Informations- und Kommunikationstechnik

Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen

Unter diesem Titel werden neben der prinzipiellen Erzeugung eines sinusförmigen Signals auch die wichtigsten Eigenschaften der Sinussignale beschrieben. Dazu gehören der Zusammenhang zwischen Zeiger- und Liniendiagramm, der Phasenverschiebungswinkel, die Frequenz, Periodendauer und Kreisfrequenz und die Bedeutung der Effektivwerte von Sinusgrößen.

Nach den Regeln der magnetischen Induktion wird an den Anschlüssen einer Spule, die sich in einem Magnetfeld dreht, eine Spannung erzeugt. Zur Herleitung der Zusammenhänge wird hier die Spule auf eine Leiterschleife reduziert. Sie dreht sich mit konstanter Drehzahl in einem homogenen Magnetfeld, wobei in gleichen Zeitabschnitten die Änderungen des Drehwinkels gleich bleiben.

Die Leiterschleife spannt in der Ebene eine Fläche auf. Die Magnetfeldlinien mit dem magnetischen Fluss Φo durchdringen sie senkrecht. Wird die Leiterschleife gedreht, so verkleinert sich in Bezug zur Magnetfeldrichtung die Größe der Fläche. Die wirksame Fläche ist nunmehr die Projektion der gedrehten Fläche auf die Ebene. Der magnetische Fluss Φ ist entsprechend verringert. Sowohl die aktive Fläche als auch der damit verbundene magnetische Fluss sind Funktionen des Drehwinkels.

Leiterschleife im magetischen Fluss

Der von der Leiterschleife umschlossene Magnetfluss Φ ändert sich bei gleichförmiger Drehung nach einer Cosinusfunktion.

Formeln zur Spannungsinduktion

Bei gleichförmiger Drehung kann die Winkeländerung durch die zeitliche Änderung Δt beschrieben werden. Ein voller Umlauf oder eine Periode entsprechen 360°. Die Umlaufzeit ist die Periodendauer T. Die Umlaufrichtung im Zeigerdiagramm der Elektronik ist vereinbarungsgemäß entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Magnetflussänderung ΔΦ ist winkel- und zeitabhängig. Die induzierte Spannung errechnet sich wie nachstehend gezeigt aus dem Induktionsgesetz. Das Ergebnis ist eine sinusförmige Spannung, bei der sich das negative Vorzeichen der Selbstinduktionsspannung aufhebt.

Aus Sicht der sich gleichmäßig drehenden Leiterschleife erfolgen die größten Änderungen des Magnetflusses im Bereich 90° und 270°, während um 0° und 180° die Änderungen nur noch gering sind. Die Flussänderungen werden mit einer Cosinuskurve beschrieben.

Die Amplitude der induzierten Spannung erreicht ihren Maximalwert, wenn die größtmögliche Zahl der Feldlinien in der Stellung 0° und 180° von der Leiterschleife erfasst werden. Das entspricht einer Sinuskurve.

Top

Der Zusammenhang zwischen Zeiger- und Liniendiagramm

Die Darstellung sinus- oder cosinusförmiger Wechselgrößen kann sowohl mit einem Zeigerdiagramm als auch durch ein Liniendiagramm erfolgen. Im folgenden interaktiven Film kann der Radius, als roter Zeiger dargestellt, gleichmäßig entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht werden. Die Zeigerlänge entspricht dem Maximalwert oder Scheitelwert der Wechselgröße. Für jede Winkelstellung im Kreis ergibt sich mit dem Radius als Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Länge der grünen Kathete, die bei senkrechter Projektion des Zeigers auf die Horizontale mit φ = 0° entsteht, ist gleich dem Amplitudenwert der Cosinuskurve für den jeweiligen Winkel φ. Die Höhe des Lotes von der Zeigerspitze auf die Horizontale, die blaue senkrechte Kathetenlänge, ist gleich der Amplitude der Sinuskurve für diesen Winkel. Im Abschnitt Fachmathematik können ausführliche mathematische Herleitungen zu Winkelfunktionen des rechtwinkligen Dreiecks nachgelesen werden.

Aus dem Einheitskreis mit dem rotierenden Zeiger kann das Liniendiagramm entwickelt werden. Dazu wird der Kreisumfang entlang der Nulllinie nach rechts abgerollt und so zur x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Auf der y-Achse sind die jeweiligen Amplitudenwerte des Radius für die Rotationswinkel abgetragen.

