreis zeigt kapazitives Verhalten. Oberhalb der Resonanzfrequenz wird Ω größer, der Klammerausdruck bleibt positiv und strebt den Grenzwert Ω an. Der Schwingkreis zeigt induktives Verhalten.

Bandbreite, Güte und Resonanzwiderstand

Dort, wo beim Reihenschwingkreis die Stromamplitude 70,7 % ihres Maximalwerts erreicht, liegen die beiden Grenzfrequenzen. Die absolute Bandbreite errechnet sich aus der Differenz zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz: Δf = fgo − fgu. Ohne zusätzliche Bauteile entspricht die Resonanzimpedanz dem ohmschen Widerstand Rv der Spule. Er bestimmt die Güte der Induktivität und somit auch die Güte des Reihenschwingkreises. Das Verhalten der Kapazität kann im Vergleich zur Induktivität als ideal angesehen werden. Mit dem Resonanzwiderstand Z0 = Rv folgt für die Schwingkreisgüte Q = fo / Δf mit Q = XL / Rv. Universeller ist es, die Kreisgüte mithilfe der folgenden Rechnung zu bestimmen.

Die Schwingkreisgüte ist nicht nur vom Verlustwiderstand der Spule oder von einem zusätzlichen Reihenwiderstand zur Dämpfung abhängig. Theoretisch lassen sich für eine bestimmte Resonanzfrequenz viele Variationen von L und C finden, die nach der Thomsonschen Schwingungsgleichung diese Resonanzfrequenz ergeben. Schwingkreise mit praktisch nutzbarer hoher Güte ergeben sich bei gleichen Verlustwiderständen nur aus Kombinationen hoher Induktivität und kleiner Kapazität.

Wird das Signal parallel zum Reihenschwingkreise als neues Quellensignal genutzt, dann arbeitet der Schwingkreis als Frequenzfalle, Traps oder Kerbfilter genannt. In einem engen Frequenzband um die Resonanzfrequenz herum ist er niederohmig mit geringer Ausgangsspannung und filtert so diesen Frequenzbereich aus. Bilden der Reihenschwingkreis und die Folgestufe eine Serienschaltung, dann wirkt er als Saugkreis und lässt als Eintor niedriger Impedanz bevorzugt nur den schmalbandigen Frequenzbereich durch. In Abstimmkreisen kann auch die Spannungsüberhöhung an C oder L direkt ausgewertet werden. Es folgt eine Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften der Reihenschwingkreise:

Bei Resonanz wirkt ein Reihenschwingkreis wie ein ohmscher Widerstand.
Die Impedanz des Reihenkreises hat bei Resonanz ihren kleinsten Wert.
Bei Resonanzfrequenz ist der in und durch den Kreis fließenden Strom maximal.
Durch Resonanzüberhöhung sind an den Blindwiderständen die Spannungen viel höher als die anliegende Kreisspannung.
Ohne zusätzlichen Vorwiderstand wird die Kreisgüte vom Drahtwiderstand der Spule bestimmt.
Die Bandbreite ist umgekehrt proportional zur Kreisgüte.
Die Resonanzfrequenz ist unabhängig vom Verlustwiderstand.

Herleitung der Grenzfrequenzgleichungen

Neben der Resonanzfrequenz sind die Grenzfrequenzen charakteristische Werte eines Schwingkreises. Sie sind experimentell recht einfach zu bestimmen, können aber ebenso berechnet werden. Bei jeder Grenzfrequenz ist per Definition der absolute Phasenwinkel φ = 45° und der Wert des Blindwiderstands gleich dem des ohmschen Widerstands. Das Vorzeichen wird durch den mehr induktiven oder kapazitiven Charakter der Schaltung bestimmt. Mit diesem Ansatz lassen sich die Bestimmungsgleichungen der Grenzfrequenzen herleiten.

Bei der Phasenresonanz ist die Bandbreite von der Güte des Schwingkreises abhängig, wie es die folgende mathematische Herleitung zeigt. Ohne einen zusätzlich in Reihe geschalteten Dämpfungswiderstand ist die Güte in erster Linie nur von der verwendeten Spule bestimmt.

Beim Reihenschwingkreis liegen die Grenzfrequenzen nahezu symmetrisch zur Resonanzfrequenz. Die Resonanzfrequenz kann aus dem geometrischen Mittel beider Grenzfrequenzen errechnet werden. Bei einer Güte Q ≥ 10 ist in der Grenzfrequenzformel der Wert unter der Wurzel nahezu 1 und die Grenzfrequenzen lassen sich in guter Näherung durch die folgenden Beziehungen berechnen: fgo = fo (1 + d/2) und fgu = fo (1 − d/2). Ebenso kann die Schwingkreisgüte aus der Differenz beider Grenzfrequenzformeln bestimmt werden: Q = fo / Δf