Informations- und Kommunikationstechnik

Passive elektrische Filter

Unter diesem Titel werden passive Bandpass- und Bandsperrfilter gezeigt, deren Schaltungen RC- und RL-Gliedern aufweisen. Ein in der Unterhaltungselektronik genutztes Filter ist das Klangeinstellnetzwerk - Shelving Filter, dass sowohl in passiver als auch in aktiver Schaltungsvariante eingesetzt wird. Bessere Filtereigenschaften werden mit T- und Pi-Filterschaltung erreicht, die in ihren Grundschaltungen gezeigt werden. Eine große Filtergruppe ist aus LC - Grundhalbgliedern aufgebaut, die dann als eingliedrige LC-Grundketten in vielen LC-Bandfiltern für Selektivverstärker zu finden sind. Als spezielle LC-Filter werden hier noch die Boucherot-Schaltung als Resonanztrafo und das Collins-Filter zur Leistungsanpassung beschrieben.

Elektronische Filterschaltungen beeinflussen den Frequenzbereich zugeführter elektrischer Eingangssignale. Ein elektrisches Filter hat mindestens einen charakteristischen Durchlass- und Sperrbereich. Für den Bereichsübergang ist eine Grenzfrequenz definiert bei der die Amplitude des Ausgangssignals um a = 3 dB gedämpft ist. Das logarithmische Maß besagt, dass die Ausgangsamplitude um den Faktor 1 / √2 = 0,7071 kleiner als die Eingangsamplitude ist und einer Verstärkung von V = −3 dB entspricht. Die Filtercharakteristik kann als Dämpfungs- oder Durchlassverhalten beschrieben werden, die zueinander reziprok sind. Das Übertragungsverhalten wird fast immer als Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsgröße angegeben. Bei passiven Filterschaltungen ist die Ausgangsamplitude immer kleiner oder gleich der Eingangsamplitude.

Einfache Filter, zu denen RC- und RL-Tief- und Hochpässe zählen, haben nur eine Grenzfrequenz fg.
Bei fg gilt: Ua / Ue = 1 / √2 = 0,7071.

Hoch-,Tiefpass-Charakteristik

Tiefpassfilter (low pass filter)

Alle Frequenzen bis zur Grenzfrequenz (englisch cutoff frequency), teilweise als Eckfrequenz bezeichnet, werden fast ohne Abschwächung zum Ausgang durchgelassen. Die Signalamplituden der höheren Frequenzen werden zunehmend gedämpft.

Hochpassfilter (high pass filter)

Die Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz durchlaufen das Filter und stehen am Filterausgang ungeschwächt zur Verfügung. Je weiter man von der Eckfrequenz in den Bereich tieferer Frequenzen kommt, desto mehr werden die Amplituden geschwächt. Gleichspannungsanteile werden vollkommen gesperrt.

Bandpassfilter (band pass filter)

Zusammengesetzte Filterschaltungen mit Resonanzkreisen oder voneinander unabhängigen RC- und RL-Gruppen bilden Bandpässe oder Bandsperren. Diese Filter haben ihren charakteristischen Extremwert bei der Mittenfrequenz fo. Zusätzlich zur Mittenfrequenz gibt es an den 3 dB-Punkten eine untere fgu und obere fgo Grenzfrequenz. Die Mittenfrequenz errechnet sich als geometrischer Mittelwert aus den Grenzfrequenzen. Eine weitere charakteristische Filtergröße ist die Bandbreite B, der Differenzwert zwischen der oberen und unteren Grenzfrequenz. Dargestellt sind prinzipielle Filterkurven mit Durchlass- DB und Sperrbereich SB und die Lage der Grenzfrequenzen.

Bandpass, Bandsperre, Formeln

In der digitalen Audiotechnik kommt ein nach der Audio Engineering Society standardisiertes Messbandfilter AES17-1998 zum Einsatz. Es ist ein Bandpassfilter, das im Bereich von 10 Hz bis 20 kHz eine Amplitudenkonstanz von ±0,1 dB und bei 24 kHz eine Dämpfung von mindestens 60 dB aufweist.

Wird der Amplituden-Frequenzgang der Bandpass- oder Bandsperrfilter mit linear geteilter Amplitudenachse dargestellt, dann ähnelt die Durchlasskurve dem Profil einer Glockenkurve. Die Filter werden daher auch Glockenfilter (englisch peak filter) genannt, zu denen auch Reihen- und Parallelschwingkreise zählen.

Oktavfilter und Terzfilter

Es handelt sich um Bandpassfilter, deren Grenzfrequenzen in einem festen Verhältnis stehen. Die Übertragungsfunktionen sind zumeist genormt und die Filter haben sehr steile Flanken. In der Audiotechnik entspricht die Oktave einer Frequenzverdopplung. Die Bandbreite drei aufeinanderfolgender Terzfilter umfasst eine Oktave. Mit Festlegung einer Grenzfrequenz errechnet sich die zugehörige zweite Eckfrequenz wie folgt.

