Informations- und Kommunikationstechnik

Pulsamplitudenmodulation - PAM

Bei der bereits beschriebenen analogen Amplitudenmodulation wird die Amplitude eines sinusförmigen Trägers proportional zum niederfrequenten Informationssignal moduliert. Die Pulsmodulations-, auch PM-Verfahren genannt, verwenden als Nachrichtenträger pulsförmige Signale. Das Trägersignal ist nicht mehr zeitkontinuierlich, sondern ein zeitdiskreter, periodischer schmaler Rechteckpuls.

Werden die Trägerpulse bezogen auf das Nachrichtensignal als Schaltintervalle gesehen, so lassen sich zeitdiskrete Ausschnitte aus der Information heraus tasten. Im einfachsten Fall einer solchen Abtastung erhält man das PAM-Signal. Der Tastpuls nimmt den zum Tastzeitpunkt aktuellen Amplitudenwert der Information an.

Das PAM-Verfahren wird normalerweise nicht zur direkten Signalübertragung eingesetzt. Es ist eine wichtige Vorstufe zur Erzeugung weiterer Pulsmodulationsarten wie beispielsweise der Pulscode-(PCM)-, Pulsdauer-(PDM)- und Pulsphasen-(PPM)-Modulation. Für Amplitudenstörungen ist die PAM ebenso anfällig wie die analoge AM.

Durch die Wahl der Modulations- oder Abtastschaltung kann eine unipolare oder bipolare PAM erhalten werden. Bei der unipolaren PAM wird vor der Abtastung das Informationssignal mittels Gleichspannung über die Nulllinie hinaus verschoben. In der Übertragungstechnik wird die bipolare PAM bevorzugt. Ein Vierquadranten-Multiplizierer-IC kann als universeller Modulator für beide PAM-Signale verwendet werden.

PAM-Signale im Zeitdiagramm

Beide PAM-Signale (blau) entstanden bei der Abtastung einer 1 kHz Sinusinformation (rot) mit einem 10 kHz rechteckförmigen Tastträger. Der zur Veranschaulichung groß gewählte Tastgrad von 25% zeigt, dass ein PAM-Signal zeitdiskret aber in den Tastwerten wertekontinuierlich ist.

Die Charakteristik eines Schaltvorgangs entspricht einer gewinkelten und somit gekrümmten Kennlinie. Die Überlagerung wird dadurch zur Modulation und mathematisch mithilfe der Multiplikation der Signalfunktionen beschrieben. Wie bei der Amplitudenmodulation treten auch im Frequenzspektrum des Modulationsprodukts der PAM neben der Trägerfrequenz obere und untere Seitenfrequenzen auf. Sie lassen sich aus den Summen und Differenzen zwischen den Träger- und Informationsfrequenzen errechnen.

Nach Fourier weist der Trägerpuls ein eigenes Frequenzspektrum mit Harmonischen der ganzzahligen Vielfachen seiner Grundfrequenz auf. Das Spektrum des PAM-Signals zeigt somit für alle Trägerharmonischen symmetrisch angeordnete Seitenbänder.

PAM-Spektrum

Im Frequenzspektrum einer bipolaren PAM fehlen die Spektrallinien des Trägers, ansonsten entspricht es dem oben gezeigten Bild. Verglichen mit dem Spektrum einer normalen AM, ist neben den höheren modulierten Harmonischen des Tastträgers hier das Erscheinen des Basisbands der Information auffällig. Es ist in jedem PAM-Signal enthalten und bei der unipolaren PAM kommt noch der Gleichanteil hinzu.

Hinweis: Die gezeigten Diagramme wurden mit der Simulationssoftware Multisim erstellt. Die Ergebnisse der Fourieranalysen entsprachen trotz genauer Eintragungen der Versuchsparameter in vielen Fällen nicht den Erwartungen. Eine versuchsweise Verminderung der Grundfrequenzangabe ergab qualitativ richtige Spektren. Die absoluten y-Achsenwerte erwiesen sich dann als unbrauchbar.

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Abtasttheorem nach Shannon

Ein Informationssignal mit begrenzter Bandbreite kann eindeutig durch eine Anzahl diskreter Werte bestimmt werden. Jede nichtsinusförmige periodische Zeitfunktion lässt sich nach Fourier durch ein Spektrum einer Grundschwingung und den Oberwellen als ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz fmin, beschreiben. Durch die 1. Harmonische ist der zeitliche Abstand T = 1 / fmin der Frequenzlinien bestimmt.

Da die Information in ihrer Bandbreite B begrenzt sein soll, können im Spektrum der PAM aber nicht unendlich viele Oberwellen auftreten. Aus der oberen Grenzfrequenz und dem kleinstmöglichen Abstand der Frequenzlinien kann die Zahl der maximal vorkommenden Frequenzen errechnet werden. Dieser Wert ist zu verdoppeln, da eine Schwingung nach Amplitude und Phasenlage durch die Summe einer Cosinus- und Sinusschwingung gleicher Frequenz mit entsprechend gewählten Amplituden erzeugt werden kann.