Dreht sich nach einem kompletten Umlauf der Zeiger gleichmäßig weiter, dann ist es ein periodischer Vorgang. Eine Periode umfasst 360°. Im Liniendiagramm kann die Winkeleinteilung der x-Achse durch das Bogenmaß ersetzt werden, wobei 360° dem Wert 2π entsprechen. Dieser Zusammenhang folgt aus dem Kreisumfang U mit U = 2·π·r bei r = 1.

Die Periode einer sinusförmigen Wechselgröße setzt sich aus einer positiven und negativen Halbschwingung zusammen.

Top

Frequenz und Periodendauer

Formeln zur Frequenz

Die Zeitdauer für einen kompletten Zeigerumlauf wird als Periodendauer bezeichnet und hat das Formelzeichen T mit der Einheit s. Die Anzahl der Perioden je Sekunde ist die Frequenz mit dem Formelzeichen f und der Einheit s−1 und wird zu Ehren des deutschen Physikers Heinrich Hertz genannt. Beide Größen sind zueinander reziprok.

Eine Frequenz von 50 Hertz besagt, dass in einer Sekunde 50 Perioden durchlaufen werden. Jede Periode besteht aus einer positiven und negativen Halbschwingung. Die Periodendauer der vollständigen Schwingung ist der 50ste Teil einer Sekunde und dauert 20 ms.

Die Kreisfrequenz

Bei bekanntem Scheitelwert U kann für jeden Winkel der Momentanwert u einer sinusförmigen Wechselgröße errechnet werden.

u = f (α) = U · sin(α)

Im Liniendiagramm kann als unabhängige Größe sowohl der Winkel α als auch die Zeit abgetragen sein. In einer Periodendauer werden 360° durchlaufen. Die Momentanwerte lassen sich daher auch in Abhängigkeit von der Zeit berechnen lassen. Im Zeigerdiagramm legt der Zeiger mit der Länge r innerhalb einer Periode den Weg s zurück.

s = 2 · π · r

Bei größerer Drehgeschwindigkeit wird der Kreisumfang und damit die Periode schneller durchlaufen. Der Zeitbegriff ist in der Umfangsgeschwindigkeit enthalten.

v = ( 2 · π · r ) / T

Die Umfangsgeschwindigkeit ist vom Radius abhängig. Dividiert man durch den Wert des Radius, wird man von r unabhängig. Der Quotient aus Umfangsgeschwindigkeit durch Radius wird Winkelgeschwindigkeit genannt. Sie erhält als Formelzeichen ω, Omega mit der Einheit s−1.

ω = v / r = ( 2 · π ) / T

Die Winkelgeschwindigkeit ist für alle Punkte des sich drehenden Zeigers gleich groß. Die Periodendauer kann durch die Frequenz ersetzt werden. Man erhält so die in der Elektrotechnik bekanntere Beziehung der Kreisfrequenz.

ω = 2 · π · f

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Winkeländerung pro Zeiteinheit. Der in einer bestimmten Zeit durchlaufene Winkel wird durch folgende Gleichung beschrieben.

α entspricht ω·t = 2 · π · f · t   somit ist   t = α° / (f · 360°)

Sind der Scheitelwert und die Frequenz bekannt, dann ist der Momentanwert einer sinusförmigen Wechselgröße für jeden Zeitpunkt errechenbar.

u = f (t) = U · sin ( ω · t ) = U · sin ( 2 · π · f · t )

Top

Der Phasenverschiebungswinkel

Sind in einem System mehrere sinusförmige Wechselgrößen vorhanden, so fehlt zur eindeutigen Beschreibung neben Frequenz und Scheitelwert noch der Phasenwinkel. Zwei Sinusschwingungen gleicher Frequenz sollen zeitlich zueinander verschoben sein. Das Bild zeigt eine Momentaufnahme im Zeiger- und Liniendiagramm, wobei keine Schwingung zum Zeitpunkt t = 0 entsprechend φ = 0 mit dem Winkel φ = 0° beginnt.