Oktav-,Terzfilter Grenzfrequenzen

Bandsperrfilter (notch filter, band reject filter)

Die Bandsperre hat ein zum Bandpass gespiegeltes Verhalten. Das Filter selektiert ein bestimmtes, oft sehr schmales Frequenzband. Prinzipiell handelt es sich um parallel geschaltete Hoch- und Tiefpässe. Alle Frequenzen bis zur unteren Grenzfrequenz und ab der oberen Grenzfrequenz passieren ohne Dämpfung. Der Frequenzbereich dazwischen wird zur Mittenfrequenz hin zunehmend geschwächt. Eine Bandsperre mit einem sehr schmalen Frequenzband, steilen Flanken und hoher Dämpfung wird Kerb- oder Notchfilter genannt. Handelt es sich um einen Reihenschwingkreis, so spricht man von Falle (trap filter) oder Saugkreis.

Allpassfilter

Als einzige Ausnahme bleibt bei diesem Filtertyp die Signalamplitude im gesamten Frequenzbereich unbeeinflusst. Das Filter besitzt eine Grenzfrequenz. Im Arbeitsbereich unterhalb der Grenzfrequenz ist die Signalgruppenlaufzeit unabhängig von der Frequenz. Das Ausgangssignal erfährt eine frequenzabhängige Phasenverschiebung. Das Allpassfilter arbeitet als Phasenschieber oder Laufzeitglied und gibt somit das Eingangssignal unverändert aber zeitverzögert an den Ausgang weiter. Ein Kammfilter ist die Zusammenschaltung mehrerer aufeinander abgestimmter Allpassfilter.

Flankensteilheit

Die Flankensteilheit ist eine Kenngröße und ein Maß für die Änderung der Übertragungsamplitude im Sperrbereich. Da der Übergang vom Durchlass- in den Sperrbereich nicht mit einem scharfen Knick und linear erfolgt, ist die Angabe einer Bezugsfrequenz notwendig. Von der Grenzfrequenz ausreichend weit entfernt wird der in logarithmischer Teilung dargestellte Kennlinienverlauf linear. Die Flankensteilheit oder Dämpfung wird dann als Kenngröße pro Oktave, der Frequenzverdopplung oder Dekade, der Frequenz-Verzehnfachung angegeben. Filter n-ter Ordnung haben dort eine Dämpfung von n·6 dB/Oktave und n·20 dB/Dekade mit n als ganze Zahl größer null. Je höher die Ordnungszahl, desto eher kann eine störende Welligkeit im Durchlassbereich auftreten.

Selektivität – Güte

Neben den Nutzfrequenzen gelangen auch geringe Anteile unerwünschter Frequenzbereiche an den Filterausgang. Die Selektivität ist der Quotient der Ausgangsamplitude oder des Übertragungsfaktors im Durchlassbereich bei der Mittenfrequenz in Bezug zum Übertragungsfaktor ab einer vorgegebenen Störfrequenz. Filter mit geringer Bandbreite zeichnen sich durch eine hohe Filtergüte aus. Der benennungslose Gütefaktor Q errechnet sich als Q = fo / B = fo / (fgo − fgu).

Betriebsdämpfung

Bei passiven Filtern ist das Ausgangssignal immer kleiner als das Eingangssignal. Die Betriebsdämpfung ist das auf den Durchlassbereich bezogene Verhältnis der Eingangsleistung zur Ausgangsleistung. In aktiven Filterschaltungen kann das durch eine lineare Verstärkung ausgeglichen werden.

Phasenlaufzeit

Durchläuft ein Signal mit bestimmter Frequenz ein Filter oder eine elektronische Baugruppe, kann es zum zeitlichen Verzug kommen, der dann als Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal messbar ist. In einem stationären System ist die Phasenlaufzeit die Zeit, die das Ausgangssignal benötigt, um den Phasenzustand des Eingangssignals zu erreichen. Die Phasenlaufzeit ist als Funktion der Frequenz darstellbar.

Phasenlaufzeit

Berechnet wird die Phasenlaufzeit mit dem Bogenmaß des Phasenwinkels. Bei monofrequenten Signalen zeigt sich nur eine Phasenverschiebung und keine Verzerrung. Ist die Phasenlaufzeit eines Übertragungssystems im betrachteten Frequenzbereich konstant, dann wird das Signal verzerrungsfrei übertragen. Über den gesamten Frequenzbereich erfüllt ein Hoch- oder Tiefpass diese Phasenbedingung nicht, sodass Signale mit vielen Oberwellen nicht verzerrungsfrei übertragen werden.

TP mit Signalbeispielen zur Phasenlaufzeit

Für einen RC-Tiefpass wurde in das Phasen-Frequenzdiagramm die frequenzabhängige Phasenlaufzeit eingetragen. Unterhalb der Grenzfrequenz ist die Phasenlaufzeit nahezu konstant und ein Mischsignal aus drei Sinusfrequenzen erfährt nur eine Phasenverschiebung. Mit Beginn des Sperrbereichs ist die Phasenlaufzeit nicht mehr konstant und das Mischsignal mit den jeweils zehnfachen Frequenzwerten zeigt ein stark verzerrtes Ausgangssignal.

Gruppenlaufzeit

Durchläuft eine schmalbandige Signalgruppe, beispielsweise ein Modulationssignal ein Filter oder eine elektronische Baugruppe, so kommt das Signal zeitverzögert am Ausgang an. Die Gruppenlaufzeit ist die Zeit, mit der die Hüllkurve des Gesamtsignals verzögert am Ausgang erscheint. Die Gruppenlaufzeit errechnet sich aus der Ableitung des Phasengangs bei der jeweiligen Frequenz und gibt die Steigung des Phasengangs an. In einem Frequenzbereich mit linearem Phasengang sind die Gruppenlaufzeiten konstant. Ein schmalbandiges Signal, das diesen Frequenzbereich des Systems (Bandfilter) nicht überschreitet, wird unverzerrt übertragen.