Anzahl der Schwingungen:     n = 2 · B · T

Pro Sekunde sind dann n/T Schwingungswerte zu übertragen. Mit dem oben errechneten n erhält man als Ergebnis 2·B numerische Werte pro Sekunde.

Aus den diskreten Tastwerten kann das ursprüngliche, analoge Signal nur dann zurückgewonnen werden, wenn bei der Abtastung die Tastfrequenz fT etwas mehr als doppel so hoch, wie die höchste auftretende Signalfrequenz fi max ist. Mit einem idealen Tiefpass lässt sich dann aus dem Tastsignal das Basisband unverfälscht ausfiltern. Diese Regel wurde 1949 von C.E.Shannon aufgestellt und das Abtasttheorem nach ihm bekannt.

Abtasttheorem nach Shannon:      fT > 2 · fi max       oder      TTast < 1 / 2 · Ti min
Grenzfrequenz des Tiefpass:          fg = 1 / 2 · fT     Nyquistfrequenz.

Wie anfangs gezeigt, genügen theoretisch genau zwei Tastwerte für eine Signalperiode, um das Signal zu rekonstruieren. Da es praktisch keinen Tiefpass mit rechteckig steiler Flanke gibt, muss die Tastfrequenz folglich mehr als den doppelten Wert der höchsten Informationsfrequenz haben. Für die zwei folgenden Beispiele ist das Shannon-Theorem erfüllt. Die Sprachbandbreite der ISDN-Telefonie reicht bis 3400 Hz und wird mit 8 kHz abgetastet. Das Audiofrequenzband reicht bis 20 kHz und wird vor der Digitalisierung mit mindestens 44,1 kHz abgetastet.

Aliasingeffekt

Bei der Unterabtastung wird das Abtasttheorem mit einer zu niedrigen Tastfrequenz nicht eingehalten. Das folgende Beispiel zeigt das Frequenzspektrum einer unipolaren PAM bis zur 1. Nullstelle, wo mit einem 10 kHz Tastträger ein 7 kHz Signal abgetastet wurde. Die negativen Auswirkungen der Unterabtastung sind eindeutig erkennbar.

Alias-Effekt im Frequenzdiagramm

Die Demodulation zur Rückgewinnung des NF-Signals verwendet einen Tiefpass mit der zum Tastträger passenden Nyquistfrequenz. Das ursprüngliche Signal von 7 kHz liegt oberhalb dieser Grenzfrequenz und wird nicht erfasst. Stellvertretend, aliasing, erhält man ein tiefer frequentes Signal mit 3 kHz aus dem unteren Seitenband der 1. Tastharmonischen. Eine fehlerhafte Unterabtastung führt zur Überlappung der Seitenbänder. Sie ist im Bild für die 2. und 3. Tastharmonische eingezeichnet. Die Überschneidung ist der Grund für neue, im Originalsignal nicht vorhandene Frequenzen, die beim Ausfiltern des Basisbandes anstelle der höheren Originalfrequenzen erscheinen.

Vor der Abtastung werden mögliche Frequenzanteile oberhalb der halben Tastfrequenz durch einen Tiefpass, dem Anti-Aliasing-Filter, aus dem Signal entfernt. Da es keine idealen Filter gibt, ist dessen Grenzfrequenz bei festgelegter Tastfrequenz niedriger als die Nyquistfrequenz.

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Das Zeitmultiplexverfahren

In den bisher gezeigten Beispielen wurde zur besseren Veranschaulichung ein großes Tastverhältnis des Trägersignals gewählt. Wird die Impulsbreite bis zum theoretischen Wert null verringert, dann spricht man vom Diracstoß oder Diracimpuls. Er wäre das ideale Abtastsignal und wird zur mathematischen Beschreibung aller Vorgänge bei der Abtastung und Demodulation verwendet. Die Pausenzeiten zwischen dem periodischen Auftreten sehr schmaler Tastpulse können für weitere zeitverschobene Abtastungen mit dem gleichen Tastträger verwendet werden. Dieses Verfahren wird als Zeitmultiplex bezeichnet.

Die ISDN-Telefonie erzeugt ein PAM-Signal mit einem 8 kHz Tastträger. Würde man einen symmetrischen Rechteckträger mit dem Tastverhältnis 2, mit dem Tastgrad 50 % benutzen, so kann genau ein Informationssignal erfasst werden. Halbiert man die Pulsdauer, so kann in die Lücke der Pulspause der gleiche Impuls mit dem Tastgrad von 25% mittig eingefügt werden. Innerhalb der Periodendauer der Tastfrequenz lassen sich jetzt nacheinander zwei verschiedene Informationssignale abtasten. Jede weitere Halbierung der Pulsdauer schafft Platz für die doppelte Anzahl unabhängiger Informationskanäle, die innerhalb der 125 μs nacheinander mit 8 kHz abgetastet werden. Die ISDN-Technik verwendet 32 Zeitschlitze entsprechend einem Tastverhältnis von 64. Daraus errechnet sich die Pulsdauer von 1,953 μs.