In Liniendiagramm hat die blaue Kurve bei φ = 0° einen positiven und die rote Kurve einen negativen Amplitudenwert. Werden diese Werte auf das Zeigerdiagramm projiziert, so lassen sich die entsprechenden Zeiger einzeichnen und die Winkelwerte bei diesen Amplituden ablesen. Als Bezugswinkel oder Bezugsphase werden 0° festgelegt. Der Phasenwinkel der blauen Kurve beträgt φ1 = +30°. Der Phasenwinkel der roten Kurve beträgt φ2 = −45°. Diese Winkel werden als Nullphasenwinkel bezeichnet und sind vom Bezugspunkt abhängig. Der Phasenverschiebungswinkel ist die Differenz der Nullphasenwinkel und unabhängig vom gemeinsamen Bezugspunkt. Er errechnet sich zu absolut φ = 75°.

Phasenwinkel im Kreis- und Liniendiagramm

Verschiebt man die Amplitudenachse nach rechts auf die grüne Position, dann beginnt die blaue Kurve im Nullpunkt und wird zur Bezugskurve. Die rote Kurve hat zu diesem Zeitpunkt eine negative Amplitude. Der zugehörige Winkel kann im Zeigerdiagramm mit φ = −75° abgelesen werden. Betrachtet man nur das Liniendiagramm, so erreicht die rote Kurve den Amplitudenwert 0 nach Ablauf von 75°. Die rote Kurve eilt der blauen Bezugskurve um diesen Phasenverschiebungswinkel nach, daher das Minuszeichen für den Phasenwinkel mit φ = −75°.

Soll dagegen die rote Kurve als Bezugskurve dienen, so wird die Amplitudenachse in die hellblaue Position verschoben. Die blaue Kurve hat dort schon eine positive Amplitude, für die im Zeigerdiagramm der Phasenwinkel φ = 75° abgelesen werden kann. Im Liniendiagramm hatte die blaue Kurve vor 75° den Amplitudenwert 0 bei positiver Steigung. Die blaue Kurve eilt der Bezugskurve vor, daher das Pluszeichen für den Phasenwinkel mit φ = +75°.

Top

Der Effektivwert einer Sinusgröße

Grundsätzlich gelten die für Gleichspannung hergeleiteten Beziehungen für Arbeit und Leistung auch bei Wechselspannung. Anstelle der konstanten Werte sind jetzt die zeitabhängigen Spannungs- und Stromwerte einzusetzen. Am ohmschen Wirkwiderstand sind zu jedem Zeitpunkt Spannung und Strom in Phase. Die Leistungskurve der sinusförmigen Wechselgrößen ist ebenfalls sinusförmig, hat aber die doppelte Frequenz. Im Zeitdiagramm verläuft sie nur im positiven Bereich, da bei der Multiplikation zweier negativer Werte das Ergebnis stets positiv ist.

Effektivwert aus Leistungskurve

Es ist wünschenswert, wenn die Leistungsangabe für Geräte, die sowohl an Gleich- als auch Wechselspannung betrieben werden können, identisch ist. Da die Sinusspannung und damit auch der Strom zu jedem Zeitpunkt einen anderen Wert hat, muss ein neuer über die Zeit konstanter Wert gefunden werden, der diese Bedingung erfüllt. Dieser Wert ist der Effektivwert, der wie folgt anschaulich hergeleitet werden kann.

Das vorige Bild zeigt für die Leistungskurve einen Spitzenwert von 6 VA und einen symmetrischen Verlauf zum halben Spitzenwert bei 3 VA. Im folgenden Bild erkennt man, dass die oberen Kurvenhälften in die unteren Lücken ausfüllen. Es entsteht eine im zeitlichen Mittel durchgehende Fläche mit einer konstanten Wirkleistung von 3 Watt. Mit den bekannten Formeln für Leistung und Arbeit kann der nachstehende Vergleich durchgeführt werden.

Herleitung des Effektivwerts

Der quadratische Mittelwert einer Sinusgröße ist ein Dauerwert. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man den Effektivwert. Für Effektivwerte gilt das ohmsche Gesetz ebenso wie für Gleichwerte. Im dargestellten Beispiel gilt für den Spitzenwert der Spannung der Effektivwert von 0,707 · 3 V = 2,121 V. Der Effektivwert des Stroms beträgt 0,707 · 2 A = 1,41 A. Die umgesetzte Leistung errechnet sich zu konstanten 3 VA. Bei Sinusgrößen gelten folgende Aussagen:

Effektivwert = 0,707 · Spitzenwert (Scheitelwert)
Scheitelwert = 1,414 · Effektivwert
Scheitelfaktor = Scheitelwert / Effektivwert = √2 = 1,414

Neben der grafischen Lösung kann die Herleitung des Effektivwerts auch rein mathematisch mittels der Integralrechnung erfolgen.