Gruppenlaufzeit für AM-ZF-Signal

Das Bild zeigt ein einfaches Schwingkreisfilter für ein amplitudenmoduliertes Zwischenfrequenzsignal der analogen Rundfunktechnik. Die verwendete ZF-Frequenz beträgt 455 kHz und die Bandbreite des AM-Signals ist auf 9 kHz festgelegt. Der Schwingkreis hat eine Bandbreite von 11 kHz und zeigt im Bodediagramm zwischen den Grenzfrequenzen einen weitgehend linearen Phasengang. In diesem Bereich ist die Steigung der rot eingezeichneten Geraden und somit auch die Gruppenlaufzeit konstant. Das AM-ZF-Signal erscheint verzögert und unverzerrt am Filterausgang.

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RC- und RL-Filter

Passive Bandpass- und Bandsperrfilter

Zu den einfachsten Grundschaltungen gehören die RC- und RL-Spannungsteiler. Diese Hoch- und Tiefpässe besitzen ein von der Frequenz abhängiges Bauteil und sind somit Pässe oder Filter 1. Ordnung. Die Reihenschaltung aus HP und TP ergibt einen Bandpass, wenn die Grenzfrequenz des TP gleich oder größer als die des HP ist. Eine abgewandelte Parallelschaltung von HP und TP führt zur Bandsperre. Beide Filter haben keine so guten Filtereigenschaften, da sie wie Filterpässe 1. Ordnung nur die Flankensteilheit von 20 dB pro Dekade oder 6 dB pro Oktave erreichen. Mit zwei unabhängigen Speichergliedern sollten es eigentlich Filter 2. Ordnung. Nachteile entstehen durch die gegenseitige Belastung bei der direkten Zusammenschaltung der Einzelpässe zum Filter. Ein zu hoher Innenwiderstand der Eingangssignalquelle und eine Ausgangsbelastung wirken sich zusätzlich negativ auf den Maximalpegel aus und verschieben die Grenzfrequenzen.

Bandpass und Bandsperre mit Bodediagramm

Im Bandpass beträgt die Grenzfrequenz für den Hochpass 159 Hz und für den Tiefpass 1,592 kHz. Aus dem Bodediagramm der Schaltungssimulation kann für die Mittenfrequenz fo = 504 Hz abgelesen werden. Sie errechnet sich auch als geometrisches Mittel aus den unbelasteten Grenzfrequenzen vom HP und TP. Durch die gegenseitige Belastung ergeben sich für den Bandpass andere Grenzfrequenzwerte, deren geometrisches Mittel wieder die gleiche Mittenfrequenz ergibt.

Bei der Bandsperre sollte die Grenzfrequenz des TP kleiner als die des HP sein. Optimaler wäre eine echte Parallelschaltung beider Pässe wie in der folgenden Schaltung. Die beiden Ausgangsspannungen werden hochohmig mithilfe einer Addierstufe zum gemeinsamen Filterausgang zusammengeführt. Die Flankensteilheit ist größer, erreicht auch hier nicht die 12 dB/Oktave eines Filters 2. Ordnung. Die Grenzfrequenz des HP beträgt 15,92 kHz und die des TP 159 Hz und weicht in diesem Bandsperrfilter infolge der besseren Entkopplung weniger stark ab. Eine optimale Entkopplung der einzelnen Pässe kann durch nicht invertierende Operationsverstärker erreicht werden. Der folgende Link führt zu unter anderem zu ausführlichen mathematischen Informationen zum RC-Bandpass.

Bandsperre aus parallelem HP und TP mit Bodediagramm

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Klangeinstellnetzwerk – Shelving Filter

Im Audiobereich der Heimelektronik verwendet man zur Klangbeeinflussung Höhen- und Tiefeneinsteller. Sie funktionieren im einfachsten Fall mit RC-Pässen, wo mit Potenziometern die Amplitudenfrequenzgänge beeinflusst werden. Vielfach liegen die Filter im Rückkoppelzweig zwischen zwei Verstärkerstufen, damit die einstellbaren Frequenzbereiche kontrolliert gedämpft oder verstärkt werden können. Die Schaltung zeigt ein passives universelles Fächernetzwerk mit Höhen- und Tiefeneinsteller, auch Kuh- oder Schwalbenschwanzentzerrer genannt. Es handelt sich um einen industriell verwendeten Schaltungsauszug, die dem klassischen Fächerentzerrer ähnlich ist. Hier sind es von der Frequenz abhängige Brückenzweige, die als einstellbare Hoch- und Tiefpässe arbeiten. Das Diagramm zeigt den Amplituden-Frequenzgang für unterschiedliche Einstellungen der Höhen- und Tiefenpotis.

Shelvingfilter

Beim Tiefpass wird das Nutzsignal parallel zum Kondensator, beim Hochpass parallel zum Wirkwiderstand abgegriffen. Steht der Schleifer des Tiefenstellers T oben (maximal), so kann im linken Zweig der obere Widerstand mit dem Kondensator als Tiefpass angesehen werden. Über den Brückenzweig werden die tiefen Frequenzen an den Ausgang ausgekoppelt. In der unteren Position (minimal) koppelt der Tiefensteller am Widerstand aus. Der Kondensator bildet mit diesem unteren Widerstand einen Hochpass. Im Ausgangssignal sind die tiefen Frequenzbereiche stark gedämpft.