Zeitmultiplex

Die 1. Nullstelle des 8 kHz Tastträgers mit dem Tastgrad von rund 1,5% liegt nach Fourier bei 500 kHz. Diese Bandbreite sollte die Übertragungsstrecke mindestens aufweisen, damit recheckförmige Impulse möglichst unverfälscht übertragen werden können. Die Bandbreite ist dabei unabhängig von der Anzahl der genutzten Informationskanäle. Die folgende Grafik zeigt das unipolare PAM-Signal für 4 Tastperioden, das bei der aufeinanderfolgenden Abtastung verschiedener Signale nach dem Zeitmultiplexverfahren entsteht. Die Tastfrequenz beträgt 10 kHz, der Tastgrad 12,5%. Durch die Farbgebung erkennt man, dass es sich um ein und denselben Träger handelt, der lediglich zeitverschoben ist.

Zeitmultiplex mit vier Signalen

Der Tastträger wird als MPX-Signal, Multiplexsignal bezeichnet und muss am Empfangsort synchron zum Sender zur Verfügung stehen, da sonst keine korrekte Zuordnung der einzelnen PAM-Signale möglich ist.

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Demodulation eines PAM-Signals

Beim Betrachten des Frequenzspektrums einer PAM fällt auf, dass die ursprüngliche Information im Basisband enthalten ist und folglich mitübertragen wird. Die Information kann daher durch einen einfachen Tiefpass zurückgewonnen werden. Die Energie, die in den Seitenbändern der höherfrequenten Tastharmonischen steckt, wird dabei nicht genutzt. Dieser Nachteil kann durch eine Verbreiterung der Tastpulse mit dem Sample and Hold Verfahren, eine Abtast- und Halteschaltung, zum Teil aufgehoben werden.

Das Prinzip der Sample and Hold Schaltung besteht aus einer niederohmigen PAM-Signalquelle, zum Beispiel einer Impedanzwandlerschaltung. Sie lädt einen Kondensator, die Holdstufe über einen, vom Abtasttakt gesteuerten FET-Schalter, auf den aktuellen PAM-Tastamplitudenwert auf. Während der Taktpausen bleibt der FET hochohmig. Der Eingangswiderstand der Folgestufe, ein Impedanzwandler ist so hochohmig, dass sie den Kondensator nicht belastet. Das Ausgangssignal entspricht einer treppenförmigen PAM, wo die zuvor schmalen Pulse verbreitert sind.

Sample and Hold im Zeitdiagramm

Liegt an einem Tiefpass ein Rechteckimpuls mit sehr steilen Flanken, so erscheint am Ausgang die Impulsantwort als ein verbreitertes, verschliffenes Signal mit kleinerer Amplitude. Ein idealer Tiefpass mit rechteckförmigen Flanken würde als Impulsantwort ein Signal liefern, das der Funktion sin(x) / x entspricht. Diese Funktion besitzt Nullstellen in Abständen von 1 / (2 · B), wobei B die Bandbreite des Tiefpasses ist.

Impulsantwort eines idealen Tiefpass

Idealisiert soll die Abtastfrequenz einer zu demodulierenden PAM gerade f = 2 · B sein. Die Pulse folgen dann im zeitlichen Abstand mit 1 / (2 · B). Die Pulshöhe wird durch den Samplewert des Signals bestimmt. Jeder dieser Pulse liefert am Tiefpass die oben benannte Impulsantwort. Die Summe aller Impulsantworten ergibt als Hüllkurve das ursprüngliche Informationssignal. Die hier vereinfachte Beschreibung der Demodulation lässt sich durch die höhere Mathematik der Diracimpulse im Zeit- und Frequenzspektrum sowie der zugehörigen Faltung exakt beweisen.

gewichtete Impulsantworten der Demodulation am TP

Lehrfilm zur PAM und PCM

Die Pulsamplitudenmodulation PAM als Voraussetzung zur Pulscodemodulation PCM wird im Zusammenhang mit dem Zeitmultiplexverfahren in einem interaktiven Lehrfilm dargestellt. Der Film zeigt am Ende vereinfacht und anschaulich den Prozess der Demodulation eines PAM-Signals zur Rückgewinnung der analogen Information. Weitere behandelte Themen sind das Shannon-Theorem, die Unterabtastung mit dem Aliasing, das Oversampling im Zusammenhang mit Dämpfungscharakteristiken der notwendigen Tiefpassfilter.