Steht im rechten Brückenteil der Schleifer des Höhenstellers H oben (maximal), so bildet er mit dem oberen Kondensator einen Hochpass und im Ausgangssignal sind die Höhenbereiche nicht gedämpft. In der unteren Position (minimal) wird am unteren Kondensator ausgekoppelt und der Höhensteller bildet mit diesem Kondensator einen Tiefpass. Im Ausgangssignal ist der Höhenbereich am stärksten gedämpft.

Keine der beiden Brückenseiten sind reine Hoch- oder Tiefpässe. Je nach Schleiferstellung sind beide Eigenschaften mehr oder weniger wirksam. Eine einfache Grenzfrequenzberechnung ist hier nicht möglich.

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T- und Pi-Filterschaltung

Beim Zusammenschalten von zwei gleichen Pässen gibt es zwei Schaltungsvarianten, die ihrem Aussehen nach den Buchstaben T oder Pi bilden. Bei RC- und RL-Pässen sind beide Schaltungsvarianten gleichwertig. Im unteren und mittleren Frequenzbereich werden nach Möglichkeit RC-Filter bevorzugt, da Spulen teurer, größer und im Vergleich zu Kondensatoren eine geringere Güte haben. T- und Pi-Filterschaltungen in LC-Technik bilden Filter höherer Ordnung mit steileren Flanken und einer besseren Trennung zwischen Durchlass- und Sperrbereich. Das Bild zeigt einige einfache Grundtypen.

T- und Pi-Filter

Die folgende Schaltung zeigt die Anwendung eines Pi-Filters. Es handelt sich um ein Präsenzfilter zur Verbesserung der Sprachverständlichkeit. Die Schaltung wurde in einem Hi-Fi-Empfänger der Firma SABA eingesetzt. Entsprechend der Telefonie Bandbreite liegt das Sprachband zwischen 300 Hz bis 3,4 kHz. Dieses Filter arbeitet zwischen 1,2 kHz ... 5,5 kHz mit dem Durchgangsmaximum bei einer Mittenfrequenz von 2,6 kHz. Im Empfänger befindet sich das Filter im Rückkopplungszweig zweier Transistoren, wodurch die Dämpfung in eine Verstärkung umgekehrt wird. Vom Ausgang betrachtet wirkt der 22 nF Kondensator in der Brückenverbindung mit dem 5,6 kΩ als Hochpass auf den Eingang zurück. Vom Eingang her gesehen stellt dieser Kondensator mit dem 1,8 kΩ einen Hochpass dar. Mit ihm verliert der Tiefpass im Ausgangszweig zu höheren Frequenzen seinen Einfluss.

Präsenzfilter, Pi-Filter

Ein weiteres Beispiel zeigt die Anwendung eines Doppel-T- oder Kerbfilters aus RC-Hoch- und Tiefpassgliedern. Es handelt sich um eine 16 kHz Sperre zum Abblocken des Gebührenimpulses im Telefonverkehr, der den Modembetrieb am PC stören konnte. Die per Simulation ermittelte Mittenfrequenz liegt bei 15,8 kHz. Bei gleichen Widerstands- und Kondensatorwerten im Durchgangszweig hat der nach Masse geschaltete Widerstand den halben Wert und der Kondensator den doppelten Wert.

Doppel-T-Filter

Fernspeiseweiche (bias tee)

Die Fernspeiseweiche, ein in der HF-Technik T-förmig aufgebautes Filter, trennt eine DC-Versorgungs- oder Schaltspannung von HF-Signalen. Es sind Frequenzweichen, die im engl. Sprachgebiet als bias tee bezeichnet werden und oft in der Antennentechnik vor HF-Verstärkern und Vorverstärkern eingesetzt werden. In der oberen Schaltung kann die DC-Versorgungsspannung nicht über den Kondensator C1 an den HF-Ausgang gelangen. Der hohe induktive Widerstand sperrt die HF nach unten hin, ist aber für DC und niedrige Frequenzen unwirksam. Die Gleichspannung wird zwischen C2 und L ein- oder ausgekoppelt und ist durch C2 von der Masse getrennt, während restliche HF-Anteile nach Masse kurzgeschlossen werden.

Fernspeiseweiche

Bei geeigneter Dimensionierung der Bauteile kann diese Weiche auf gleichem Weg auch ein gemischtes HF-Eingangssignal trennen. Die zweite Schaltung zeigt die mithilfe einer Simulation erstellte Funktionsweise. Zum einfachen Ausfiltern ist der Abstand der HF1-Frequenz mit 10 MHz weit genug entfernt von der HF2-Frequenz mit 100 kHz. Als Ein- und Ausgangswiderstände werden die in der Antennentechnik gebräuchlichen 75 Ω eingesetzt.

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Grundhalbglieder der LC - Filter

Die bisher vorgestellten Filter haben keine besonders steilen Flanken. Mit nur einem von der Frequenz abhängigen Bauteil weisen die Grundglieder eine maximale Flankensteilheit von 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade auf. LC-Filter mit zwei von der Frequenz bestimmten Bauteilen zeigen mit 12 dB pro Oktave oder 40 dB pro Dekade eine bessere Filterwirkung. Ohne zusätzliche ohmsche Widerstände ist die Grunddämpfung im Durchlassbereich viel geringer. Neben diesen Vorteilen kann das Resonanzverhalten der einfachen LC-Glieder problematisch sein. Die Filter müssen, wie bei den Lautsprecherweichen gezeigt, auf den angeschlossenen Lastwiderstand angepasst werden.

Eine Spule und ein Kondensator in Reihe geschaltet bildet einen Reihenschwingkreis mit einer Resonanzfrequenz und zwei Grenzfrequenzen. Der Amplitudenverlauf des Ausgangssignals, das parallel zum Kondensator abgegriffen wird, nimmt nach der oberen Grenzfrequenz ab. Diese Schaltungsvariante ist mit einem Tiefpass vergleichbar. Zwischen den Grenzfrequenzen liegt die Resonanzfrequenz, die mithilfe der Thomson-Formel berechnet werden kann und zur Filterfrequenz wird. Am Blindwiderstand kommt es zur Spannungsüberhöhung, die von der Kreisgüte abhängig ist. Nimmt man für L und C ideales Verhalten an, wird die Kreisgüte durch den Quelleninnenwiderstand und durch den Lastwiderstand bestimmt wird. Mit einer angepassten Belastung wird die Überhöhung vermieden und die Flankensteilheit bleibt für das Filter 2. Ordnung bestehen.

LC-Tiefpass

Werden in der Schaltung die Plätze von L und C getauscht und das Ausgangssignal parallel zur Spule abgegriffen, dann ist der Frequenzbereich bis zur Grenzfrequenz stark gedämpft und die Schaltung wirkt als Hochpass. Die Amplitudendiagramme sind für die gleichen Belastungsfälle spiegelsymmetrisch zur Mitten-(Resonanz)frequenz.

Ein LC-Parallelschwingkreis zeichnet sich bei Resonanzfrequenz durch Spannungsüberhöhung und starker Dämpfung außerhalb des Bandbreitenbereichs aus. Die Bandbreite ist von der Belastung durch die Quellenimpedanz und die Lastimpedanz der Folgestufe bestimmt. Die Güte der Spule ist vom ohmschen Drahtwiderstand bestimmt und meistens wesentlich höher. Mit zunehmender Belastung wird die Bandbreite B größer und die Filtergüte Q geringer. Sie errechnet sich mit Q = fo / B, aus dem Verhältnis der Mittenfrequenz zur Bandbreite. Mit abnehmender Güte wird auch die Flankensteilheit deutlich kleiner.

LC-Bandpass und Bandsperre

Der Schwingkreis in Serie zum Signalweg geschaltet ergibt eine Bandsperre. Die Kreisgüte ist in der Simulation durch den eingefügten Drahtwiderstand der Spule auf Q = 140 bestimmt. Ein kleinerer Ausgangswiderstand belastet das Filter stärker, sodass die Güte abnimmt und die Bandbreite zunimmt. Gleichzeitig nimmt die Flankensteilheit im Übergangsbereich vom Durchlass in den Sperrbereich ab.

Eine verbesserte Methode entsteht durch den Einsatz von T- und Pi-Filtergliedern. Die Grundbausteine der LC-Filterschaltungen werden Halbglieder genannt und sind aus einem Längs- und einem Querzweipol aufgebaut. Das Produkt aus Längs- und Querimpedanz sollte frequenzunabhängig sein. Das folgende Bild zeigt die vier wichtigsten Grundhalbglieder. Eine Spule im Längszweig führt ebenso wie der Kondensator im Querzweig zum Tiefpass. Für einen Hochpass liegt der Kondensator im Längszweig und die Spule im Querzweig. Ebenso ergänzt sich ein Reihenschwingkreis längs mit einem Parallelschwingkreis quer zum Bandpass. Werden die Schwingkreise gegeneinander ausgetauscht, entsteht eine Bandsperre.

Dualitätsinvariante

Zwei Schaltungen sind dual zueinander, wenn sich der (komplexe) Wechselstromwiderstand der einen proportional zum (komplexen) Leitwert der anderen verhält. Die Proportionalitätskonstante wird Dualitätsinvariante genannt und hat die Dimension Ω².

Dualitätsinvariante

Grundhalbglieder passiver LC-Filterschaltungen

LC-Filtergrundhalbglieder

Während ein Hoch- und Tiefpass mathematisch relativ einfach zu berechnen ist, wird die Berechnung von Bandpass und Bandsperre anspruchsvoll. Die wichtigsten Gleichungen sind dem Buch von D. Stoll: Einführung in die Nachrichtentechnik, AEG-Telefunken 1979 entnommen. Für die Grundglieder Hoch- und Tiefpass werden folgende Formeln angegeben:

Standardformeln LC-Filter

Für das Grundhalbglied LC-Bandpass gelten die Bestimmungsgleichungen:

Standardformeln LC-Bandpass

Für das Grundhalbglied LC-Bandsperre gelten die Bestimmungsgleichungen:

Standardformeln LC-Bandsperre

Resonanztrafo – Boucherot-Schaltung

Ein LC-Filterhalbglied als Serienschwingkreis in Resonanz mit einem zum Kondensator parallel geschalteten Lastwiderstand betrieben, wird als Boucherot-Schaltung bezeichnet. Durch den Lastwiderstand fließt bei Resonanz ein konstanter Strom, und da die Schaltung wie ein Transformator Spannung, Strom und Leistung übertragen kann, wird sie auch als Resonanztrafo bezeichnet. Sie dient unter anderem der Leistungsanpassung zwischen dem Innenwiderstand einer Quelle und der angeschlossenen Last.

Boucherot-Resonanztrafo

Untersucht wurde eine Simulationsschaltung mit Z1 als Induktivität L = 800 mH, und der Kapazität Z2 zu C = 12,5 μF bei der Resonanzfrequenz von 50 Hz. Bei einer konstanten sinusförmigen effektiven Eingangsspannung von 10 V wurden für unterschiedliche ohmsche Lastwiderstände Ra die Eingangsströme Ie, Lastströme Ia und Spannungen Ua an der Last ermittelt. Die Tabelle zeigt den mathematisch vorhergesagten konstanten Laststrom.

Ra / kΩ 0,1 0,5 1 2 5 10
Ie / mA 42,8 87,6 161 313 757 1400
Ua / V 3,98 19,9 39,8 79 192,5 354
Ia / mA 39,8 39,8 39,75 39,6 38,5 35,4

Schaltungen mit dem Resonanztrafo finden man in der Ansteuerung von Energiesparlampen und elektronisch gesteuerten Leuchtstoffröhren sowie dem Betrieb der CCFL-Kaltkathodenröhren für die Hintergrundbeleuchtung von TFT-LCD-Flachbildschirmen. Solange eine Leuchtstoffröhre nicht gezündet hat, ist ihr Lastwiderstand sehr hoch und der Resonanztrafo stellt dann, wie aus den Tabellenwerten zu ersehen, selbst die notwendig hohe Zündspannung bereit.

In der Hochfrequenztechnik und in Sende- und Empfangsgeräten kann mithilfe von Resonanztransformatoren Leistungsanpassung zwischen unterschiedlichen Funktionsblöcken erreicht werden. Die Impedanz der Quelle, im folgenden Beispiel auf ihren Innenwiderstand R1 vereinfacht, liegt parallel zur LC-Reihenschaltung. Die Lastimpedanz, vereinfacht auf einen ohmschen Widerstand R2 liegt parallel zum Kondensator. Bei Leistungsanpassung gibt die linke Seite mit ihrem Innenwiderstand ebenso viel Leistung an die Last R2 ab, wie eine gedachte Quelle rechts mit dem Last-Innenwiderstand R2 an die linke Seite abgeben würde, wo dann R1 als Last zu sehen ist.

Resonanztrafo Herleitung zur Leistungsanpassung

Im folgenden Beispiel wird in einer UKW-ZF-Filterkette der Ausgang eines niederomigen ZF-Quelle mit R1 = 50 Ω an eine hochohmige Folgestufe mit R1 = 2,2 kΩ mit größtmöglicher Leistung angepasst. Die Resonanzfrequenz beträgt 10,7 MHz. Mit den hergeleiteten Formeln berechnen sich die Induktivität zu 4,9 μH und die Kapazität zu 44 pF. Die Leistungswerte wurden mithilfe einer Schaltungssimulation bestimmt.

Resonanztrafo bei Leistungsanpassung

Collins-Filter

Je weniger sich die Werte der Quellen- und Lastimpedanz unterscheiden, desto geringer ist die Betriebsgüte und der Resonanztrafo hat eine große Bandbreite. Weil das LC-Filter die Impedanzen in beiden Richtungen transformieren kann, lassen sich zwei unterschiedlich dimensionierte LC-Tiefpässe zu einem PI-Filter zusammenschalten. Die Anordnung wird PI-Koppler oder nach der Firma Rockwell Collins als Collins-Filter bezeichnet, die sie in ihren Funkgeräten verwendete. Mit dem Filter sind Impedanzanpassungen zwischen Quelle und Last auch für höhere Gütewerte möglich. Abstimmbare Collins-Filter werden oft in der HF-Technik zur reflexionsarmen leistungsangepassten Signalübertragung zwischen Senderendstufe und Antenne eingesetzt. Bei der Betriebsfrequenz soll eine maximale Leistungsübertragung erfolgen und die Dämpfung außerhalb der Bandbreite möglichst hoch sein.

Zwei Resonanztransformatoren bilden mit den Induktivitäten in Serie geschaltet ein Collins-Pi-Filter. Die Eingangs- und Ausgangsbelastungen liegen auf das Signal bezogen parallel zu den Kondensatoren. So wird der Lastwiderstand der einen Seite auf einen gedachten kleinen Hilfswiderstand herab transformiert und dieser im zweiten Schritt auf die andere Seite zum Lastwiderstand hoch transformiert. Die Leistungsanpassung kann im Fall der Resonanz durch das Verhältnis der beiden Kondensatoren bestimmt werden.

Collins-Pi-Filter

In D. Stoll: Einführung in die Nachrichtentechnik, AEG-Telefunken 1979 werden zur Leistungsanpassung mithilfe des Collins-Filters zur Dimensionierung von L und C die nachfolgenden Beziehungen angegeben. Mit diesen Gleichungen wurde eine Simulationsschaltung dimensioniert, um eine niederohmige Senderantenne an einen hochohmigen KW-Röhrensender für die Frequenz 10 MHz und einer Betriebsgüte von 15 anzupassen. Filter mit hoher Betriebsgüte haben eine große Selektivität und kleine Bandbreite aber auch größere Verluste. Normalerweise werden Werte zwischen 10 bis 20 gewählt.

Collins-Pi-Filter, Formeln und Simulation

In der Sendertechnik (Amateurfunk) sind die Kondensatoren des Collins-Filters abstimmbar, zum Teil kann auch die Induktivität durch Anzapfungen umschaltbar oder als Rollenspule abstimmbar ausgeführt sein. Die optimale Feinabstimmung wird dann mit einem Stehwellenmessgerät vorgenommen. Die Simulationsschaltung bestätigt für die gewählten Lastimpedanzen das Verhältnis von C2 / C1 /  = 6,63. Eine optimale Leistungsanpassung konnte mit Strom- und Spannungsmessungen bei der Simulation nicht nachgewiesen werden. Die Eingangsspannung Ue am Filter war 30% höher als sie dem gemessenen Spannungsfall am Quelleninnenwiderstand nach sein sollte.

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Eingliedrige LC-Grundketten

Zwei miteinander kombinierte Filter-Halbglieder ergeben eine eingliedrige Filterkette in T- oder PI-Schaltung. Ein für den Durchlassbetrieb optimiertes Filter wird in Leistungsanpassung betrieben. Die Anschlusswiderstände am Ein- und Ausgang sollten dem Wellenwiderstand des Filters entsprechen. Ein bekanntes Anwendungsbeispiel sind Tonfrequenzweichen. Ist nur die selektive Eigenschaft des Filters wichtig, wird es in Spannungsanpassung betrieben und möglichst wenig (hochohmig) belastet. Diese Betriebsart findet man in der Nachrichten- und Übertragungstechnik beim Bandfilter, ZF-Filter und in Selektivverstärkern. Das Bild zeigt einfache Schaltungsvarianten eingliedriger Grundketten und ihr Durchlassverhalten im Frequenzdiagramm.

LC-Filterketten und Durchgangsdiagramme

Die Durchlasskurven zeigen gute Filtereigenschaften. Es sind keine Resonanzstellen vorhanden und die Flanken der Hoch- und Tiefpässe sind mit 18 dB pro Oktave dreifach steiler als bei einfachen RC- oder RL-Filtern. Wegen der symmetrischen Schaltung ist die Eingangs- und Ausgangsimpedanz von der Frequenz abhängig. Für Filter im Durchlassbereich wird fast immer die Leistungsanpassung gewählt. Einen noch steileren Flankenverlauf erhält man etwas außerhalb der Leistungsanpassung, wobei sich für T- und Pi-Filter unterschiedliche Koeffizienten als günstig erwiesen haben.

Für T-Filter gilt: RL = 0,8 · Z      Für Pi-Filter gilt: RL = 1,25 · Z

Im Sperrbereich ist die Eingangsimpedanz aller T-Filter sehr hoch, während sie bei den Pi-Filtern sehr klein ist. Da die Filtertechnik ein mathematisch anspruchsvolles und kompliziertes Fachgebiet ist, wird es hier nicht weiter ausgeführt. Zur Filtertechnik gibt es Spezialliteratur, die Dimensionierung kann mit Filtertabellen und Online-Rechenprogrammen aus dem Internet durchgeführt werden.

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LC-Bandfilter für Selektivverstärker

In der Nachrichtentechnik müssen bestimmte Frequenzbänder aus einem Signalgemisch ausgefiltert und weiter verarbeitet werden. Das geschieht mit Hilfe von Schwingkreisen oder Filterschaltungen, die auf Schwingkreisen basieren. Da auch dieser Bereich sehr umfangreich ist und viel Spezialwissen erfordert, werden hier auch nur wenige wichtige Eigenschaften dargestellt.

Induktive Kopplung

Im einfachsten Bandfilter sind zwei Schwingkreise gleicher Resonanzfrequenz zusammengeschaltet. Die Signalkopplung erfolgt induktiv nach dem Trafoprinzip. Je nachdem, wie eng die Spulen zueinander angeordnet sind oder das Magnetfeld des Eingangskreises durch einen gemeinsam verstellbaren Ferritkern auf den Ausgangskreis übertragen wird, ändert sich die Filtercharakteristik. Die Durchlasskurve wird vom Koppelfaktor und der Schwingkreisgüte bestimmt. Durch Anzapfungen der Spulen nach dem Prinzip des Spartransformators können die Signalquelle im Primärkreis und die Last im Sekundärkreis so angepasst werden, dass die Kreisgüte und damit die Flankensteilheit groß bleibt.

Induktive Kopfpunktkopplung

Die gegeneinander geschirmten Einzelkreise werden im Hoch- oder Kopfpunkt, bezogen auf Masse, durch eine weitere Induktivität miteinander verbunden. Beide Kreise sind über die Koppelinduktivität auch galvanisch verbunden. Der Quotient aus der Kreisinduktivität zur Koppelinduktivität bestimmt die Stärke der Kopplung und ist umgekehrt proportional zur Koppelinduktivität. Sie ist auch von der Betriebsgüte, dem Verhältnis der Mittefrequenz zur Bandbreite des Filters abhängig.

Diese Koppelmethode ist eher ungeeignet, da im Vergleich zur Kreisinduktivität für die Koppelinduktivität sehr große Werte notwendig werden und diese sehr voluminös ausfallen. Für das weiter unten untersuchte Simulations-Bandfilter würde für die kritische Kopplung bei induktiver Kopfpunktkopplung eine Induktivität von 10 mH notwendig sein.

Induktive Fußpunktkopplung

Die beiden Kreise sind gegeneinander geschirmt, sodass keine induktive Kopplung erfolgt. Die Spulen werden nahe ihrer Fußpunkte bei wenigen Windungen angezapft und möglichst verlustfrei mit Masse verbunden. Der Signalstrom beider Kreise fließt dann durch die sehr kleine Koppelinduktivität. Für die Simulationsschaltung wurde mit 10 nH die kritische Kopplung erreicht. Für gute Ergebnisse musste der Anschlußwiderstand kleiner 2 mΩ sein.

Kapazitive Kopfpunktkopplung

Die beiden Schwingkreise sind gegeneinander abgeschirmt. Die Signale werden über eine Koppelkapazität im Hochpunkt oder Kopfpunkt, bezogen auf Masse, übertragen. Der Koppelfaktor ist proportional zur Koppelkapazität. Für große Kapazitätswerte ist der Kondensator im betrachteten Frequenzband niederohmig. Die in den Sekundärkreis übertragene Energie ist höher und die Kopplung wird fester. Kleine Kapazitätswerte sind hochohmig, dem Ausgangskreis wird weniger Energie zugeführt und die Kopplung wird loser.

Kapazitive Fußpunktkopplung

Der Koppelkondensator bildet den Massebezug beider Schwingkreise. Der Koppelfaktor ist umgekehrt proportional zur Koppelkapazität. Im Frequenzband ist ein Koppelkondensator großer Kapazität niederohmig und überträgt weniger Energie in den Ausgangskreis. Das Ergebnis ist eine lose Kopplung. Kleinere Kondensatorwerte sind hochohmiger, der Koppelfaktor wird größer und die Kopplung fester.

Koppeleigenschaften

Die lose oder unterkritische Kopplung findet man oft bei reiner induktiver Kopplung. Die Filterkurve ist sehr schmal und spitz und ähnelt damit der Durchlasskurve eines Schwingkreises hoher Güte und geringer Bandbreite. Bei der mittleren und der kritischen Kopplung ist die Bandbreite größer. Die Filtercharakteristik entspricht weiterhin der eines Schwingkreises mit einer im Durchlassbereich geringeren Dämpfung. Eine feste oder überkritische Kopplung führt zu einer verbreiterten Durchlasskurve mit einer Einsattlung im Bereich der Mittenfrequenz. Die Bandbreite wird von der Höhe des Sattelpunktes aus bestimmt und bezieht sich nicht auf den Scheitelwert der Höckerspannung.

Die beiden Bandfilter der Simulationschaltung sind aus gleichen Einzelkreisen mit einer Resonanzfrequenz von 503,3 kHz aufgebaut. Der Innenwiderstand der Quelle und der Lastwiderstand sind gleichgroß. Werden diese Werte verkleinert, so vergrößert sich die Bandbreite der Einzelkreise merklich und die Dämpfung nimmt zu. Die Flankensteilheit des Filters wird überwiegend von der Schwingkreisgüte beeinflusst. In der Simulation wird die Bandbreite nur vom Kopplungsgrad bestimmt. Die roten Kurven stellen den Zustand der kritischen Kopplung dar. Für beide Filterkopplungen errechnen sich vergleichbare Koppelfaktoren, die im Fall der kritischen Kopplung bei k ≈ 0,001 liegen. Überkritische Kopplungen haben größere und lose Kopplungen kleinere Werte.

Bandfilter C-gekoppelt

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Aktive Filter

Die Eigenschaften der passiven Filter reichen oftmals nicht, um besondere Anforderungen wie beispielsweise eine hohe Flankensteilheit oder Selektivität zu erreichen. Von Nachteil ist auch die Signaldämpfung innerhalb mehrstufiger passiver Filter. Bessere Ergebnisse werden mit aktiven Filtern erzielt. Sie verstärken oder schwächen definierte Frequenzbereiche des Eingangssignals. Die induktive Baugruppe (Spule) wird fast immer durch eine aktive RC-Schaltung (Gyrator) nachgebildet. Die Verstärker arbeiten mit frequenzabhängigen Gliedern in Mit- oder Gegenkoppelschaltungen.

Sallen-Key-Schaltung

Die aktiven Hoch- und Tiefpassfilter nach dem Sallen-Key Prinzip arbeiten mit einem nicht invertierenden Operationsverstärker und Rückkopplung des Ausgangssignals. Die Frequenz bestimmenden Glieder liegen im Eingangs- und Ausgangskreis der Rückkopplung. Die Verstärkung beträgt mit einem Impedanzwandler Vu = 1, kann aber mithilfe eines ohmschen Spannungsteilers am invertierenden Eingang auch größer sein.

Multiple-Feedback-Schaltung

Bei diesen aktiven Filtern mit Mehrfachgegenkopplung wird das Ausgangssignals des OPVs auf zwei getrennten Wegen zum invertierenden Eingang zurück gekoppelt. Die Frequenzglieder sind im Eingangs- und Rückkoppelkreis geschaltet. Die Signalverstärkung ist beliebig.